- Source: Faktor persekutuan terbesar
Dalam matematika, faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama membagi habis kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.
Dua bilangan atau lebih disebut saling prima jika FPB bilangan-bilangan tersebut sama dengan 1. Sebagai contoh, karena FPB bilangan 9 dan 28 sama dengan 1, maka bilangan 9 dan 28 adalah saling prima (walaupun masing-masingnya bukan bilangan prima)
Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan sekawannya, kelipatan persekutuan terkecil (KPK), menjadi pembahasan yang penting dalam aritmatika dan teori bilangan.
Definisi
Suatu bilangan
c
{\displaystyle c}
disebut faktor persekutuan bilangan
a
{\displaystyle a}
dan
b
{\displaystyle b}
jika
c
{\displaystyle c}
habis membagi bilangan
a
{\displaystyle a}
dan
b
{\displaystyle b}
sekaligus.
Suatu bilangan
d
{\displaystyle d}
disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:
d
{\displaystyle d}
faktor persekutuan bilangan
a
{\displaystyle a}
dan
b
{\displaystyle b}
; dan
jika
c
{\displaystyle c}
faktor persekutuan bilangan
a
{\displaystyle a}
dan
b
{\displaystyle b}
maka berlaku
c
≤
d
{\displaystyle c\leq d}
bilangan
d
{\displaystyle d}
ditulis sebagai
F
P
B
(
a
,
b
)
{\displaystyle FPB(a,b)}
atau
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
.
= Peristilahan
=Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti pembagi persekutuan terbesar, atau pembagi bersama terbesar, dilambangkan dengan
PBT
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\text{PBT}}(a,b)}
. Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi
gcd
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\text{gcd}}(a,b)}
, berasal dari bahasa Inggris greatest common divisor.
Contoh
Faktor dari
12
{\displaystyle 12}
adalah
1
,
2
,
3
,
4
,
6
,
12
{\displaystyle 1,2,3,{\color {red}{4}},6,12}
Faktor dari
20
{\displaystyle 20}
adalah
1
,
2
,
4
,
5
,
10
,
20
{\displaystyle 1,2,{\color {red}{4}},5,10,20}
Faktor persekutuan 12 dan 20 adalah 1, 2, 4. Karena 4 adalah bilangan terbesar di antara faktor persekutuan itu, maka disimpulkan
FPB
(
12
,
20
)
=
4
{\displaystyle \operatorname {FPB} (12,20)=4}
.
Perhitungan FPB
= Faktorisasi prima
=FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari faktorisasi prima bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor
diperoleh
60
=
2
2
×
3
×
5
{\displaystyle 60={\color {red}{2}}^{2}\times {\color {red}{3}}\times 5}
dan
24
=
2
3
×
3
{\displaystyle 24={\color {red}{2}}^{3}\times {\color {red}{3}}}
. Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka,
FPB
(
12
,
20
)
=
2
2
×
3
=
12
{\displaystyle \operatorname {FPB} (12,20)=2^{2}\times 3=12}
.
= Algoritma Euklides
=Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan
a
{\displaystyle a}
dan
b
{\displaystyle b}
adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:1. masukkan nilai a dan b;
2. misalkan u:=a dan v:=b;
3. selama u ≠ v, ulangi
u = maximum (u,v) - minimum (u,v)
v = minimum (u,v);
4. FPB(a,b)=u;
Sifat
Untuk sebarang bilangan bulat
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
, dengan
|
a
|
{\displaystyle |a|}
adalah nilai multak dari
a
{\displaystyle a}
, berlaku:
Sifat komutatif, yaitu
FPB
(
a
,
b
)
=
FPB
(
b
,
a
)
{\displaystyle \operatorname {FPB} (a,b)=\operatorname {FPB} (b,a)}
.
Sifat asosiatif, yaitu
FPB
(
a
,
b
,
c
)
=
FPB
(
a
,
FPB
(
b
,
c
)
)
=
FPB
(
FPB
(
a
,
b
)
,
c
)
{\displaystyle \operatorname {FPB} (a,b,c)=\operatorname {FPB} (a,\operatorname {FPB} (b,c))=\operatorname {FPB} (\operatorname {FPB} (a,b),c)}
.
Sifat distributif, yaitu
FPB
(
a
c
,
b
c
)
=
c
⋅
FPB
(
a
,
b
)
{\displaystyle \operatorname {FPB} (ac,bc)=c\cdot \operatorname {FPB} (a,b)}
Jika
c
{\displaystyle c}
faktor persekutuan
a
{\displaystyle a}
dan
b
{\displaystyle b}
, maka
c
∣
FPB
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\mid \operatorname {FPB} (a,b)}
, dan
FPB
(
a
c
,
b
c
)
=
FPB
(
a
,
b
)
c
{\displaystyle \operatorname {FPB} \left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right)={\frac {\operatorname {FPB} (a,b)}{c}}}
, sehingga jika
d
=
FPB
(
a
,
b
)
{\displaystyle d=\operatorname {FPB} (a,b)}
maka
FPB
(
a
d
,
b
d
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {FPB} \left({\frac {a}{d}},{\frac {b}{d}}\right)=1}
FPB
(
±
a
,
±
b
)
=
FPB
(
b
,
a
)
{\displaystyle \operatorname {FPB} (\pm a,\pm b)=\operatorname {FPB} (b,a)}
FPB
(
a
,
b
)
=
FPB
(
a
,
b
−
a
)
=
FPB
(
a
,
b
+
a
)
=
FPB
(
a
,
b
−
c
a
)
{\displaystyle \operatorname {FPB} (a,b)=\operatorname {FPB} (a,b-a)=\operatorname {FPB} (a,b+a)=\operatorname {FPB} (a,b-ca)}
FPB
(
a
,
0
)
=
|
a
|
{\displaystyle \operatorname {FPB} (a,0)=|a|}
FPB
(
a
,
1
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {FPB} (a,1)=1}
Untuk sebarang bilangan bulat positif
a
,
b
{\displaystyle a,b}
,
FPB
(
a
,
b
)
=
b
{\displaystyle \operatorname {FPB} (a,b)=b}
jika dan hanya jika
b
{\displaystyle b}
habis membagi
a
{\displaystyle a}
.
Koprima
Dua buah bilangan dikatakan koprima, atau relatif prima, atau saling prima jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.
Penerapan
= Menyederhanakan pecahan
=Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan. Sebagai contoh, pecahan
4
8
{\displaystyle {\frac {4}{8}}}
dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari
4
{\displaystyle 4}
dan
8
{\displaystyle 8}
adalah
FPB
(
4
,
8
)
=
2
{\displaystyle \operatorname {FPB} (4,8)=2}
. Kita tuliskan sebagai
4
8
=
2
×
2
2
×
4
=
1
2
{\displaystyle {\frac {4}{8}}={\frac {2\times 2}{2\times 4}}={\frac {1}{2}}}
.
= Kelipatan persekutuan terkecil
=Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.
KPK
(
a
,
b
)
=
a
b
FPB
(
a
,
b
)
{\displaystyle \operatorname {KPK} (a,b)={\frac {ab}{\operatorname {FPB} (a,b)}}}
.
Lihat pula
Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)
Rujukan
Kata Kunci Pencarian:
- Faktor persekutuan terbesar
- Kelipatan persekutuan terkecil
- Pecahan tak tersederhanakan
- Garis besar aritmetika
- FPB
- Identitas Bézout
- Malaysia
- Algoritma Euklides
- Perang Dunia I
- Perang Dunia II
