• Source: Geometri mutlak

Geometri mutlak adalah geometri yang didasarkan pada sistem aksioma geometri Euklides tanpa menggunakan postulat paralel maupun alternatifnya. Secara sederhana, geometri ini hanya menggunakan empat pertama dari postulat Euklidean. Namun karena postulat Euklidean tidak cukup menjadi dasar dari geometri Euklides, sistem lain, seperti aksioma Hilbert tanpa menggunakan aksioma paralel, dipilih menjadi dasar. Istilah ini diperkenalkan oleh János Bolyai pada tahun 1832. Geometri ini terkadang disebut sebagai geometri netral, dalam konteks "ke-netral-annya" dengan postulat paralel.




Sifat


Geometri absolut terlihat sebagai sebuat sistem yang agak lemah, namun itu tidak sepenuhnya benar. Pada Elemen Euklides, Proposisi 28 dan Proposisi 31 menghindari penggunaan postulat paralel, dan oleh karena itu keduanya berlaku dalam geometri absolut. Dalam geometri absolut, kita juga dapat membuktikan teorema sudut eksterior (sudut luar segitiga lebih besar daripada kedua sudut segitiga lainnya), serta Teorema Saccheri – Legendre, yang menyatakan bahwa jumlah ukuran sudut dalam segitiga memiliki paling banyak 180°.
Proposisi 31 berisi cara mengonstruksi garis yang sejajar ke suatu garis tertentu melalui titik yang bukan pada garis tersebut. Karena pembuktiannya hanya membutuhkan penggunaan Proposisi 27 (teorema sudut interior alternatif), konstruksi tersebut berlaku dalam geometri absolut. Dalam bahasa yang lebih formal, untuk setiap garis



l


{\displaystyle l}

dan setiap titik



P


{\displaystyle P}

yang tidak terletak pada



l


{\displaystyle l}

, ada setidaknya satu garis yang melewati



P


{\displaystyle P}

dan sejajar dengan



l


{\displaystyle l}

. Hal ini dapat dibuktikan dengan mengonstruksi garis



m


{\displaystyle m}

dari



P


{\displaystyle P}

ke



l


{\displaystyle l}

yang tegak lurus, lalu membuat garis



n


{\displaystyle n}

yang tegak lurus dengan



m


{\displaystyle m}

dan melalui



P


{\displaystyle P}

. Berdasarkan teorema sudut interior alternatif, garis



l


{\displaystyle l}

sejajar dengan



n


{\displaystyle n}

. (Teorema sudut interior alternatif menyatakan bahwa jika garis



a


{\displaystyle a}

dan



b


{\displaystyle b}

yang dipotong oleh garis



t


{\displaystyle t}

membentuk sepasang sudut interior alternatif yang kongruen, maka garis



a


{\displaystyle a}

dan



b


{\displaystyle b}

saling sejajar.)
Dalam geometri absolut juga dapat dibuktikan bahwa dua garis yang tegak lurus dengan suatu garis yang sama tidak mungkin berpotongan (yang mengartikan kedua garis tersebut sejajar, menurut definisi garis sejajar). Hal ini membuktikan bahwa sudut puncak pada segiempat Saccheri tidak mungkin tumpul, dan geometri bola bukanlah geometri absolut.




Hubungannya dengan geometri lain


Teorema geometri absolut berlaku dalam geometri hiperbolik, yang merupakan geometri non-Euklides, serta dalam geometri Euklides.
Geometri absolut tidak konsisten dengan geometri elips: dalam teori itu, tidak ada garis sejajar sama sekali, tetapi itu adalah teorema geometri absolut bahwa garis sejajar memang ada. Namun, dimungkinkan untuk memodifikasi sistem aksioma sehingga geometri absolut, sebagaimana ditentukan oleh sistem yang dimodifikasi, akan menyertakan geometri sferis dan elips, yang tidak memiliki garis sejajar.
Geometri absolut adalah perpanjangan dari geometri terurut, dan dengan demikian, semua teorema dalam geometri terurut tetap dalam geometri absolut. Kebalikannya tidak benar. Geometri absolut mengasumsikan empat aksioma Euklid pertama (atau ekuivalennya), dibandingkan dengan geometri affine, yang tidak mengasumsikan aksioma ketiga dan keempat Euklid.
(3: "Untuk mendeskripsikan lingkaran dengan semua pusat dan jarak radius.", 4: "Bahwa semua sudut siku sama satu sama lain.")
Geometri teratur adalah fondasi umum dari geom absolut dan geo affin.
Geometri relativitas khusus telah dikembangkan mulai dengan sembilan aksioma dan sebelas proposisi geometri absolut. Para penulis Edwin B. Wilson dan Gilbert N. Lewis kemudian melanjutkan melampaui geometri absolut ketika mereka memperkenalkan rotasi hiperbolik sebagai transformasi yang menghubungkan dua kerangka acuan.




Bidang Hilbert


Sebuah bidang yang memenuhi aksioma Incidence Hilbert, betweness, dan kekongruenan, disebut dengan bidang Hilbert. Bidang Hilbert adalah model dari geometri absolut.




Ketidaklengkapan


Geometri absolut adalah sistem aksiomatik yang tidak lengkap, dalam artian bahwa seseorang dapat menambahkan aksioma baru yang independen, tanpa membuat sistem aksioma menjadi tidak konsisten. Seseorang dapat memperluas geometri absolut dengan menambahkan aksioma yang berbeda tentang sifat garis paralel dan mendapatkan beberapa sistem aksioma yang konsisten namun tidak saling compatible. Hal ini yang menimbulkan geometri Euklides atau hiperbolik. Dengan demikian, setiap teorema pada geometri absolut juga merupakan teorema pada geometri hiperbolik dan geometri Euklides. Namun pernyataan sebaliknya tidak benar.




Lihat pula


Geometri Affine
Program Erlangen
Fondasi geometri
Geometri insiden
Geometri Non-Euklides




Catatan






Referensi


Coxeter, H. S. M. (1969), Introduction to Geometry (edisi ke-2nd), New York: John Wiley & Sons
Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
Greenberg, Marvin Jay (2007), Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History (edisi ke-4th), New York: W. H. Freeman, ISBN 0-7167-9948-0
Greenberg, Marvin Jay (2010), "Old and New Results in the Foundations of Elementary Plane Euclidean and Non-Euclidean Geometries" (PDF), Mathematical Association of America Monthly, 117: 198–219, diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2023-03-27, diakses tanggal 2020-10-05
Hartshorne, Robin (2005), Geometry: Euclid and Beyond, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98650-2
Pambuccain, Victor Axiomatizations of hyperbolic and absolute geometries, in: Non-Euclidean geometries (A. Prékopa and E. Molnár, eds.). János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6–12, 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.




Pranala luar


Media tentang Absolute geometry di Wikimedia Commons
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Absolute Geometry". MathWorld.

Kata Kunci Pencarian:

• Geometri mutlak
• Geometri
• Garis besar geometri
• Daftar topik geometri
• Sudut (geometri)
• Nilai absolut
• Permeabilitas
• Ruang (matematika)
• Diferensial (matematika)
• Daftar simbol matematika