• Source: Bilangan komposit tinggi

Bilangan komposit tinggi adalah bilangan bulat positif dengan lebih banyak pembagi daripada bilangan bulat positif yang lebih kecil. Istilah ini diciptakan oleh Ramanujan (1915). Namun, Jean-Pierre Kahane telah menyarankan bahwa konsep tersebut mungkin telah diketahui oleh Plato, yang menetapkan 5040 sebagai jumlah ideal penduduk di kota sebagai 5040 telah lebih menjadi pembagi.
Konsep terkait sebagian besar bilangan komposit mengacu pada bilangan bulat positif yang memiliki setidaknya sebanyak pembagi sebagai bilangan bulat positif yang lebih kecil.
Namanya bisa agak menyesatkan, karena dua bilangan komposit tinggi (1 dan 2) sebenarnya bukan bilangan komposit.




Contoh



38 bilangan komposit tinggi awal atau terkecil tercantum dalam tabel di bawah ini (barisan A002182 pada OEIS). Jumlah pembagi diberikan di kolom berlabel d ( n ). Tanda bintang menunjukkan bilangan komposit sangat unggul.

Pembagi dari 15 bilangan komposit tinggi pertama ditunjukkan di bawah ini.

Tabel di bawah ini menunjukkan 72 pembagi dari 10080 dengan menuliskannya sebagai hasil kali dari dua angka dalam 36 cara berbeda.

Bilangan komposit ke-15.000 dapat ditemukan di situs web Achim Flammenkamp. Ini adalah produk dari 230 bilangan prima:





a

0


14



a

1


9



a

2


6



a

3


4



a

4


4



a

5


3



a

6


3



a

7


3



a

8


2



a

9


2



a

10


2



a

11


2



a

12


2



a

13


2



a

14


2



a

15


2



a

16


2



a

17


2



a

18


2



a

19



a

20



a

21


⋯

a

229


,


{\displaystyle a_{0}^{14}a_{1}^{9}a_{2}^{6}a_{3}^{4}a_{4}^{4}a_{5}^{3}a_{6}^{3}a_{7}^{3}a_{8}^{2}a_{9}^{2}a_{10}^{2}a_{11}^{2}a_{12}^{2}a_{13}^{2}a_{14}^{2}a_{15}^{2}a_{16}^{2}a_{17}^{2}a_{18}^{2}a_{19}a_{20}a_{21}\cdots a_{229},}


dimana




a

n




{\displaystyle a_{n}}

adalah deretan bilangan prima yang berurutan, dan semua suku yang dihilangkan (a22 to a228) adalah faktor dengan eksponen sama dengan satu (yaitu bilangan




2

14


×

3

9


×

5

6


×
⋯
×
1451


{\displaystyle 2^{14}\times 3^{9}\times 5^{6}\times \cdots \times 1451}

). Lebih tepatnya, ini adalah produk dari tujuh primorial yang berbeda:





b

0


5



b

1


3



b

2


2



b

4



b

7



b

18



b

229


,


{\displaystyle b_{0}^{5}b_{1}^{3}b_{2}^{2}b_{4}b_{7}b_{18}b_{229},}


dimana




b

n




{\displaystyle b_{n}}

adalah primorial




a

0



a

1


⋯

a

n




{\displaystyle a_{0}a_{1}\cdots a_{n}}

.




Faktorisasi prima


Secara kasar, agar sebuah bilangan menjadi sangat komposit, ialah anda harus memiliki faktorisasi prima sekecil mungkin, tetapi tidak terlalu banyak yang sama. Dengan teorema dasar aritmetika, setiap bilangan bulat positif n memiliki faktorisasi prima yang unik:




n
=

p

1



c

1




×

p

2



c

2




×
⋯
×

p

k



c

k





(
1
)


{\displaystyle n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1)}


dimana




p

1


<

p

2


<
⋯
<

p

k




{\displaystyle p_{1}
adalah bilangan prima dan eksponen, sedangkan




c

i




{\displaystyle c_{i}}

adalah bilangan bulat positif.
Faktor apa pun dari n harus memiliki kelipatan yang sama atau lebih kecil di setiap bilangan prima:





p

1



d

1




×

p

2



d

2




×
⋯
×

p

k



d

k




,
0
≤

d

i


≤

c

i


,
0
<
i
≤
k


{\displaystyle p_{1}^{d_{1}}\times p_{2}^{d_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{d_{k}},0\leq d_{i}\leq c_{i},0

Jadi jumlah pembagi n adalah:




d
(
n
)
=
(

c

1


+
1
)
×
(

c

2


+
1
)
×
⋯
×
(

c

k


+
1
)
.

(
2
)


{\displaystyle d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).\qquad (2)}


Oleh karena itu, untuk bilangan komposit tinggi n ,

k yang diberi bilangan prima p i harus persis bilangan prima k pertama (2, 3, 5, ...); jika tidak, kita bisa mengganti salah satu bilangan prima yang diberikan dengan bilangan prima yang lebih kecil, dan dengan demikian mendapatkan bilangan yang lebih kecil dari n dengan jumlah pembagi yang sama (misalnya 10 = 2 × 5 dapat diganti dengan 6 = 2 × 3; keduanya memiliki empat pembagi);
urutan eksponen harus tidak meningkat, yaitu




c

1


≥

c

2


≥
⋯
≥

c

k




{\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}}

; jika tidak, dengan menukar dua eksponen kita akan mendapatkan angka yang lebih kecil dari n dengan jumlah pembagi yang sama (misalnya 18 = 21 × 32 boleh diganti dengan 12 = 22 × 31; keduanya memiliki enam pembagi).
Perhatikan, bahwa meskipun kondisi yang dijelaskan di atas diperlukan, kondisi tersebut tidak cukup untuk sebuah bilangan menjadi sangat komposit. Sebagai contoh, 96 = 25 × 3 memenuhi kondisi di atas dan memiliki 12 pembagi tetapi tidak terlalu komposit karena ada bilangan yang lebih kecil 60 yang memiliki jumlah pembagi yang sama.




Pertumbuhan dan kepadatan asimtotik


Bila Q(x) menunjukkan jumlah bilangan komposit yang kurang dari atau sama dengan x , maka ada dua konstanta a dan b , keduanya lebih besar dari 1, sehingga




(
log
⁡
x

)

a


≤
Q
(
x
)
≤
(
log
⁡
x

)

b



.


{\displaystyle (\log x)^{a}\leq Q(x)\leq (\log x)^{b}\,.}


Bagian pertama dari ketidaksetaraan dibuktikan oleh Paul Erdős pada tahun 1944 dan bagian kedua oleh Jean-Louis Nicolas pada tahun 1988. Kami memiliki




1.13862
<
lim inf



log
⁡
Q
(
x
)


log
⁡
log
⁡
x



≤
1.44



{\displaystyle 1.13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.44\ }


dan




lim sup



log
⁡
Q
(
x
)


log
⁡
log
⁡
x



≤
1.71

.


{\displaystyle \limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.71\ .}





Urutan terkait



Bilangan komposit yang lebih tinggi dari 6 juga merupakan jumlah berlimpah. Kita hanya perlu melihat tiga pembagi terbesar dari bilangan komposit tinggi tertentu untuk memastikan fakta ini. Tidak benar bahwa semua bilangan komposit tinggi juga Bilangan Harshad dalam basis 10. HCN pertama yang bukan bilangan Harshad adalah 245.044.800, yang memiliki jumlah digit 27, tetapi 27 tidak membagi.
10 dari 38 bilangan komposit tinggi pertama adalah bilangan komposit sangat unggul.
Urutan bilangan komposit tinggi (barisan A002182 pada OEIS) adalah himpunan bagian dari urutan bilangan terkecil k dengan pembagi n persis (barisan A005179 pada OEIS).
Bilangan komposit tinggi yang jumlah pembaginya juga merupakan bilangan komposit tinggi adalah untuk n = 1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800, 195643523275200 (barisan A189394 pada OEIS). Sangat mungkin urutan ini selesai.
Bilangan bulat positif n adalah sebagian besar bilangan komposit jika d(n) ≥ d(m) untuk semua m ≤ n. Fungsi penghitungan QL(x) dari sebagian besar bilangan komposit memuaskan




(
log
⁡
x

)

c


≤
log
⁡

Q

L


(
x
)
≤
(
log
⁡
x

)

d





{\displaystyle (\log x)^{c}\leq \log Q_{L}(x)\leq (\log x)^{d}\ }


untuk nilai positif c,d dengan



0.2
≤
c
≤
d
≤
0.5


{\displaystyle 0.2\leq c\leq d\leq 0.5}

.
Karena faktorisasi prima dari bilangan komposit tinggi menggunakan semua bilangan prima 'k' 'pertama, setiap bilangan komposit tinggi harus berupa bilangan praktis. Banyak dari angka-angka ini digunakan dalam sistem pengukuran tradisional, dan cenderung digunakan dalam desain teknik, karena kemudahan penggunaannya dalam perhitungan yang melibatkan pecahan.




Lihat pula


Bilangan komposit sangat unggul
Bilangan total
Tabel pembagi
Fungsi total Euler
Bilangan bulat
Bilangan halus




Catatan






Referensi


Ramanujan, S. (1915). "Highly composite numbers" (PDF). Proc. London Math. Soc. Series 2. 14: 347–409. doi:10.1112/plms/s2_14.1.347. JFM 45.1248.01. (online Diarsipkan 2014-09-03 di Wayback Machine.)
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, ed. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. hlm. 45–46. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.
Erdös, P. (1944). "On highly composite numbers" (PDF). Journal of the London Mathematical Society. Second Series. 19 (75_Part_3): 130–133. doi:10.1112/jlms/19.75_part_3.130. MR 0013381.
Alaoglu, L.; Erdös, P. (1944). "On highly composite and similar numbers" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 56 (3): 448–469. doi:10.2307/1990319. JSTOR 1990319. MR 0011087.
Ramanujan, Srinivasa (1997). "Highly composite numbers" (PDF). Ramanujan Journal. 1 (2): 119–153. doi:10.1023/A:1009764017495. MR 1606180. Beranotasi dan dengan kata pengantar oleh Jean-Louis Nicolas dan Guy Robin.




Pranala luar


(Inggris) Weisstein, Eric W. "Highly Composite Number". MathWorld.
Algorithm for computing Highly Composite Numbers
First 10000 Highly Composite Numbers as factors
Achim Flammenkamp, First 779674 HCN with sigma,tau,factors
Online Highly Composite Numbers Calculator
Templat:Kelas pembagi
Templat:Kelas bilangan asli

Kata Kunci Pencarian:

• Bilangan komposit tinggi
• Bilangan prima
• 0 (angka)
• Daftar topik teori bilangan
• Bilangan yang sangat melimpah
• 1 (angka)
• Fungsi phi Euler
• 1.000.000
• Anihilasi
• 40 (angka)