• Source: Gelanggang terurut

Dalam aljabar abstrak, gelanggang terurut adalah gelanggang R (biasanya komutatif) dengan urutan total ≤ sedemikian rupa sehingga untuk semua a, b, dan c di R berlaku:

jika a ≤ b maka a + c ≤ b + c.
jika 0 ≤ a dan 0 ≤ b maka 0 ≤ ab.




Contoh


Gelanggang terurut umum muncul di aritmatika. Beberapa contohnya termasuk bilangan bulat,rasional dan bilangan real. (Rasional dan real sebenarnya membangun sebuah lapangan terurut.) Sebaliknya, bilangan kompleks tidak membentuk gelanggang terurut maupun lapangan, karena tidak ada hubungan urutan yang jelas antara elemen 1 dan i.




Elemen positif


Dalam analogi yang mirip dengan bilangan real, sebuah elemen c dari gelanggang terurut R dikatakan positif jika 0 < c, sedangkan negatif jika c < 0. Elemen 0 dianggap tidak positif maupun negatif.
Himpunan elemen positif dari gelanggan terurut R sering dilambangkan dengan R+. Notasi alternatif, yang lebih disukai dalam beberapa disiplin ilmu, adalah menggunakan R+ untuk himpunan elemen non-negatif, dan R++ untuk himpunan elemen positif.




Nilai mutlak


Jika



a


{\displaystyle a}

adalah elemen gelanggang terurut R, maka nilai mutlak dari



a


{\displaystyle a}

, yang dilambangkan dengan




|

a

|



{\displaystyle |a|}

, didefinisikan sebagai:





|

a

|

:=


{



a
,




jika


0
≤
a
,




−
a
,




lainnya


,








{\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{jika }}0\leq a,\\-a,&{\mbox{lainnya}},\end{cases}}}


dengan



−
a


{\displaystyle -a}

adalah invers aditif dari



a


{\displaystyle a}

dan 0 adalah elemen identitas.




Gelanggang terurut diskrit


Gelanggang terurut diskrit adalah gelanggang terurut yang tidak memiliki elemen diantara 0 dan 1. Bilangan bulat adalah contoh gelanggang terurutan diskrit, tetapi bilangan rasional bukan.




Lihat pula


Gelanggang terurutan sebagian




Catatan


Daftar di bawah ini mencakup referensi ke teorema yang secara resmi diverifikasi oleh proyek IsarMathLib Diarsipkan 2023-05-29 di Wayback Machine..

Kata Kunci Pencarian:

• Gelanggang terurut
• Lapangan terurut
• Grup terurut
• Nilai absolut
• Pangkat dua
• Gelanggang
• Teori gelanggang
• Gelanggang komutatif
• Bilangan bulat
• Gelanggang Boolean