- Source: Integral Lebesgue
Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.
Konstruksi
= Ruang ukuran
=Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
.
= Integral dari fungsi sederhana
=Fungsi karakteristik
χ
A
:
X
→
{
0
,
1
}
{\displaystyle \chi _{A}:X\rightarrow \{0,1\}}
untuk himpunan
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
adalah
χ
A
(
x
)
=
{
1
j
i
k
a
x
∈
A
0
j
i
k
a
x
∉
A
.
{\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{cases}1&\mathrm {jika} \;x\in A\\0&\mathrm {jika} \;x\not \in A\end{cases}}.}
Suatu fungsi
ϕ
:
X
→
R
{\displaystyle \phi :X\rightarrow \mathbb {R} }
tersebut fungsi sederhana, jika
ϕ
=
∑
i
=
1
n
α
i
χ
A
i
{\displaystyle \phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}
untuk
α
1
,
…
,
α
n
∈
R
{\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {R} }
,
A
1
,
…
,
A
n
∈
Σ
{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in \Sigma }
dan
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
.
Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana
ϕ
=
∑
i
=
1
n
α
i
χ
A
i
{\displaystyle \phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}
sebagai
∫
X
ϕ
d
μ
=
∑
i
=
1
n
α
i
μ
(
A
i
)
.
{\displaystyle \int _{X}\phi \,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\,\alpha _{i}\mu (A_{i}).}
= Integral dari fungsi tak negatif
=Misalnya
f
:
(
X
,
Σ
)
→
(
R
,
B
(
R
)
)
{\displaystyle f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}
suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana
B
(
R
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}
aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai
∫
X
f
d
μ
=
sup
{
∫
X
ϕ
d
μ
:
ϕ
sederhana,
0
≤
ϕ
≤
f
}
.
{\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup \left\{\int _{X}\phi \,d\mu :\phi {\text{ sederhana, }}0\leq \phi \leq f\right\}.}
Perhatikan bahwa
∫
X
f
d
μ
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \in [0,\infty ]}
.
= Integral dari fungsi terukur sembarang
=Misalnya
f
:
(
X
,
Σ
)
→
(
R
,
B
(
R
)
)
{\displaystyle f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}
suatu fungsi terukur.
Selanjutnya fungsi tak negatif
f
+
{\displaystyle f^{+}}
dan
f
−
{\displaystyle f^{-}}
adalah didefinisikan tik demi tik sebagai
f
+
=
max
{
f
,
0
}
{\displaystyle f^{+}=\max\{f,0\}}
dan
f
−
=
max
{
−
f
,
0
}
{\displaystyle f^{-}=\max\{-f,0\}}
.
Perhatikan bahwa
f
=
f
+
−
f
−
{\displaystyle f=f^{+}-f^{-}}
dan
|
f
|
=
f
+
+
f
−
{\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}}
.
Jika
∫
X
f
+
d
μ
<
∞
{\displaystyle \int _{X}f^{+}\,d\mu <\infty }
dan
∫
X
f
−
d
μ
<
∞
{\displaystyle \int _{X}f^{-}\,d\mu <\infty }
, maka
f
{\displaystyle f}
dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan
∫
X
f
d
μ
=
∫
X
f
+
d
μ
−
∫
X
f
−
d
μ
.
{\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}f^{+}\,d\mu -\int _{X}f^{-}\,d\mu .}
Jelas,
f
{\displaystyle f}
terintegralkan jika dan hanya jika
∫
|
f
|
d
μ
<
∞
{\displaystyle \int |f|\,d\mu <\infty }
.
Sifat-sifat dasar
Integral itu linear, yaitu jika
α
,
β
∈
R
{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }
dan
f
,
g
{\displaystyle f,g}
fungsi terintegralkan, maka
α
f
+
β
g
{\displaystyle \alpha f+\beta g}
juga terintegralkan dengan
∫
X
α
f
+
β
g
d
μ
=
α
∫
X
f
d
μ
+
β
∫
X
g
d
μ
.
{\displaystyle \int _{X}\alpha f+\beta g\,d\mu =\alpha \int _{X}f\,d\mu +\beta \int _{X}g\,d\mu .}
Integral itu monoton, yaitu jika
f
,
g
{\displaystyle f,g}
fungsi terintegralkan dan
f
≤
g
{\displaystyle f\leq g}
, maka
∫
X
f
d
μ
≤
∫
X
g
d
μ
.
{\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .}
Kata Kunci Pencarian:
- Integral
- Integral Lebesgue
- Integrasi Lebesgue-Stieltjes
- Henri Léon Lebesgue
- Integral Riemann
- Integral substitusi
- Integral lipat
- Integral Dirichlet
- Ukuran (matematika)
- Integral Berezin
- Lebesgue integral
- Riemann integral
- Integral
- Henri Lebesgue
- Henstock–Kurzweil integral
- Lebesgue–Stieltjes integration
- Improper integral
- Lebesgue measure
- Dirichlet integral
- Riemann–Stieltjes integral
