- Source: Bikuaternion
Bikuaternion (atau kuaternion ganda) adalah bilangan hiperkompleks dan merupakan suatu kuaternion
w
+
x
i
+
y
j
+
z
k
{\displaystyle w+xi+yj+zk\ \!}
di mana variabelnya w, x, y, dan z adalah bilangan kompleks. Perkalian elemen dasar bikuaternion {i, i, j, k} sama dengan perkalian elemen dasar kuaternion berbilangan cacah (bilangan riil). Karena ada terdapat 3 jenis bilangan kompleks, maka begitu pula dengan bikuaternion, yaitu:
Bikuaternion dengan bilangan kompleks biasa
Bikuaternion hiperbolik dengan bilangan kompleks hiperbolik (split-complex biquaternion)
Bikuaternion rangkap dengan bilangan rangkap (dual quaternion).
Sesuai dengan aturan aljabar abstrak, ketiga-tiga jenis bikuaternion ini memiliki definisi aritmetis yang sama, dan hanya definisi aritmetis variabelnya yang berbeda.
Definisi
Definisi bikuaternion
q
=
u
(
1
)
+
v
i
+
w
j
+
x
k
{\displaystyle q=u(1)+vi+wj+xk\ \!}
adalah
di mana:
1
,
i
,
j
,
k
{\displaystyle {1,i,j,k}\ \!}
adalah elemen-elemen kuaternion
u
,
v
,
w
,
x
{\displaystyle u,v,w,x\ \!}
adalah variabel kompleks.
Dan juga, unit imaginer di bilangan-bilangan kompleks ini tidak dituliskan dengan huruf i, melainkan dengan huruf h, karena huruf i digunakan untuk melambangkan elemen kedua himpunan kuaternion.
Contoh:
u
=
5.0
+
3.2
h
v
=
7.1
+
0.6
h
w
=
4.8
+
1.9
h
x
=
6.7
+
2.2
h
{\displaystyle {\begin{aligned}u=5.0+3.2h\\v=7.1+0.6h\\w=4.8+1.9h\\x=6.7+2.2h\\\end{aligned}}}
Jika
q
=
u
(
1
)
+
v
i
+
w
j
+
x
k
{\displaystyle q=u(1)+vi+wj+xk\ \!}
,
maka
q
=
(
5.0
+
3.2
h
)
+
(
7.1
+
0.6
h
)
i
+
(
4.8
+
1.9
h
)
j
+
(
6.7
+
2.2
h
)
k
{\displaystyle q=(5.0+3.2h)+(7.1+0.6h)i+(4.8+1.9h)j+(6.7+2.2h)k\ \!}
.
= Bentuk matriks
=Bikuaternion
q
=
u
(
1
)
+
v
i
+
w
j
+
x
k
{\displaystyle q=u(1)+vi+wj+xk\ \!}
bisa dituliskan dalam bentuk matriks kompleks 2x2:
[
u
+
h
v
w
+
h
x
−
w
+
h
x
u
−
h
v
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}u+hv&w+hx\\-w+hx&u-hv\end{bmatrix}}}
.
Contoh:
Jika
u
=
5.0
+
3.2
h
v
=
7.1
+
0.6
h
w
=
4.8
+
1.9
h
x
=
6.7
+
2.2
h
{\displaystyle {\begin{aligned}u=5.0+3.2h\\v=7.1+0.6h\\w=4.8+1.9h\\x=6.7+2.2h\\\end{aligned}}}
maka
=
[
(
5.0
+
3.2
h
)
+
h
(
7.1
+
0.6
h
)
(
4.8
+
1.9
h
)
+
h
(
6.7
+
2.2
h
)
−
(
4.8
+
1.9
h
)
+
h
(
6.7
+
2.2
h
)
(
5.0
+
3.2
h
)
−
h
(
7.1
+
0.6
h
)
]
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}(5.0+3.2h)+h(7.1+0.6h)&(4.8+1.9h)+h(6.7+2.2h)\\-(4.8+1.9h)+h(6.7+2.2h)&(5.0+3.2h)-h(7.1+0.6h)\end{bmatrix}}}
=
[
5.0
+
3.2
h
−
0.6
+
7.1
h
4.8
+
1.9
h
−
2.2
+
6.7
h
−
4.8
−
1.9
h
−
2.2
+
6.7
h
5.0
+
3.2
h
+
0.6
−
7.1
h
]
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}5.0+3.2h-0.6+7.1h&4.8+1.9h-2.2+6.7h\\-4.8-1.9h-2.2+6.7h&5.0+3.2h+0.6-7.1h\end{bmatrix}}}
=
[
4.4
+
10.3
h
2.6
+
8.6
h
−
7.0
+
4.8
h
5.6
−
3.9
h
]
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}4.4+10.3h&2.6+8.6h\\-7.0+4.8h&5.6-3.9h\end{bmatrix}}}
.
= Konjugat
=Bikuaternion memiliki 2 jenis konjugat, yaitu:
bikonjugat (ataupun biskalar minus bivektor):
q
∗
=
w
−
x
i
−
y
j
−
z
k
{\displaystyle q^{*}=w-xi-yj-zk\!\,}
konjugat kompleks dari koefisien bikuaternion:
q
⋆
=
w
⋆
+
x
⋆
i
+
y
⋆
j
+
z
⋆
k
{\displaystyle q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }i+y^{\star }j+z^{\star }k\!}
.
di mana:
x
⋆
=
a
−
b
h
{\displaystyle x^{\star }=a-bh}
dan
x
=
a
+
b
h
,
a
,
b
∈
R
,
h
2
=
−
1
{\displaystyle x=a+bh,\quad a,b\in R,\quad h^{2}=-1}
y
⋆
=
a
−
b
h
{\displaystyle y^{\star }=a-bh}
dan
y
=
a
+
b
h
,
a
,
b
∈
R
,
h
2
=
−
1
{\displaystyle y=a+bh,\quad a,b\in R,\quad h^{2}=-1}
z
⋆
=
a
−
b
h
{\displaystyle z^{\star }=a-bh}
dan
z
=
a
+
b
h
,
a
,
b
∈
R
,
h
2
=
−
1
{\displaystyle z=a+bh,\quad a,b\in R,\quad h^{2}=-1}
.
Selanjutnya:
(
p
q
)
∗
=
q
∗
p
∗
,
(
p
q
)
⋆
=
p
⋆
q
⋆
(
q
∗
)
⋆
=
(
q
⋆
)
∗
{\displaystyle {\begin{aligned}(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\\(pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star }\\(q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}\end{aligned}}}
Lihat juga
Kuaternion
Bilangan kompleks
Kata Kunci Pencarian:
- Bikuaternion
- Relativitas khusus
- Transformasi Lorentz
- Aljabar komposisi
- Vektor null
- Kontraksi panjang
- Teori gelanggang
- Transformasi Galileo
- Bilangan hiperkompleks
- Grup kuaternion
