• Source: Fungsi invers

Fungsi Invers (atau fungsi kebalikan) adalah (dalam matematika) fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari suatu fungsi. Misalnya anggap saja



f


{\displaystyle f}

sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B. Bila dapat ditentukan sebuah fungsi



g


{\displaystyle g}

dari himpunan B ke himpunan A sedemikian, sehingga



g
(
f
(
a
)
)
=
a


{\displaystyle g(f(a))=a}

dan



f
(
f
(
b
)
)
=
b


{\displaystyle f(f(b))=b}

untuk setiap a dalam A dan b dalam B, maka



g


{\displaystyle g}

disebut fungsi invers dari



f


{\displaystyle f}

dan bisa ditulis sebagai




f

−
1




{\displaystyle f^{-1}}

. Sebelum mengetahui fungsi invers maka harus mengenali dahulu fungsi yang memiliki invers. Fungsi



f
(
x
)


{\displaystyle f(x)}

akan memiliki invers dengan syarat



f
(
x
)


{\displaystyle f(x)}

merupakan fungsi bijektif. Jika fungsi



f


{\displaystyle f}

memetakan anggota himpunan A ke himpunan B maka invers dari fungsi



f


{\displaystyle f}

atau ditulis




f

−
1




{\displaystyle f^{-1}}

memetakan himpunan B ke himpunan A. Kemudian ketika suatu bilangan itu dioperasikan dengan inversnya, maka akan menghasilkan identitas. Identitas adalah suatu bilangan yang jika dioperasikan dengan suatu bilangan, maka akan menghasilkan suatu bilangan tersebut dan pada operasi perkalian, identitasnya adalah 1 karena apabila dikalikan dengan suatu bilangan hasilnya suatu bilangan. Sedangkan, pada penjumlahan identitasnya adalah 0 karena bila dijumlahkan dengan bilangan tertentu hasilnya bilangan tertentu. Pada fungsi juga berlaku demikian, sebuah fungsi bila dikomposisikan dengan invers maka menghasilkan fungsi identitas, yaitu



f
(
x
)
=
x


{\displaystyle f(x)=x}

.




Simetri


Ada kesimetrian antara suatu fungsi dan kebalikannya. Secara khusus, jika f adalah fungsi yang dapat dibalik dengan domain X dan rentang Y, maka kebalikannya f −1 memiliki domain Y dan rentang X, serta kebalikan dari f −1 adalah fungsi asli f. Dalam simbol, untuk fungsi f:X → Y dan f−1:Y → X,





f

−
1


∘
f
=

id

X




{\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}

dan



f
∘

f

−
1


=

id

Y


.


{\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.}


Pernyataan ini adalah konsekuensi dari implikasi bahwa agar f dapat dibalik, pernyataan itu harus bersifat bijektiv. Sifat involutori dari invers dapat diekspresikan secara ringkas






(

f

−
1


)


−
1


=
f
.


{\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}


Kebalikan dari komposisi fungsi diberikan oleh




(
g
∘
f

)

−
1


=

f

−
1


∘

g

−
1


.


{\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}


Perhatikan bahwa urutan g dan f telah dibalik; untuk mengurungkan f diikuti oleh g, pertama-tama kita harus membatalkan g, lalu mengurungkan f.
Misalnya, maka f(x) = 3x dan jika g(x) = x + 5. Kemudian komposisinya g ∘ f adalah fungsi yang pertama kali dikalikan tiga lalu ditambahkan lima,




(
g
∘
f
)
(
x
)
=
3
x
+
5.


{\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5.}


Untuk membalik proses ini, pertama-tama kita harus mengurangi lima, lalu membaginya dengan tiga,




(
g
∘
f

)

−
1


(
x
)
=



1
3



(
x
−
5
)
.


{\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).}


kemudian sisi kanan invers masing-masing yaitu




f

−
1


=


x
3




{\displaystyle f^{-1}={\frac {x}{3}}}

dan




g

−
1


=
x
−
5


{\displaystyle g^{-1}=x-5}

maka




f

−
1


∘

g

−
1




{\displaystyle f^{-1}\circ g^{-1}}

adalah






1
3



(
x
−
5
)
.


{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}(x-5).}





Fungsi invers dalam kalkulus


Variabel tunggal kalkulus terutama berkaitan dengan fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real. Fungsi seperti itu sering kali didefinisikan melalui rumus, seperti:




f
(
x
)
=
(
2
x
+
8

)

3


.


{\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}.}


Fungsi dugaan f dari bilangan real ke bilangan real memiliki invers, asalkan satu-ke-satu. Artinya, grafik y = f(x) memiliki, untuk setiap kemungkinan nilai y, hanya satu nilai x yang sesuai, dan dengan demikian lolos uji garis horizontal.
Tabel berikut menunjukkan beberapa fungsi standar dan invers:




Fungsi Invers (sel)


Jika X adalah himpunan, maka fungsi identitas di X adalah kebalikannya:







id

X




−
1


=

id

X


.


{\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}


Secara lebih umum, sebuah fungsi f : X → X sama dengan kebalikannya sendiri, hanya komposisi f ∘ f adalah idX. Fungsi seperti itu disebut involusi.




Rumus utama untuk Fungsi invers


Salah satu pendekatan untuk menemukan rumus f −1, adalah untuk menyelesaikan persamaan y = f(x) untuk x. Misalnya, jika f adalah fungsinya




f
(
x
)
=
(
2
x
+
8

)

3




{\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}


maka kita harus menyelesaikan persamaan tersebut y = (2x + 8)3 dari x:








y



=
(
2
x
+
8

)

3








y

3






=
2
x
+
8






y

3



−
8



=
2
x










y

3



−
8

2






=
x
.






{\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}


Demikianlah fungsi invers f −1 diberikan oleh rumus





f

−
1


(
y
)
=





y

3



−
8

2


.


{\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}


Terkadang, kebalikan dari suatu fungsi tidak dapat diekspresikan dengan rumus dengan jumlah suku terbatas. Misalnya, jika f adalah fungsinya




f
(
x
)
=
x
−
sin
⁡
x
,


{\displaystyle f(x)=x-\sin x,}


maka f adalah bijection, dan karena itu memiliki fungsi invers f −1. rumus untuk invers ini memiliki jumlah suku yang tak terhingga:





f

−
1


(
y
)
=

∑

n
=
1


∞





y

n

/

3



n
!




lim

θ
→
0



(





d



n
−
1




d


θ


n
−
1







(


θ


θ
−
sin
⁡
(
θ
)


3




)


n



)

.


{\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right).}





Grafik invers



Jika f dapat dibalik, maka grafik fungsinya




y
=

f

−
1


(
x
)


{\displaystyle y=f^{-1}(x)}


sama dengan grafik persamaan




x
=
f
(
y
)
.


{\displaystyle x=f(y).}


Ini identik dengan persamaan y = f(x) yang mendefinisikan grafik f, kecuali peran x dan y telah dibalik. Demikian grafik f −1 dapat diperoleh dari grafik f dengan mengganti posisi sumbu x dan y. Ini setara dengan mencerminkan grafik melintasi garis
y = x.




Dalam fungsi trigonometri



Fungsi trigonometri bersifat periodik, dan karenanya bukan injeksi, jadi tegaskan pada nilai yang tidak memiliki fungsi invers. Namun, pada setiap interval di mana fungsi trigonometri monotonik, seseorang dapat mendefinisikan fungsi invers, dan ini mendefinisikan fungsi trigonometri terbalik sebagai fungsi multinilai. Untuk mendefinisikan fungsi invers yang benar, seseorang harus membatasi domain ke interval di mana fungsinya monotonik, dan dengan demikian bijektiv dari interval ini ke citranya dengan fungsi. Pilihan umum untuk interval ini, yang disebut himpunan nilai pokok s, diberikan dalam tabel berikut. Seperti biasa, fungsi trigonometri terbalik dilambangkan dengan awalan "arc" sebelum nama atau singkatan dari fungsi tersebut.









Fungsi




Definisi




Domain




Kumpulan nilai pokok





y
=
arcsin
⁡
x


sin
⁡
y
=
x


−
1
≤
x
≤
1


−


π
2


≤
y
≤


π
2






y
=
arccos
⁡
x


cos
⁡
y
=
x


−
1
≤
x
≤
1


0
≤
y
≤
π




y
=
arctan
⁡
x


tan
⁡
y
=
x


−
∞
≤
x
≤
∞


−


π
2


<
y
<


π
2






y
=
arccot
⁡
x


cot
⁡
y
=
x


−
∞
≤
x
≤
∞


0
<
y
<
π




y
=
arcsec
⁡
x


sec
⁡
y
=
x


x
<
−
1

atau

x
>
1


0
≤
y
≤
π
,

y
≠


π
2






y
=
arccsc
⁡
x


csc
⁡
y
=
x


x
<
−
1

atau

x
>
1


−


π
2


≤
y
≤


π
2


,

y
≠
0






{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline {\text{Fungsi}}&{\text{Definisi}}&{\text{Domain}}&{\text{Kumpulan nilai pokok}}\\\hline y=\arcsin x&\sin y=x&-1\leq x\leq 1&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}\\y=\arccos x&\cos y=x&-1\leq x\leq 1&0\leq y\leq \pi \\y=\arctan x&\tan y=x&-\infty \leq x\leq \infty &-{\frac {\pi }{2}}1&0\leq y\leq \pi ,\;y\neq {\frac {\pi }{2}}\\y=\operatorname {arccsc} x&\csc y=x&x<-1{\text{ atau }}x>1&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},\;y\neq 0\\\hline \end{array}}}





Fungsi invers dan turunan


Sebuah fungsi kontinu f dapat dibalik pada rentangnya (gambar) jika dan hanya jika meningkat atau menurun (tanpa lokal maksimal dan minimum, contoh dari:




f
(
x
)
=

x

3


+
x


{\displaystyle f(x)=x^{3}+x}


dapat dibalik, karena turunan
f′(x) = 3x2 + 1 selalu positif.
Jika fungsi f adalah dapat dibedakan pada interval I dan f′(x) ≠ 0 untuk setiap x ∈ I, lalu kebalikannya f −1 dapat dibedakan f(I). Bila y = f(x), turunan dari invers diberikan oleh teorema fungsi invers,






(

f

−
1


)


′


(
y
)
=


1


f
′


(
x
)




.


{\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.}


Menggunakan notasi Leibniz rumus di atas dapat ditulis sebagai







d
x


d
y



=


1

d
y

/

d
x



.


{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}


Hasil ini mengikuti aturan rantai (lihat artikel tentang Fungsi dan diferensiasi invers).
Teorema fungsi invers dapat digeneralisasikan menjadi fungsi dari beberapa variabel. Secara khusus, fungsi multivariabel f : Rn → Rn dapat dibalik di lingkungan titik p selama matriks Jacobian dari f pada p adalah dapat dibalik. Dalam hal ini, Jacobian dari f −1 pada f(p) adalah invers matriks dari Jacobian dari f pada p.




Contoh


Tentukan




f

−
1


(
x
)


{\displaystyle f^{-1}(x)}

dari



f
(
x
)
=
2
x
+
3


{\displaystyle f(x)=2x+3}

!




f
(
x
)
=
2
x
+
3


{\displaystyle f(x)=2x+3}





f
(
x
)
−
3
=
2
x


{\displaystyle f(x)-3=2x}





x
=



f
(
x
)
−
3

2




{\displaystyle x={\frac {f(x)-3}{2}}}






f

−
1


(
x
)
=



x
−
3

2




{\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x-3}{2}}}


Tentukan




f

−
1


(
x
)


{\displaystyle f^{-1}(x)}

dari



f
(
x
)
=

x

2


−
6
x
+
15


{\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+15}

!




f
(
x
)
=

x

2


−
6
x
+
15


{\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+15}





f
(
x
)
=

x

2


−
6
x
+
9
−
9
+
15


{\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+9-9+15}





f
(
x
)
=
(
x
−
3

)

2


+
6


{\displaystyle f(x)=(x-3)^{2}+6}





f
(
x
)
−
6
=
(
x
−
3

)

2




{\displaystyle f(x)-6=(x-3)^{2}}





x
−
3
=
±


f
(
x
)
−
6




{\displaystyle x-3=\pm {\sqrt {f(x)-6}}}





x
=
3
±


f
(
x
)
−
6




{\displaystyle x=3\pm {\sqrt {f(x)-6}}}






f

−
1


(
x
)
=
3
±


x
−
6




{\displaystyle f^{-1}(x)=3\pm {\sqrt {x-6}}}


Tentukan




f

−
1


(
x
)


{\displaystyle f^{-1}(x)}

dari



f
(
x
)
=



2
x
−
7


5
x
+
3





{\displaystyle f(x)={\frac {2x-7}{5x+3}}}

!




f
(
x
)
=



2
x
−
7


5
x
+
3





{\displaystyle f(x)={\frac {2x-7}{5x+3}}}





(
5
x
+
3
)
f
(
x
)
=
2
x
−
7


{\displaystyle (5x+3)f(x)=2x-7}





5
x
f
(
x
)
+
3
f
(
x
)
=
2
x
−
7


{\displaystyle 5xf(x)+3f(x)=2x-7}





5
x
f
(
x
)
−
2
x
=
−
3
f
(
x
)
−
7


{\displaystyle 5xf(x)-2x=-3f(x)-7}





(
5
f
(
x
)
−
2
)
x
=
−
3
f
(
x
)
−
7


{\displaystyle (5f(x)-2)x=-3f(x)-7}





x
=



−
3
f
(
x
)
−
7


5
f
(
x
)
−
2





{\displaystyle x={\frac {-3f(x)-7}{5f(x)-2}}}






f

−
1


(
x
)
=



−
3
x
−
7


5
x
−
2





{\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {-3x-7}{5x-2}}}


Tentukan




f

−
1


(
x
)


{\displaystyle f^{-1}(x)}

dari



f
(
x
)
=

e

x
+
3




{\displaystyle f(x)=e^{x+3}}

!




f
(
x
)
=

e

x
+
3




{\displaystyle f(x)=e^{x+3}}








e


log
⁡
f
(
x
)
=
x
+
3


{\displaystyle ^{e}\log f(x)=x+3}





x

=

e


log
⁡
f
(
x
)
−
3


{\displaystyle x=^{e}\log f(x)-3}

(karena






e


log
⁡
x
=
ln
⁡
x


{\displaystyle ^{e}\log x=\ln x}

)





f

−
1


(
x
)
=
ln
⁡
x
−
3


{\displaystyle f^{-1}(x)=\ln x-3}


Tentukan




f

−
1


(
x
)


{\displaystyle f^{-1}(x)}

dari



f
(
x
)

=

2


log
⁡

(

x

2


+
8
x
−
25
)



{\displaystyle f(x)=^{2}\log {(x^{2}+8x-25)}}

!




f
(
x
)

=

2


log
⁡

(

x

2


+
8
x
−
25
)



{\displaystyle f(x)=^{2}\log {(x^{2}+8x-25)}}






x

2


+
8
x
−
25
=

2

f
(
x
)




{\displaystyle x^{2}+8x-25=2^{f(x)}}






x

2


+
8
x
+
16
−
16
−
25
=

2

f
(
x
)




{\displaystyle x^{2}+8x+16-16-25=2^{f(x)}}






x

2


+
8
x
+
16
−
41
=

2

f
(
x
)




{\displaystyle x^{2}+8x+16-41=2^{f(x)}}





(
x
+
4

)

2


−
41
=

2

f
(
x
)




{\displaystyle (x+4)^{2}-41=2^{f(x)}}





(
x
+
4

)

2


=
41
+

2

f
(
x
)




{\displaystyle (x+4)^{2}=41+2^{f(x)}}





x
+
4
=
±


41
+

2

f
(
x
)






{\displaystyle x+4=\pm {\sqrt {41+2^{f(x)}}}}





x
=
−
4
±


41
+

2

f
(
x
)






{\displaystyle x=-4\pm {\sqrt {41+2^{f(x)}}}}






f

−
1


(
x
)
=
−
4
±


41
+

2

x






{\displaystyle f^{-1}(x)=-4\pm {\sqrt {41+2^{x}}}}


Tentukan




f

−
1


(
x
)


{\displaystyle f^{-1}(x)}

dari



f
(
x
)
=
s
i
n
(
4
x
+
3
)
−
7


{\displaystyle f(x)=sin(4x+3)-7}

!




f
(
x
)
=
s
i
n
(
4
x
+
3
)
−
7


{\displaystyle f(x)=sin(4x+3)-7}





f
(
x
)
+
7
=
s
i
n
(
4
x
+
3
)


{\displaystyle f(x)+7=sin(4x+3)}





4
x
+
3
=
a
r
c
s
i
n
(
f
(
x
)
+
7
)


{\displaystyle 4x+3=arcsin(f(x)+7)}





4
x
=
a
r
c
s
i
n
(
f
(
x
)
+
7
)
−
3


{\displaystyle 4x=arcsin(f(x)+7)-3}





x
=



a
r
c
s
i
n
(
f
(
x
)
+
7
)
−
3

4




{\displaystyle x={\frac {arcsin(f(x)+7)-3}{4}}}






f

−
1


(
x
)
=



a
r
c
s
i
n
(
x
+
7
)
−
3

4




{\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {arcsin(x+7)-3}{4}}}





Lihat pula


Fungsi (matematika)
Komposisi fungsi




Referensi






Bacaan lebih lanjut


Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-503-3. (Indonesia)
Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-564-5. (Indonesia)

Kata Kunci Pencarian:

• Fungsi invers
• Fungsi (matematika)
• Fungsi trigonometri
• Logaritma
• Fungsi hiperbolik invers
• Fungsi invers trigonometri
• Daftar integral dari fungsi invers trigonometri
• Komposisi fungsi
• Invers
• Daftar integral dari fungsi invers hiperbolik