- Source: Pusat kongruensi Yff
Dalam geometri, pusat kongruensi Yff (bahasa Inggris: Yff center of congruence) merupakan sebuah titik khusus yang dikaitkan dengan sebuah segitiga. Titik khusus tersebut merupakan sebuah titik pusat di segitiga. Peter Yff memulai kajian pusat segitiga ini pada tahun 1987.
Penyama kaki
Penyama kaki (bahasa Inggris: isocelizer) sudut
A
{\displaystyle A}
dalam segitiga
A
B
C
{\displaystyle ABC}
merupakan suatu garis yang memotong titik
P
1
{\displaystyle P_{1}}
dan
Q
1
{\displaystyle Q_{1}}
, dengan
P
1
{\displaystyle P_{1}}
terletak di
A
B
{\displaystyle AB}
dan
Q
1
{\displaystyle Q_{1}}
terletak di
A
C
{\displaystyle AC}
, sehingga segitiga
A
P
1
Q
1
{\displaystyle AP_{1}Q_{1}}
adalah segitiga sama kaki. Penyama kaki sudut
A
{\displaystyle A}
merupakan garis yang tegak lurus dengan garis bagi sudut
A
{\displaystyle A}
. Penyama kaki ini ditemukan oleh Peter Yff pada tahun 1963.
Segitiga pusat Yff
Misalkan
A
B
C
{\displaystyle ABC}
menyatakan sebarang segitiga. Misalkan pula
P
1
Q
1
{\displaystyle P_{1}Q_{1}}
menyatakan penyama kaki sudut
A
{\displaystyle A}
,
P
2
Q
2
{\displaystyle P_{2}Q_{2}}
menyatakan penyama kaki sudut
B
{\displaystyle B}
, dan
P
3
Q
3
{\displaystyle P_{3}Q_{3}}
menyatakan penyama kaki sudut
C
{\displaystyle C}
. Misalkan
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle A'B'C'}
menyatakan segitiga yang dibentuk oleh tiga penyama kaki. Empat segitiga
A
′
P
2
Q
3
{\displaystyle A'P_{2}Q_{3}}
,
Q
1
B
′
P
3
{\displaystyle Q_{1}B'P_{3}}
,
P
1
Q
2
C
′
{\displaystyle P_{1}Q_{2}C'}
, dan
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle A'B'C'}
selalu sebangun
Terdapat sebuah himpunan tunggal dari tiga penyama kaki
P
1
Q
1
{\displaystyle P_{1}Q_{1}}
,
P
2
Q
2
{\displaystyle P_{2}Q_{2}}
,
P
3
Q
3
{\displaystyle P_{3}Q_{3}}
sehingga empat segitiga
A
′
P
2
Q
3
{\displaystyle A'P_{2}Q_{3}}
,
Q
1
B
′
P
3
{\displaystyle Q_{1}B'P_{3}}
,
P
1
Q
2
C
′
{\displaystyle P_{1}Q_{2}C'}
, dan
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle A'B'C'}
adalah kongruen. Dalam kasus istimewa ini, segitiga
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle A'B'C'}
yang dibentuk oleh tiga penyama kaki disebut segitiga pusat Yff dari segitiga
A
B
C
{\displaystyle ABC}
.
Lingkaran luar dari segitiga pusat Yff disebut lingkaran pusat Yff dari segitiga.
Pusat kongruensi Yff
Misalkan
A
B
C
{\displaystyle ABC}
menyatakan sebarang segitiga. Misalkan
P
1
Q
1
{\displaystyle P_{1}Q_{1}}
,
P
2
Q
2
{\displaystyle P_{2}Q_{2}}
,
P
3
Q
3
{\displaystyle P_{3}Q_{3}}
menyatakan penyama kaki dari sudut
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
,
C
{\displaystyle C}
sehingga segitiga
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle A'B'C'}
yang dibentuk olehnya adalah segitiga pusat Yff dari segitiga
A
B
C
{\displaystyle ABC}
. Ketiga penyama kaki
P
1
Q
1
{\displaystyle P_{1}Q_{1}}
,
P
2
Q
2
{\displaystyle P_{2}Q_{2}}
,
P
3
Q
3
{\displaystyle P_{3}Q_{3}}
sejajar dan digeser secara kontinu, sehingga akan mengakibatkan ketiga segitiga
A
′
P
2
Q
3
{\displaystyle A'P_{2}Q_{3}}
,
Q
1
B
′
P
3
{\displaystyle Q_{1}B'P_{3}}
,
P
1
Q
2
C
′
{\displaystyle P_{1}Q_{2}C'}
selalu kongruen dengan satu sama lain, sampai segitiga
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle A'B'C'}
dibentuk oleh perpotongan dari penyama kaki yang mereduksi ke sebuah titik. Titik di segitiga
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle A'B'C'}
yang direduksi disebut pusat kongruensi Yff segitiga
A
B
C
{\displaystyle ABC}
.
Sifat-sifat
Pusat kongruensi Yff mempunyai koordinat trilinear, yaitu
(
sec
(
A
2
)
,
sec
(
B
2
)
,
sec
(
C
2
)
)
{\displaystyle \left(\sec \left({\frac {A}{2}}\right),\sec \left({\frac {B}{2}}\right),\sec \left({\frac {C}{2}}\right)\right)}
Sebarang segitiga
A
B
C
{\displaystyle ABC}
merupakan segitiga yang dibentuk oleh garis, dan garis tersebut secara eksternal bersinggungan dengan tiga lingkaran singgung luar dari segitiga pusat Yff dari
A
B
C
{\displaystyle ABC}
.
Misalkan
I
{\displaystyle I}
menyatakan lingkaran dalam dari
A
B
C
{\displaystyle ABC}
. Misalkan
D
{\displaystyle D}
menyatakan sebuah titik di sisi
B
C
{\displaystyle BC}
sehingga
∠
B
I
D
=
∠
D
I
C
{\displaystyle \angle BID=\angle DIC}
,
E
{\displaystyle E}
menyatakan sebuah titik yang berada di sisi
C
A
{\displaystyle CA}
sehingga
∠
C
I
E
=
∠
E
I
A
{\displaystyle \angle CIE=\angle EIA}
, dan
F
{\displaystyle F}
menyatakan sebuah titik yang berada di sisi
A
B
{\displaystyle AB}
sehingga
∠
A
I
F
=
∠
F
I
B
{\displaystyle \angle AIF=\angle FIB}
. Maka garis
A
D
{\displaystyle AD}
,
B
E
{\displaystyle BE}
, dan
C
F
{\displaystyle CF}
setumpu di pusat kongruensi Yff. Dengan adanya fakta ini, akan memberikan konstruksi geometris untuk menemukan pusat kongruensi Yff.
Terdapat sebuah komputer yang membantu pencarian sifat-sifat dari segitiga pusat Yff, dan pencarian tersebut memberikan beberapa hasil yang menarik. Hasil tersebut mempunyai kaitan dengan sifat-sifat dari segitiga pusat Yff.
Perumuman
Konstruksi geometris untuk menemukan pusat kongruensi Yff memiliki perumuman yang menarik. Perumuman itu dimulai dengan sebarang titik
P
{\displaystyle P}
dalam bidang segitiga
A
B
C
{\displaystyle ABC}
. Kemudian, ambil titik
D
{\displaystyle D}
di sisi
B
C
{\displaystyle BC}
,
E
{\displaystyle E}
di
C
A
{\displaystyle CA}
, dan
F
{\displaystyle F}
di sisi
A
B
{\displaystyle AB}
, sehingga
∠
B
P
D
=
∠
D
P
C
{\displaystyle \angle BPD=\angle DPC}
,
∠
C
P
E
=
∠
E
P
A
{\displaystyle \angle CPE=\angle EPA}
, dan
∠
A
P
F
=
∠
F
P
B
{\displaystyle \angle APF=\angle FPB}
. Dengan demikian, perumuman tersebut menegaskan bahwa garis
A
D
{\displaystyle AD}
,
B
E
{\displaystyle BE}
,
C
F
{\displaystyle CF}
setumpu.
Lihat pula
Segitiga pusat
Titik penyama kaki kongruen
