• Source: Kebebasan aljabar

Di dalam aljabar abstrak, suatu himpunan bagian S dari suatu medan L dikatakan bebas aljabar pada suatu medan bagian K jika unsur-unsur S tidak memenuhi sembarang persamaan polinom tak-trivial yang berkoefisien di lingkup K.
Secara khusus, suatu himpunan berunsur satu {α} dikatakan bebas aljabar pada K jika dan hanya jika α transenden pada K. Secara umum, suatu unsur dari suatu himpunan bebas aljabar S pada K dikatakan transenden (berdasarkan syarat perlu) pada K, dan pada semua perluasan medan pada K yang dibangkitkan oleh unsur-unsur S lainnya.




Contoh


Dua bilangan real





π




{\displaystyle {\sqrt {\pi }}}

dan



2
π
+
1


{\displaystyle 2\pi +1}

masing-masing dikatakan sebagai bilangan transenden: mereka bukan akar dari sembarang polinom tak-trivial yang koefisien-koefisiennya merupakan bilangan rasional. Dengan demikian, tiap-tiap dua singleton (himpunan unsur)



{


π


}


{\displaystyle \{{\sqrt {\pi }}\}}

dan



{
2
π
+
1
}


{\displaystyle \{2\pi +1\}}

dikatakan bebas aljabar pada medan bilangan rasional




Q



{\displaystyle \mathbb {Q} }

.
Meskipun demikian, himpunan



{


π


,
2
π
+
1
}


{\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}

tidaklah bebas aljabar pada bilangan rasional, karena polinom tak-trivial




P
(
x
,
y
)
=
2

x

2


−
y
+
1


{\displaystyle P(x,y)=2x^{2}-y+1}


bernilai nol manakala



x
=


π




{\displaystyle x={\sqrt {\pi }}}

dan



y
=
2
π
+
1


{\displaystyle y=2\pi +1}

.




Kebebasan aljabar dari suatu konstanta yang diketahui


Meskipun kedua-dua



π


{\displaystyle \pi }

dan e diketahui sebagai transenden,
tidaklah diketahui apakah himpunan kedua-dua mereka ini bebas linear pada




Q



{\displaystyle \mathbb {Q} }

. Faktanya, bahkan tidak diketahui jika



π
+
e


{\displaystyle \pi +e}

tak-rasional.
Nesterenko membuktikan pada tahun 1996 bahwa:

bilangan-bilangan π, eπ, dan Γ(1/4) dikatakan bebas aljabar pada Q.
bilangan-bilangan π, eπ√3, dan Γ(1/3) dikatakan bebas aljabar pada Q.
untuk semua bilangan bulat positif n, bilangan-bilangan π, eπ√n dikatakan bebas aljabar pada Q.




Teorema Lindemann–Weierstrass


Teorema Lindemann–Weierstrass sering kali dapat digunakan untuk membuktikan bahwa beberapa himpunan dikatakan bebas aljabar pada Q. Teorema ini menyatakan bahwa ketika α1,...,αn merupakan bilangan aljabar yang bebas linear pada Q, maka eα1,...,eαn dikatakan bebas aljabar pada Q.




Matroid aljabar


Diberikan suatu perluasan medan L/K yang tidak aljabar, lemma Zorn dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa akan selalu ada himpunan-bagian bebas aljabar yang maksimal dari L pada K. Lebih jauhnya, semua himpunan-bagian bebas aljabar yang maksimal akan memiliki kardinalitas yang sama, dikenal sebagai derajat ketransendenan suatu perluasan.
Untuk setiap himpunan S dari unsur-unsur L, semua himpunan-bagian bebas aljabar dari S memenuhi aksioma-aksioma yang mendefinisi himpunan-himpunan matroid yang bebas. Di dalam matroid ini, rentang (rank) suatu himpunan unsur-unsur adalah derajat ketransendenannya, dan lempeng (flat) yang dibangkitkan oleh suatu himpunan T dari unsur-unsur adalah irisan L dengan medan K[T]. Suatu matroid yang dapat dibangkitkan dengan cara ini dikatakan matroid aljabar. Tidak ada karakterisasi bagus yang telah diketahui untuk matroid aljabar, tetapi matroid-matroid tertentu diketahui sebagai bukan aljabar; yang terkecil adalah matroid Vámos.
Ada banyak matroid berhingga yang dapat direpresentasi oleh matriks pada medan K, di mana unsur-unsur matroid yang berkorespondensi dengan kolom-kolom matriks, dan sehimpunan unsur-unsur dikatakan saling bebas jika himpunan kolom-kolom yang berkorespondensi dikatakan bebas linear. Setiap matroid dengan representasi linear sedemikian dapat juga direpresentasi sebagai suatu matroid aljabar, dengan memilih suatu indeterminate untuk tiap-tiap baris matriks, dan dengan menggunakan koefisien-koefisien matriks di dalam tiap-tiap kolom untuk menandai tiap-tiap unsur matroid suatu kombinasi linear dari transenden-transenden ini. Kebalikannya adalah salah: tidak semua matroid aljabar memiliki representasi linear.




Referensi






Pranala luar


(Inggris) Chen, Johnny. "Algebraically Independent". MathWorld.

Kata Kunci Pencarian:

• Kebebasan aljabar
• Aljabar atas medan
• Aljabar asosiatif
• Objek bebas
• Aljabar nonasosiatif
• Garis besar struktur aljabar
• Daftar topik aljabar linear
• Gelanggang (matematika)
• Identitas (matematika)
• Aljabar Lie