- Source: Ekspansi Laplace
Dalam aljabar linear, ekspansi Laplace, dinamai Pierre-Simon Laplace, juga disebut ekspansi kofaktor, adalah ekspresi dari determinan n × n matriks B sebagai jumlah tertimbang dari minor, yang merupakan determinan dari beberapa B submatriks B. Secara khusus, untuk setiap i,
det
(
B
)
=
∑
j
=
1
n
(
−
1
)
i
+
j
B
i
,
j
M
i
,
j
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\det(B)&=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}B_{i,j}M_{i,j},\end{aligned}}}
dimana
B
i
,
j
{\displaystyle B_{i,j}}
adalah entri baris ke-i dan kolom ke-j dari B, dan
M
i
,
j
{\displaystyle M_{i,j}}
adalah determinan submatriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari B.
Syarat
(
−
1
)
i
+
j
M
i
,
j
{\displaystyle (-1)^{i+j}M_{i,j}}
disebut kofaktor dari
B
i
,
j
{\displaystyle B_{i,j}}
di B.
Contoh
Perhatikan matriks
B
=
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
.
{\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.}
Determinan matriks ini dapat dihitung dengan menggunakan ekspansi Laplace sepanjang salah satu baris atau kolomnya. Misalnya, ekspansi di sepanjang baris pertama menghasilkan:
|
B
|
=
1
⋅
|
5
6
8
9
|
−
2
⋅
|
4
6
7
9
|
+
3
⋅
|
4
5
7
8
|
=
1
⋅
(
−
3
)
−
2
⋅
(
−
6
)
+
3
⋅
(
−
3
)
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}|B|&=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}\\[5pt]&=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.\end{aligned}}}
Ekspansi Laplace sepanjang kolom kedua menghasilkan hasil yang sama:
|
B
|
=
−
2
⋅
|
4
6
7
9
|
+
5
⋅
|
1
3
7
9
|
−
8
⋅
|
1
3
4
6
|
=
−
2
⋅
(
−
6
)
+
5
⋅
(
−
12
)
−
8
⋅
(
−
6
)
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}|B|&=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}\\[5pt]&=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.\end{aligned}}}
Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa hasilnya benar: matriksnya tunggal karena jumlah kolom pertama dan ketiganya adalah dua kali kolom kedua, dan karenanya determinannya adalah nol.
Referensi
David Poole: Linear Algebra. A Modern Introduction. Cengage Learning 2005, ISBN 0-534-99845-3, pp. 265–267 (restricted online copy, hlm. 265, pada Google Books)
Harvey E. Rose: Linear Algebra. A Pure Mathematical Approach. Springer 2002, ISBN 3-7643-6905-1, pp. 57–60 (restricted online copy, hlm. 57, pada Google Books)
Pranala luar
Laplace expansion in C (Portugis)
Laplace expansion in Java (Portugis)
Kata Kunci Pencarian:
- Ekspansi Laplace
- Determinan
- Minor (aljabar linear)
- Gaya gesek
- Eliminasi Gauss
- Nilai dan vektor eigen
- Teori kalorik
- Laju bunyi
- Kaidah Cramer
- Deret (matematika)
