• Source: Hiperkubus

Dalam geometri, Hiperkubus adalah analog dari ruang dimensi n dari sebuah Persegi pada bagian (1=n=2) dan untuk bagian kubus pada (1=n =3). Hal tersebut adalah dari himpunan tertutup dengan ruang kompak, polytope cembung hanya memiliki 1 kerangka terdiri dari kelompok berlawanan dengan parallel segmen garis disejajarkan di setiap dimensi ruang, tegak lurus satu sama lain dan memiliki panjang yang sama. Diagonal terpanjang sebuah hiperkubus dalam dimensi n sama dengan





n




{\displaystyle {\sqrt {n}}}

.




Konstruksi



Hiperkubus dapat didefinisikan dengan menambahkan jumlah dimensi suatu bangun:

0 – Titik merupakan hiperkubus berdimensi nol.
1 – Jika seseorang menggeser titik tersebut pada satuan panjang, maka akan terbentuk suatu ruas garis. Ruas garis tersebut merupakan hiperkubus berdimensi satu.
2 – Jika seseorang menggeser ruas garis tersebut yang arahnya tegak lurus dengannya, maka akan menghasilkan sebuah persegi yang merupakan bangun datar berdimensi dua.
3 – Jika seseorang menggeser persegi pada satuan panjang yang arahnya tegak lurus dengan bidang, maka akan terbentuk sebuah kubus yang merupakan bangun ruang berdimensi tiga.
4 – Jika seseorang menggeser kubus ke satuan panjang ke dimensi keempat, maka akan menghasilkan hiperkubus pada satuan berdimensi 4, yaitu satuan tesseract.
Hal tersebut dapat digeneralisasikan untuk sebarang dimensi. Proses tersebut dapat diformalkan secara matematis sebagai penjumlahan Minkowski: hiperkubus berdimensi d sama dengan jumlah Minkowski dari d ruas garis dengan panjang satuannya yang saling tegak lurus. Penjumlahan tersebut disebut sebagai zonotop (zonotope).




Koordinat titik sudut


Hiperkubus satuan berdimensi



n


{\displaystyle n}

adalah merupakan selubung cembung (convex hull) dari suatu titik dengan



n


{\displaystyle n}

koordinat Cartesius masing-masing sama dengan



0


{\displaystyle 0}

atau



1


{\displaystyle 1}

. Karena itu, hiperkubus juga merupakan darab Cartesius



[
0
,
1

]

n




{\displaystyle [0,1]^{n}}

dari



n


{\displaystyle n}

salinan dari interval satuan



[
0
,
1
]


{\displaystyle [0,1]}

. Hiperkubus satuan lainnya, yang berpusat di titik asal dari ruang sekitar, dapat diperoleh dengan menggunakan translasi. Bangun tersebut merupakan selubung cembung dari titik yang vektor koordinat Cartesiusnya adalah




(

±


1
2


,
±


1
2


,
⋯
,
±


1
2



)

.


{\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\cdots ,\pm {\frac {1}{2}}\right).}

Di dalam koordinat tersebut, tanda



±


{\displaystyle \pm }

mengartikan bahwa tiap-tiap koordinat sama dengan



1

/

2


{\displaystyle 1/2}

atau



−
1

/

2


{\displaystyle -1/2}

. Satuan hiperkubus ini juga merupakan darab Cartesius



[
−
1

/

2
,
1

/

2

]

n




{\displaystyle [-1/2,1/2]^{n}}

. Satuan hiperkubus memiliki edge yang panjangnya



1


{\displaystyle 1}

dan volume berdimensi-



n


{\displaystyle n}

darinya adalah



1


{\displaystyle 1}

.




Elemen


Setiap dari Kubus pada-n untuk n > 0 terdiri dari elemen atau Kubus pada-n dari dimensi yang lebih rendah, pada bagian n−1-permukaan dimensi pada hiperkubus dari induk. Sisi adalah elemen apa pun dari n−1 dimensi hiperkubus induk. Sebuah hiperkubus dimensi n mempunyai 2n sisi pada (a 1-garis dimensi memiliki 2 titik ujung; bujur sangkar 2 dimensi memiliki 4 sisi atau tepi; kubus 3 dimensi memiliki 6 permukaan 2 dimensi; Tesseract 4 dimensi memiliki 8 sel). Jumlah simpul (titik) dari hiperkubus adalah




2

n




{\displaystyle 2^{n}}

(kubus memiliki




2

3




{\displaystyle 2^{3}}

simpul, misalnya).
Jumlah dari m-hiperkubus dengan dimensi pada batas sebuah n-kubus adalah:





E

m
,
n


=

2

n
−
m





(


n
m


)





{\displaystyle E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}}

, darimana






(


n
m


)



=



n
!


m
!

(
n
−
m
)
!





{\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}}

dan n! menunjukkan faktorial dari n.
Identitas tersebut dapat dibuktikan dengan argumen kombinatorial; masing-masing pada




2

n




{\displaystyle 2^{n}}

simpul mendefinisikan simpul dalam m-batas dimensi. Ada






(


n
m


)





{\displaystyle {n \choose m}}

cara memilih garis mana ("sisi") yang menentukan subruang di mana batasnya berada. Tapi, setiap sisi dihitung




2

m




{\displaystyle 2^{m}}

kali karena memiliki banyak simpul, kita perlu membaginya dengan nomor ini.
Identitas ini juga dapat digunakan untuk menghasilkan rumus n-dimensi luas permukaan kubus. Luas permukaan hiperkubus adalah




2
n

s

n
−
1




{\displaystyle 2ns^{n-1}}

.
Angka-angka tersebut juga dapat dihasilkan oleh relasi pengulangan linier





E

m
,
n


=
2

E

m
,
n
−
1


+

E

m
−
1
,
n
−
1





{\displaystyle E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!}

, with




E

0
,
0


=
1



{\displaystyle E_{0,0}=1\!}

, dan elemen tak terdefinisi (darimana



n
<
m


{\displaystyle n
,



n
<
0


{\displaystyle n<0}

, atau



m
<
0


{\displaystyle m<0}

)



=
0


{\displaystyle =0}

.
Misalnya, memperluas persegi melalui 4 simpulnya menambahkan satu garis ekstra (sisi) per simpul, dan juga menambahkan kuadrat kedua terakhir, untuk membentuk sebuah kubus, memberikan




E

1
,
3





{\displaystyle E_{1,3}\!}

= 12 baris secara total.




Grafik


- Dalam pengembangan -




Keluarga terkait dari polytopes


- Dalam pengembangan -




Hubungan dengan (n−1)-kesederhanaan


- Dalam pengembangan -




Generalisasi Hiperkubus


- Dalam pengembangan -




Lihat pula



Jaringan interkoneksi hiperkubus arsitektur komputer
Kelompok hiperoktahedral, kelompok simetri Hiperkubus
Hiperbola
Simpleks
Penyaliban (Corpus Hiperkubus) (karya seni terkenal)
{{Stage short}}




Catatan






Referensi


Bowen, J. P. (April 1982). "Hypercube". Practical Computing. 5 (4): 97–99. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-06-30. Diakses tanggal June 30, 2008.
Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes (edisi ke-3rd). §7.2. see illustration Fig. 7-2C: Dover. hlm. 122-123. ISBN 0-486-61480-8. p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5)
Hill, Frederick J.; Gerald R. Peterson (1974). Introduction to Switching Theory and Logical Design: Second Edition. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-39882-9. Cf Chapter 7.1 "Cubical Representation of Boolean Functions" wherein the notion of "hypercube" is introduced as a means of demonstrating a distance-1 code (Gray code) as the vertices of a hypercube, and then the hypercube with its vertices so labelled is squashed into two dimensions to form either a Veitch diagram or Karnaugh map.




Pranala luar



(Inggris) Weisstein, Eric W. "Hypercube". MathWorld.
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Hypercube graphs". MathWorld.
www.4d-screen.de (Rotasi 4D - 7D-Kubus)
Rotating a Hypercube oleh Enrique Zeleny, Proyek Demonstrasi Wolfram.
Hiperkubus Animasi Stereoskopik
[1]

Kata Kunci Pencarian:

• Hiperkubus
• Tesseract (geometri)
• Kubus satuan
• Dimensi
• Bentuk
• Arche de la Défense
• Ruang dimensi tiga
• Persegi
• Geometri
• Ruang dimensi empat