Search Results for “infimum dan supremum”

Source: Infimum dan supremum

Dalam matematika, infimum himpunan bagian

S

{\displaystyle S}

dari himpunan terurut parsial

P

{\displaystyle P}

adalah anggota terbesar dalam

P

{\displaystyle P}

, yang lebih kecil dari atau sama dengan tiap-tiap anggota

S

{\displaystyle S}

, jika ada satu buah anggota. Berdasarkan pengertian tersebut, infimum disebut batas bawah terbesar (bahasa Inggris: greatest lower bound), dan istilah itu umum digunakan. Infimum disingkat sebagai "inf". Di sisi lain, supremum himpunan bagian dari himpunan terurut parsial

P

{\displaystyle P}

adalah anggota terkecil dalam

P

{\displaystyle P}

yang lebih kecil dari atau sama dengan tiap-tiap anggota

S

{\displaystyle S}

, jika terdapat anggotanya. Berdasarkan pengertian lagi, supremum juga disebut sebagai batas atas terkecil (bahasa Inggris: least upper bound). Supremum disingkat sebagai "sup".
Infimum dan supremum dari bilangan real adalah kasus istimewa yang umum, yang penting dalam analisis matematika, khususnya dalam integrasi Lebesgue. Akan tetapi, definisi umum tetap valid dalam pengaturan teori order yang lebih abstrak
Komsep infimum dan supremum mirip seperti konsep minimum dan maksimum, tetapi konsep ini lebih berguna dalam analisis karena mereka memiliki himpunan-himpunan karakteristik spesial berbeda yang tidak memiliki minimum atau maksimum. Sebagai contoh, bilangan real positif

R

+

{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}

, himpunan yang mengecualikan 0, tidak memiliki suatu minimum, karena dengan mudahnya setiap anggota

R

+

{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}

yang diberikan dapat dibagi menjadi dua bagian dalam suatu bilangan lebih kecil yang masih terdapat di

R

+

{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}

. Akan tetapi, terdapat satu buah infimum dari bilangan real positif: 0, bilangan yang lebih kecil daripada semua bilangan real positif, dan lebih besar daripada setiap bilangan real lainnya yang dapat digunakan sebagai batas bawah.

Definisi formal

infimum

supremum

Keberadaan dan ketunggalan

Kaitannya dengan anggota maksimum dan minimum

= Batas atas minimum

supremum

= Sifat batas atas terkecil

supremum

Infimum dan supremum bilangan real

= Sifat-sifat

infimum

supremum

, dan

x
≥
p

{\displaystyle x\geq p}

untuk setiap

x
∈
A

{\displaystyle x\in A}

.

p
=
sup
A

{\displaystyle p=\sup A}

jika dan hanya jika setiap

ε
>
0

{\displaystyle \varepsilon >0}

, terdapat

x
∈
A

{\displaystyle x\in A}

dengan

x
>
p
−
ε

{\displaystyle x>p-\varepsilon }

untuk setiap

x
∈
A

{\displaystyle x\in A}

.
Jika

A
⊆
B

{\displaystyle A\subseteq B}

, maka

inf
A
≥
inf
B

{\displaystyle \inf A\geq \inf B}

dan

sup
A
≤
sup
B

{\displaystyle \sup A\leq \sup B}

.
Jika

r
≥
0

{\displaystyle r\geq 0}

, maka

inf
(
r
⋅
A
)
=
r
⋅
(
inf
A
)

{\displaystyle \inf(r\cdot A)=r\cdot (\inf A)}

dan

sup
(
r
⋅
A
)
=
r
⋅
(
sup
A
)

{\displaystyle \sup(r\cdot A)=r\cdot (\sup A)}

.
Jika

r
≤
0

{\displaystyle r\leq 0}

, maka

inf
(
r
⋅
A
)
=
r
⋅
(
sup
A
)

{\displaystyle \inf(r\cdot A)=r\cdot (\sup A)}

dan

sup
(
r
⋅
A
)
=
r
⋅
(
inf
A
)

{\displaystyle \sup(r\cdot A)=r\cdot (\inf A)}

.

inf
(
A
+
B
)
=
(
inf
A
)
+
(
inf
B
)

{\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}

, dan

sup
(
A
+
B
)
=
(
sup
A
)
+
(
sup
B
)

{\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B)}

.
Jika

A

{\displaystyle A}

,

B

{\displaystyle B}

himpunn tak kosong bilangan real positif maka

inf
(
A
⋅
B
)
=
(
inf
A
)
⋅
(
inf
B
)

{\displaystyle \inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)}

, dan hal ini berlaku sama untuk supremum.

Dualitas

Jika dualitas dilambangkan dengan

P

op

{\displaystyle P^{\operatorname {op} }}

, maka himpunan terurut parsial

P

{\displaystyle P}

dengan relasi urutan berlawanan, dalam artian:

x
≤
y

{\displaystyle x\leq y}

di

P

op

{\displaystyle P^{\operatorname {op} }}

jika dan hanya jika

x
≥
y

{\displaystyle x\geq y}

dalam

P

{\displaystyle P}

, untuk semua

x

{\displaystyle x}

dan

y

{\displaystyle y}

, maka infimum himpunan bagian

S

{\displaystyle S}

di

P

{\displaystyle P}

sama dengan

P

op

{\displaystyle P^{\operatorname {op} }}

, dan begitupula untuk sebaliknya.
Untuk himpunan bagian dari bilangan real, terdapat dualitas lain yang berlaku

inf
S
=
−
sup
(
−
S
)

{\displaystyle \inf S=-\sup(-S)}

, dengan

−
S
=
{
−
s
∣
s
∈
S
}

{\displaystyle -S=\{-s\mid s\in S\}}

.

Contoh

= Infimum

=
Infimum himpunan bilangan

{
2
,
3
,
4
}

{\displaystyle \{2,3,4\}}

adalah

2

{\displaystyle 2}

.

1

{\displaystyle 1}

adalah batas bawah, tetapi bukan batas bawah terbesar, dan karena itu,

1

{\displaystyle 1}

bukanlah infimum.
Lebih umum, jika suatu himpunan memiliki anggota terkecil, maka anggota terkecil adalah infimum untuk himpunan. Dalam kasus ini, anggota terkecil itu juga disebut minimum dari himpunan.

inf
{
1
,
2
,
3
,
…
}
=
1

{\displaystyle \inf\{1,2,3,\dots \}=1}

.

inf
{
x
∈

R

∣
0
<
x
<
1
}
=
0

{\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} \mid 0
,

inf
{
x
∈

R

∣
0
<
x
<
1
}
=
0

{\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} \mid 0

inf

{

x
∈

Q

∣

x

3

>
2

}

=

2

3

{\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}}

.

inf

{

(
−
1

)

n

+

1
n

∣
n
=
1
,
2
,
3
,
…

}

=
−
1

{\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \right\}=-1}

.
Jika

x

n

{\displaystyle x_{n}}

adalah barisan menurun dengan limit

x

{\displaystyle x}

, maka

inf

x

n

=
x

{\displaystyle \inf x_{n}=x}

.

= Supremum

=
Supremum himpunan bilangan

{
1
,
2
,
3
}

{\displaystyle \{1,2,3\}}

adalah

3

{\displaystyle 3}

.

4

{\displaystyle 4}

adalah batas atas, tetapi bukan batas atas terkecil, dan karena itu,

4

{\displaystyle 4}

bukanlah supremum.

sup
{
x
∈

R

∣
0
<
x
<
1
}
=
sup
{
x
∈

R

∣
0
≤
x
≤
1
}
=
1

{\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} \mid 0
.

sup

{

(
−
1

)

n

−

1
n

∣
n
=
1
,
2
,
3
,
…

}

=
1

{\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \right\}=1}

.

sup
{
a
+
b
∣
a
∈
A
,
b
∈
B
}
=
sup
A
+
sup
B

{\displaystyle \sup\{a+b\mid a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B}

.

sup
{
x
∈

Q

∣

x

2

<
2
}
=

2

{\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}={\sqrt {2}}}

.
Di contoh terakhir, supremum himpunan bilangan rasional adalah bilangan irasional, yang berarti bahwa rasional tidak lengkap.
Salah satu sifat dasar dari supremum adalah

sup
{
f
(
t
)
+
g
(
t
)
∣
t
∈
A
}
≤
sup
{
f
(
t
)
∣
t
∈
A
}
+
sup
{
g
(
t
)
∣
t
∈
A
}

{\displaystyle \sup\{f(t)+g(t)\mid t\in A\}\leq \sup\{f(t)\mid t\in A\}+\sup\{g(t)\mid t\in A\}}

untuk setiap fungsional

f

{\displaystyle f}

dan

g

{\displaystyle g}

.
Supremum himpunan bagian

S

{\displaystyle S}

dari

(

N

,
∣
)

{\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid )}

, dengan

∣

{\displaystyle \mid }

melambangkan notasi pembagi, adalah kelipatan persekutuan terkecil anggota

S

{\displaystyle S}

.
Supremum himpunan

S

{\displaystyle S}

yang mengandung beberapa himpunan

X

{\displaystyle X}

merupakan gabungan subhimpunan dari himpunan terurut parsial

(
P
,
⊆
)

{\displaystyle (P,\subseteq )}

, dengan

P

{\displaystyle P}

menyatakan pangkat kuasa dari

X

{\displaystyle X}

, dan

⊆

{\displaystyle \subseteq }

menyatakan himpunan bagian.

Lihat pula

Anggota maksimal dan minimal
Anggota terbesar dan terkecil
Batas atas dan bawah
Superior limit dan inferior limit (limit infimum)
Supremum esensial dan infimum esensial

Referensi

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Upper and lower bounds", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Infimum dan supremum". MathWorld.