- Source: Turunan kedua
Dalam kalkulus, turunan kedua (bahasa Inggris: second derivative atau second order derivative) dari suatu fungsi f adalah turunan atau derivatif dari turunan f. Dalam garis besar, dikatakan bahwa turunan kedua mengukur bagaimana laju perubahan suatu kuantitas itu sendiri berubah; misalnya, turunan kedua dari posisi suatu benda terhadap waktu adalah percepatan sesaat benda, atau laju perubahan kecepatan benda. Dalam notasi Leibniz:
a
=
d
v
d
t
=
d
2
x
d
t
2
{\displaystyle a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}}
,
dimana a adalah percepatan, v adalah kecepatan, x adalah posisi, dan d adalah perubahan atau selisih sesaat. Bentuk terakhir
d
2
x
d
t
2
{\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}}
merupakan turunan kedua dari posisi (x) terhadap waktu.
Pada grafik fungsi, turunan kedua bersangkutan dengan kelengkungan atau kecekungan grafik. Grafik suatu fungsi dengan turunan kedua positif melengkung ke atas, sementara grafik suatu fungsi dengan turunan kedua negatif melengkung ke bawah.
Turunan kedua dari aturan pangkat
Turunan pertama dari aturan pangkat, jika diturunkan dua kali, akan menghasilkan turunan kedua dari aturan pangkat sebagai berikut.
d
2
d
x
2
[
x
n
]
=
n
(
n
−
1
)
x
(
n
−
2
)
=
(
n
2
−
n
)
x
(
n
−
2
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}[x^{n}]=n(n-1)x^{(n-2)}=(n^{2}-n)x^{(n-2)}}
.
Notasi
Turunan kedua suatu fungsi
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\!}
biasanya diberi lambang
f
″
(
x
)
{\displaystyle f''(x)\!}
. Yaitu:
f
″
=
(
f
′
)
′
{\displaystyle f''=(f')'\!}
Jika menggunakan Notasi Leibniz untuk turunan, turunan kedua dari variabel dependent y terhadap suatu variabel independent x ditulis
d
2
y
d
x
2
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}
Notasi ini diturunkan dari formula berikut:
d
2
y
d
x
2
=
d
d
x
(
d
y
d
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}
Pustaka
= Cetak
=Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (edisi ke-8th), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, 1 (edisi ke-2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, 1 (edisi ke-2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (edisi ke-6th), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (edisi ke-4th), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
Spivak, Michael (September 1994), Calculus (edisi ke-3rd), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (edisi ke-5th), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (edisi ke-Revised, Updated, Expanded), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0
Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-503-3. (Indonesia)
Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-564-5. (Indonesia)
= Buku-buku online
=Crowell, Benjamin (2003), Calculus
Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus
Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, diarsipkan dari versi asli tanggal 2006-04-15, diakses tanggal 2014-12-15
Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
Strang, Gilbert (1991), Calculus
Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, diarsipkan dari versi asli tanggal 2005-09-11, diakses tanggal 2014-12-15
Wikibooks, Calculus
Pranala luar
Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points
Kata Kunci Pencarian:
- Turunan kedua
- Turunan
- Simetri turunan kedua
- Turunan parsial
- Tabel turunan
- Uji turunan
- Subgrup komutator
- Fungsi implisit
- Turunan waktu
- Satuan turunan SI
- Selangor royal family
- Law on Law Formulation (Indonesia, 2022)
