- Source: Akar satuan
Dalam matematika, akar satuan (bahasa Inggris: root of unity), berarti bahwa untuk sebarang bilangan kompleks akan menghasilkan 1 apabila dipangkatkan suatu bilangan bulat n. Akar satuan digunakan pada berbagai cabang ilmu matematika, dan sangat penting untuk teori bilangan dan transformasi Fourier diskrit.
Definisi umum
Akar satuan ke-n, dengan n adalah bilangan bulat positif, adalah sebuah bilangan z yang memenuhi persamaan
z
n
=
1.
{\displaystyle z^{n}=1.}
Terdapat pengecualian bahwa kalau ditentukan, akar satuan dapat dianggap bilangan kompleks (termasuk bilangan 1, dan bilangan −1 jika n itu genap, yang merupakan bilangan kompleks dengan bagian imajinernya 0), dan dalam kasus ini, akar satuan ke-n ialah
exp
(
2
k
π
i
n
)
=
cos
2
k
π
n
+
i
sin
2
k
π
n
,
k
=
0
,
1
,
…
,
n
−
1.
{\displaystyle \exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.}
Sifat dasar
Setiap perpangkatan bilangan bulat dari akar satuan ke-n juga merupakan akar satuan ke-n, sebab
(
z
k
)
n
=
z
k
n
=
(
z
n
)
k
=
1
k
=
1.
{\displaystyle (z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.}
Hal ini juga berlaku untuk pangkat negatif. Lebih jelasnya, invers perkalian dari akar satuan ke-n adalah konjugat kompleksnya, yang sama-sama merupakan akar satuan ke-n:
1
z
=
z
−
1
=
1
⋅
z
−
1
=
z
n
⋅
z
−
1
=
z
n
−
1
=
z
¯
.
{\displaystyle {\frac {1}{z}}=z^{-1}=1\cdot z^{-1}=z^{n}\cdot z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.}
Sifat pada grup
= Grup semua akar satuan
=Hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan juga merupakan akar satuan. Bahkan, jika xm = 1 dan yn = 1, maka (x−1)m = 1, dan (xy)k = 1, dengan k adalah kelipatan persekutuan terkecil dari m dan n.
Oleh karena itu, himpunan akar satuan membentuk grup abelian terhadap perkalian. group ini merupakan subgrup torsi dari grup lingkaran.
= Grup akar satuan ke-n
=Untuk bilangan bulat n, hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan ke-n juga merupakan akar satuan ke-n. Oleh karena itu, akar satuan ke-n membentuk gruo abelian terhadap perkalian.
Ekspresi trigonometri
Rumus de Moivre, yang valid untuk setiap bilangan riil x dan bilangan bulat n, adalah
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
=
cos
n
x
+
i
sin
n
x
.
{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}
Substitusi x = 2πn menghasilkan akar satuan primitif ke-n – yaitu
(
cos
2
π
n
+
i
sin
2
π
n
)
n
=
cos
2
π
+
i
sin
2
π
=
1
,
{\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,}
akan tetapi
(
cos
2
π
n
+
i
sin
2
π
n
)
k
=
cos
2
k
π
n
+
i
sin
2
k
π
n
≠
1
{\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1}
untuk k = 1, 2, …, n − 1. Dengan kata lain,
cos
2
π
n
+
i
sin
2
π
n
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}
merupakan akar satuan primitif ke-n.
Dalam bidang kompleks, rumus ini menunjukkan kalau akar satuan ke-n berada pada sudut sebuah segi-n beraturan di dalam lingkaran satuan, dengan satu sudut di 1 (lihat gambar n = 3 dan n = 5 di kanan).
Rumus Euler
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
,
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}
yang valid untuk setiap bilangan riil x, bisa digunakan untuk mengubah akar satuan ke-n dalam bentuk
e
2
π
i
k
n
,
0
≤
k
<
n
.
{\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k
Grup siklik
Akar satuan ke-n membentuk grup siklik dengan orde n terhadap perkalian, dan bahkan grup ini mencakup semua subgrup berhingga dari grup perkalian dalam bidang kompleks.
Catatan
Kata Kunci Pencarian:
- Akar satuan
- Akar bilangan
- Akar
- Akar kuadrat
- Akar wangi
- Akar parsi
- Unit imajiner
- Hari Akar Kuadrat
- Akar manis
- Bir akar
