- Source: Integral lipat
Dalam matematika (khususnya dalam cabang kalkulus multivariabel), integral lipat merupakan integral tentu dari fungsi variabel real banyak, contohnya seperti f(x, y) atau f(x, y, z). Integral dari fungsi dua variabel pada daerah di bidang bilangan real (
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
) disebut integral lipat dua, dan integral dari fungsi tiga variabel pada daerah di ruang tiga dimensi bilangan real (
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
) disebut integral lipat tiga.
Pengenalan
Integral tentu dari fungsi positif satu variabel yang mewakili luas daerah antara grafik fungsi dan sumbu-x. Mirip dengan sebelumnya, integral lipat dua dari fungsi positif dua variabel mewakili volume daerah antara permukaan yang didefinisikan melalui fungsi (di bidang Kartesius berdimensi tiga, dengan z = f(x, y)) dan bidang yang memuat domain fungsinya. Integral lipat akan memberikan hipervolume dari fungsi multidimensi jika ada banyaknya variabel.
Pengintegralan banyak dari fungsi dalam variabel n: f(x1, x2, ..., xn) pada domain D biasanya diwakili oleh simbol integral bersarang yang dihitung dalam urutan yang terbalik (integral paling sebelah kiri dihitung terakhir), ditunjukkan oleh fungsi dan argumen integran dalam urutan wajar (integral pada argumen paling sebelah kanan dihitung terakhir). Domain pengintegralannya mewakili secara simbolis untuk setiap argumen pada simbol integral, atau disingkat oleh variabel di simbol integral paling sebelah kanan:
∫
⋯
∫
D
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
d
x
1
⋯
d
x
n
{\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}
Karena konsep antiturunan hanya didefinisikan untuk fungsi satu variabel real, definisi integral taktentu biasanya tidak langsung memperluas ke integral lipat.
Definisi secara matematis
Untuk n > 1, misalkan T adalah domain hyperrectangle berdimensi n, dengan interval "setengah terbuka". Maka, secara matematis didefinisikan sebagai
T
=
[
a
1
,
b
1
)
×
[
a
2
,
b
2
)
×
⋯
×
[
a
n
,
b
n
)
⊆
R
n
.
{\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}
Partisi masing-masing interval [aj, bj) dengan keluarga hingga Ij dari subinterval tak-bertindih ijα, dengan masing-masing subinterval tertutup di sebelah kiri dan terbuka di sebelah kanan. Maka, keluarga hingga dari subrectangle C yang dinyatakan sebagai
C
=
I
1
×
I
2
×
⋯
×
I
n
{\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}
merupakan partitisi dari T. Dalam artian, subrectangle Ck tak bertindih dan gabungan dari interval tersebut adalah T. Agar dapat menjelaskan lebih lanjut, misalkan f : T → R adalah fungsi yang didefinisikan oleh T. Misalkan pula partisi C dari T seperti yang didefinsikan sebelumnya, sehingga C adalah keluarga dari subrectangle m, dinyatakan sebagai Cm. Secara matematis, ditulis sebagai
T
=
C
1
∪
C
2
∪
⋯
∪
C
m
{\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}}
Kita dapat menghitung hampiran dari total volume berdimensi (n + 1) dengan batas bawahnya adalah hyperrectangle T berdimensi n dan batas atasnya adalah grafik f berdimensi n. Hal ini dapat ditunjukkan melalui jumlah Riemann:
∑
k
=
1
m
f
(
P
k
)
m
(
C
k
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}
dengan Pk adalah titik di Ck dan m(Ck) merupakan hasilkali dari panjang interval yang hasilkali Kartesius adalah Ck, juga dikenal sebagai ukuran dari Ck.
Diameter suatu subrectangle Ck merupakan panjang interval paling terbesar, dengan hasilkali Cartesiusnya adalah Ck. Diameter dari partisi T yang diberikan dinyatakan sebagai diameter terpanjang dari subrectangle dalam partisi. Secara intuitif, ketika diameter dari partisi C dibatasi lebih kecil dan lebih kecil lagi, jumlah subrectangle m semakin besar, dan ukuran m(Ck) dari masing-masing subrectangle semakin kecil. Fungsi f dikatakan terintegralkan Riemann jika limit
S
=
lim
δ
→
0
∑
k
=
1
m
f
(
P
k
)
m
(
C
k
)
{\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}
ada, dengan limitnya mengambil semua partisi T yang mungkin dari diameter setidaknya δ.
Jika f adalah terintegralkan Riemann, maka S disebut integral Riemann dari f pada T dan dinyatakan sebagai
∫
⋯
∫
T
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
d
x
1
⋯
d
x
n
{\displaystyle \int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}
atau bentuk integral di atas seringkali disingkat sebagai
∫
T
f
(
x
)
d
n
x
.
{\displaystyle \int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .}
dengan x mewakili (x1, …, xn) kelipatan n dan dnx merupakan diferensial volume berdimensi n.
Integral Riemann suatu fungsi yang didefinsikan pada batas sembarang himpunan berdimensi n dapat didefinisikan dengan memperluas fungsi tersebut menjadi sebuah fungsi yang didefinisikan pada persegi panjang setengah terbuka, dengan nilainya nol berada di luar domain fungsi aslinya. Maka, integral dari fungsi asli pada domain asli dinyatakan menjadi integral dari fungsi yang diperluas pada domain berupa persegi panjang, jika ada.
Integral Riemann berdimensi n disebut integral lipat.
= Sifat-sifat
=Ada banyak sifat integral lipat yang sama dengan sifat integral dari fungsi satu variabel seperti linearitas, komutitativitas, kemonotonan, dan sebagainya. Sifat yang penting mengenai integral lipat adalah bahwa nilai suatu integral adalah bebas dari urutan integran terhadap syarat-syarat tertentu. Sifat populer ini dikenal sebagai teorema Fubini.
= Kasus istimewa
=Ada berbagai kasus istimewa terkait dengan integral lipat. Integral lipat dua dari f di T ditulis
l
=
∬
T
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy}
untuk kasus
T
⊆
R
2
{\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{2}}
, sedangkan integral lipat tiga dari f di T ditulis
l
=
∭
T
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}
untuk kasus
T
⊆
R
3
{\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{3}}
.
Perhatikan bahwa menurut konvensi, integral lipat ganda mempunyai dua tanda integral, sedangkan integral lipat tiga mempunyai tiga tanda integral.
Metode-metode pengintegralan
Pada beberapa kasus, penyelesaian masalah terkait dengan integral lipat melibatkan sebuah pencarian mengenai cara untuk mereduksi integral lipat menjadi integral teriterasi, sebuah deret dari integral satu variabel, yang masing-masing integral dapat diselesaikan langsung. Namun, hal ini dibenarkan melalui teorema Fubini, asalkan fungsinya kontinu. Terkadang metode ini dapat memperoleh hasil pengintegralan dengan menguji langsung tanpa melakukan perhitungan apapun.
Berikut adalah beberapa contoh-contoh terkait metode-metode pengintegralan:
= Fungsi konstan integran
=Ketika integrannya adalah fungsi konstan c, integral dari fungsi tersebut sama dengan hasil kali dari c dan ukuran domain pengintegralan. Jika c = 1 dan domainnya merupakan subdaerah dari R2, maka integral memberikan luas daerah. Namun jika domainnya merupakan subdaerah dari R3, maka integral memberikan volume daerah.
Contoh. Misalkan f(x, y) = 2 dan
D
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
2
≤
x
≤
4
;
3
≤
y
≤
6
}
{\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}}
maka integral darinya adalah
∫
3
6
∫
2
4
2
d
x
d
y
=
2
∫
3
6
∫
2
4
1
d
x
d
y
=
2
⋅
luas
(
D
)
=
2
⋅
(
2
⋅
3
)
=
12
,
{\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {luas} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12,}
karena menurut definisi, diperoleh:
∫
3
6
∫
2
4
1
d
x
d
y
=
luas
(
D
)
.
{\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {luas} (D).}
= Metode menggunakan simetri
=Ketika domain pengintegralan adalah simetri terhadap asalnya, yang terhadap salah satu variabel pengintegralan, dan integran adalah fungsi ganjil terhadap variabel tersebut, maka integralnya sama dengan nol, ketika integral pada dua bagian domain memiliki nilai mutlak yang sama, namun dengan tanda yang berlawanan. Ketika integran adalah fungsi genap terhadap variabel tersebut, maka integralnya dua kali integral pada satu bagian domain, ketika integral pada dua bagian domain adalah sama.
Contoh 1. Tinjau fungsi f(x,y) = 2 sin(x) − 3y3 + 5 diintegralkan pada domain
T
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
x
2
+
y
2
≤
1
}
,
{\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}
sebuah cakram berjari-jari 1 yang berpusat di titik asalnya dengan batas yang ditentukan.
Dengan menggunakan sifat linearitas, integral dari fungsi tersebut dapat diurai menjadi tiga bagian integral:
∬
T
(
2
sin
x
−
3
y
3
+
5
)
d
x
d
y
=
∬
T
2
sin
x
d
x
d
y
−
∬
T
3
y
3
d
x
d
y
+
∬
T
5
d
x
d
y
{\displaystyle \iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy}
Fungsi 2 sin(x) adalah fungsi ganjil di variabel x dan cakram T simetri terhadap sumbu-y, sehingga nilai dari integral pertama adalah 0. Mirip contoh sebelumnya, fungsi 3y3 adalah fungsi ganjil dariy, dan T simetri terhadap sumbu-x, dan seterusnya hingga mencapai hasil akhir, yaitu nilai dari integral ketiga. Jadi, integral aslinya sama dengan 5 kalinya dari luas cakram, yaitu 5π.
Contoh 2. Tinjau fungsi f(x, y, z) = x exp(y2 + z2) dan ketika mengintegralkan daerah bola berjari-jari 2, yang berpusat di titik asli,
T
=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
:
x
2
+
y
2
+
z
2
≤
4
}
,
{\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\},}
maka "bola" tersebut simetri dengan tiga sumbu. Namun, hal ini cukup mengintegralkannya terhadap sumbu-x untuk memperlihatkan bahwa hasilnya adalah 0, karena fungsinya adalah ganjil dari variabel tersebut.
Contoh
= Integral ganda di atas persegi panjang
=Mari kita asumsikan bahwa kita ingin mengintegrasikan fungsi multivariabel f di suatu wilayah A:
A
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
11
≤
x
≤
14
;
7
≤
y
≤
10
}
dan
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
4
y
{\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ dan }}f(x,y)=x^{2}+4y\,}
Dari sini kami merumuskan integral iterasi
∫
7
10
∫
11
14
(
x
2
+
4
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy}
Integral bagian dalam dilakukan terlebih dahulu, berintegrasi dengan x dan mengambil y sebagai konstanta, karena ini bukan variabel integrasi. Hasil integral ini, yang merupakan fungsi yang hanya bergantung pada y, kemudian diintegrasikan sehubungan dengan y.
∫
11
14
(
x
2
+
4
y
)
d
x
=
[
1
3
x
3
+
4
y
x
]
x
=
11
x
=
14
=
1
3
(
14
)
3
+
4
y
(
14
)
−
1
3
(
11
)
3
−
4
y
(
11
)
=
471
+
12
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}}
Kami kemudian mengintegrasikan hasilnya sehubungan dengan y.
∫
7
10
(
471
+
12
y
)
d
y
=
[
471
y
+
6
y
2
]
y
=
7
y
=
10
=
471
(
10
)
+
6
(
10
)
2
−
471
(
7
)
−
6
(
7
)
2
=
1719
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}}
Dalam kasus di mana integral ganda dari nilai absolut fungsi berhingga, urutan integrasi dapat dipertukarkan, yaitu, x pertama dan mengintegrasikan sehubungan dengan y pertama menghasilkan hasil yang sama. Itulah Teorema Fubini. Misalnya, melakukan perhitungan sebelumnya dengan urutan terbalik memberikan hasil yang sama:
∫
11
14
∫
7
10
(
x
2
+
4
y
)
d
y
d
x
=
∫
11
14
[
x
2
y
+
2
y
2
]
y
=
7
y
=
10
d
x
=
∫
11
14
(
3
x
2
+
102
)
d
x
=
[
x
3
+
102
x
]
x
=
11
x
=
14
=
1719.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}}
= Integral ganda di atas domain normal
=Pertimbangkan wilayahnya (lihat grafik di contoh):
D
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
x
≥
0
,
y
≤
1
,
y
≥
x
2
}
{\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}}
Hitung
∬
D
(
x
+
y
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy.}
Domain ini normal dalam kaitannya dengan x dan y sumbu. Untuk menerapkan rumus, diperlukan untuk menemukan fungsi yang menentukan D dan interval di mana fungsi ini didefinisikan. Dalam hal ini kedua fungsi tersebut adalah:
α
(
x
)
=
x
2
and
β
(
x
)
=
1
{\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1}
sedangkan interval diberikan oleh perpotongan fungsi dengan x = 0, jadi interval dari [a, b] = [0, 1] (normalitas telah dipilih sehubungan dengan sumbu x untuk pemahaman visual yang lebih baik).
Sekarang dimungkinkan untuk menerapkan rumus:
∬
D
(
x
+
y
)
d
x
d
y
=
∫
0
1
d
x
∫
x
2
1
(
x
+
y
)
d
y
=
∫
0
1
d
x
[
x
y
+
y
2
2
]
x
2
1
{\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}}
(pada awalnya integral kedua dihitung dengan mempertimbangkan x sebagai konstanta). Operasi yang tersisa terdiri dari penerapan teknik dasar integral:
∫
0
1
[
x
y
+
y
2
2
]
x
2
1
d
x
=
∫
0
1
(
x
+
1
2
−
x
3
−
x
4
2
)
d
x
=
⋯
=
13
20
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}.}
Bila kita memilih normalitas sehubungan dengan sumbu y - kita dapat menghitung
∫
0
1
d
y
∫
0
y
(
x
+
y
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.}
dan mendapatkan nilai yang sama.
= Menghitung volume
=Menggunakan metode yang dijelaskan sebelumnya, dimungkinkan untuk menghitung volume beberapa padatan umum.
Tabung: Volume tabung dengan tinggi h dan dasar lingkaran jari-jari R dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta h di atas alas lingkaran, menggunakan koordinat kutub.
V
o
l
u
m
e
=
∫
0
2
π
d
φ
∫
0
R
h
ρ
d
ρ
=
2
π
h
[
ρ
2
2
]
0
R
=
π
R
2
h
{\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}
Ini sesuai dengan rumus volume sebuah prisma
V
o
l
u
m
e
=
luas alas
×
tinggi
.
{\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{luas alas}}\times {\text{tinggi}}.}
Bola: Volume bola dengan jari-jari R dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas bola, menggunakan koordinat bola.
Volume
=
∭
D
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∭
D
1
d
V
=
∭
S
ρ
2
sin
φ
d
ρ
d
θ
d
φ
=
∫
0
2
π
d
θ
∫
0
π
sin
φ
d
φ
∫
0
R
ρ
2
d
ρ
=
2
π
∫
0
π
sin
φ
d
φ
∫
0
R
ρ
2
d
ρ
=
2
π
∫
0
π
sin
φ
R
3
3
d
φ
=
2
3
π
R
3
[
−
cos
φ
]
0
π
=
4
3
π
R
3
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}}
Tetrahedron (segitiga piramida atau 3 - simpleks): Volume tetrahedron dengan puncaknya pada titik asal dan tepi panjang ℓ sepanjang x-, y- dan z-sumbu dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas tetrahedron.
Volume
=
∫
0
ℓ
d
x
∫
0
ℓ
−
x
d
y
∫
0
ℓ
−
x
−
y
d
z
=
∫
0
ℓ
d
x
∫
0
ℓ
−
x
(
ℓ
−
x
−
y
)
d
y
=
∫
0
ℓ
(
l
2
−
2
ℓ
x
+
x
2
−
(
ℓ
−
x
)
2
2
)
d
x
=
ℓ
3
−
ℓ
ℓ
2
+
ℓ
3
3
−
[
ℓ
2
x
2
−
ℓ
x
2
2
+
x
3
6
]
0
ℓ
=
ℓ
3
3
−
ℓ
3
6
=
ℓ
3
6
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}}
Hal ini sesuai dengan rumus volume sebuah piramida
V
o
l
u
m
e
=
1
3
×
luas dasar
×
tinggi
=
1
3
×
ℓ
2
2
×
ℓ
=
ℓ
3
6
.
{\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{luas dasar}}\times {\text{tinggi}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}.}
Beberapa integral tak wajar
Dalam kasus domain tidak terikat atau fungsi tidak terikat di dekat batas domain, kita harus memperkenalkan integral tidak tepat rangkap dua atau integral tidak tepat rangkap tiga.
Lihat pula
Teorema analisis utama yang menghubungkan beberapa integral:
Teorema divergensi
Teorema Stokes
Teorema Green
Referensi
Pranala luar
e(Inggris) Weisstein, Eric W. "Multiple Integral". MathWorld.
(Inggris) L.D. Kudryavtsev (2001) [1994], "Multiple integral", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Kata Kunci Pencarian:
- Integral
- Integral lipat
- Integral substitusi
- Integral tak tentu
- Integral volume
- Integral permukaan
- Integral takwajar
- Integral Gauss
- Integral Fresnel
- Integral Lebesgue
- Zapin
