7.087
8.719
8.5
8.201
8.217
6.6
9.3
9.6
6.94
7.572
7.605
7.776
4.6
7.375
Fungsi phi Euler GudangMovies21 Rebahinxxi LK21
Dalam teori bilangan, fungsi phi Euler (bahasa Inggris: Euler's totient function) adalah fungsi yang menghitung bilangan bulat positif hingga diberikan bilangan bulat
n
{\displaystyle n}
yang prima nisbi dengan
n
{\displaystyle n}
. Fungsi ini ditulis dengan menggunakan huruf Yunani, phi, yang dilambangkan sebagai
φ
(
m
)
{\displaystyle \varphi (m)}
atau
ϕ
(
m
)
{\displaystyle \phi (m)}
menyatakan kardinal himpunan bilangan asli
1
≤
n
≤
m
{\displaystyle 1\leq n\leq m}
dimana
gcd
(
m
,
n
)
=
1
{\displaystyle \gcd(m,n)=1}
.
Bilangan bulat positif yang < 9 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Diantara bilangan-bilangan tersebut yang saling prima terhadap 9 adalah 1, 2, 4, 5, 7, 8, maka banyaknya bilangan yang saling prima terhadap 9 adalah sebanyak 6 sehingga φ(9) = 6.
Fungsi ini dikemukakan oleh Leonhard Euler (L. 15 April 1707, Swiss. w. 18 September 1783, Rusia).
Identitas
Terdapat beberapa identitas mengenai fungsi Euler phi, diantaranya:
φ
(
1
)
=
0
{\displaystyle \varphi (1)=0}
,
φ
(
2
)
=
1
{\displaystyle \varphi (2)=1}
φ
(
p
)
=
p
−
1
{\displaystyle \varphi (p)=p-1}
, untuk
p
{\displaystyle p}
adalah bilangan prima
φ
(
m
n
)
=
φ
(
m
)
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)}
jika
gcd
(
m
,
n
)
=
1
{\displaystyle \gcd(m,n)=1}
φ
(
p
n
)
=
p
n
−
1
(
p
−
1
)
{\displaystyle \varphi (p^{n})=p^{n-1}(p-1)}
φ
(
∏
i
=
1
n
p
i
)
=
∏
i
=
1
n
(
p
i
−
1
)
{\displaystyle \varphi \left(\prod _{i=1}^{n}p_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\left(p_{i}-1\right)}
Rumus lainnya
Apabila rumus lain mengenai fungsi Euler phi, diantaranya
a
∣
b
⟹
φ
(
a
)
∣
φ
(
b
)
{\displaystyle a\mid b\implies \varphi (a)\mid \varphi (b)}
n
∣
φ
(
a
n
−
1
)
{\displaystyle n\mid \varphi (a^{n}-1)}
, untuk setiap
a
,
n
>
1
{\displaystyle a,n>1}
φ
(
m
,
n
)
=
φ
(
m
)
⋅
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (m,n)=\varphi (m)\cdot \varphi (n)}
Perhatikan kasus khusus
φ
(
2
m
)
=
{
2
φ
(
m
)
jika
m
adalah genap
φ
(
m
)
jika
m
adalah ganjil
{\displaystyle \varphi (2m)={\begin{cases}2\varphi (m)&{\text{ jika }}m{\text{ adalah genap}}\\\varphi (m)&{\text{ jika }}m{\text{ adalah ganjil}}\end{cases}}}
φ
(
n
m
)
=
n
m
−
1
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n)}
φ
(
lcm
(
m
,
n
)
)
⋅
φ
(
gcd
(
m
,
n
)
)
=
φ
(
m
)
⋅
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (\operatorname {lcm} (m,n))\cdot \varphi (\operatorname {gcd} (m,n))=\varphi (m)\cdot \varphi (n)}
Bandingkan dengan rumus
lcm
(
m
,
n
)
⋅
gcd
(
m
,
n
)
=
m
⋅
n
{\displaystyle \operatorname {lcm} (m,n)\cdot \operatorname {gcd} (m,n)=m\cdot n}
(Lihat kelipatan persekutuan terkecil.)
φ(n) genap untuk n ≥ 3. Selain itu, jika n memiliki r faktor prima ganjil yang berbeda, 2r | φ(n)
Untuk a > 1 dan n > 6 sehingga 4 ∤ n terdapat l ≥ 2n sedemikian sehingga l | φ(an − 1).
φ
(
n
)
n
=
φ
(
rad
(
n
)
)
rad
(
n
)
{\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n}}={\frac {\varphi (\operatorname {rad} (n))}{\operatorname {rad} (n)}}}
di mana
rad
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {rad} (n)}
adalah radikal dari
n
{\displaystyle n}
.
∑
d
∣
n
μ
2
(
d
)
φ
(
d
)
=
n
φ
(
n
)
{\displaystyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}}
∑
1
≤
k
≤
n
(
k
,
n
)
=
1
k
=
1
2
n
φ
(
n
)
{\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop (k,n)=1}\!\!k={\tfrac {1}{2}}n\varphi (n)}
, untuk
n
>
1
{\displaystyle n>1}
∑
k
=
1
n
φ
(
k
)
=
1
2
(
1
+
∑
k
=
1
n
μ
(
k
)
⌊
n
k
⌋
2
)
=
3
π
2
n
2
+
O
(
n
(
log
n
)
2
3
(
log
log
n
)
4
3
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\tfrac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)={\frac {3}{\pi ^{2}}}n^{2}+O\left(n(\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {4}{3}}\right)}
( dikutip dalam)
∑
k
=
1
n
φ
(
k
)
k
=
∑
k
=
1
n
μ
(
k
)
k
⌊
n
k
⌋
=
6
π
2
n
+
O
(
(
log
n
)
2
3
(
log
log
n
)
4
3
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ={\frac {6}{\pi ^{2}}}n+O\left((\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {4}{3}}\right)}
∑
k
=
1
n
k
φ
(
k
)
=
315
ζ
(
3
)
2
π
4
n
−
log
n
2
+
O
(
(
log
n
)
2
3
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\frac {315\,\zeta (3)}{2\pi ^{4}}}n-{\frac {\log n}{2}}+O\left((\log n)^{\frac {2}{3}}\right)}
∑
k
=
1
n
1
φ
(
k
)
=
315
ζ
(
3
)
2
π
4
(
log
n
+
γ
−
∑
p
prime
log
p
p
2
−
p
+
1
)
+
O
(
(
log
n
)
2
3
n
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\frac {315\,\zeta (3)}{2\pi ^{4}}}\left(\log n+\gamma -\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right)+O\left({\frac {(\log n)^{\frac {2}{3}}}{n}}\right)}
(dengan
γ
{\displaystyle \gamma }
adalah konstanta Euler–Mascheroni).
∑
gcd
(
k
,
m
)
=
1
1
≤
k
≤
n
1
=
n
φ
(
m
)
m
+
O
(
2
ω
(
m
)
)
{\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)}
dimana
m
>
1
{\displaystyle m>1}
adalah bilangan bulat positif dan
ω
(
m
)
{\displaystyle \omega (m)}
adalah jumlah faktor prima yang berbeda dari
m
{\displaystyle m}
.
Beberapa bilangan
100 nilai pertama (barisan A000010 pada OEIS) ditampilkan pada tabel dan grafik di bawah ini:
Dalam grafik di kanan atas baris
y
=
n
−
1
{\displaystyle y=n-1}
adalah batas atas valid untuk semua
n
{\displaystyle n}
selain satu, dan dicapai jika dan hanya jika
n
{\displaystyle n}
adalah bilangan prima. Batas bawah sederhana adalah
φ
(
n
)
≥
n
2
{\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}}
, yang agak longgar: sebenarnya, lower limit dari grafik sebanding dengan
n
log
log
n
{\displaystyle {\frac {n}{\log \log n}}}
.
Deret Dirichlet untuk
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
dapat ditulis dalam istilah fungsi zeta Riemann sebagai:
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
n
s
=
ζ
(
s
−
1
)
ζ
(
s
)
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}.}
Fungsi pembangkit deret Lambert adalah
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
q
n
1
−
q
n
=
q
(
1
−
q
)
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}
konvergen untuk
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
.
Keduanya dibuktikan dengan manipulasi deret dasar dan rumus untuk
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
.
Rasio bilangan berurutan
Pada tahun 1950 Somayajulu membuktikan
lim
inf
φ
(
n
+
1
)
φ
(
n
)
=
0
{\displaystyle \lim \inf {\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}}=0}
dan
lim
sup
φ
(
n
+
1
)
φ
(
n
)
=
∞
{\displaystyle \lim \sup {\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}}=\infty }
Pada tahun 1954 Schinzel dan Sierpiński memperkuat ini, membuktikan bahwa himpunan
{
φ
(
n
+
1
)
φ
(
n
)
,
n
=
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle \left\{{\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}},\;\;n=1,2,\ldots \right\}}
adalah padat dalam bilangan riil positif. Mereka pun membuktikannya bahwa himpunan
{
φ
(
n
)
n
,
n
=
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle \left\{{\frac {\varphi (n)}{n}},\;\;n=1,2,\ldots \right\}}
padat dalam interval
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
.
Lihat pula
Fungsi Carmichael
Konjektur Duffin–Schaeffer
Generalisasi teorema kecil Fermat
Bilangan komposit tinggi
Grup perkalian bilangan bulat modulo n
Jumlah Ramanujan
Fungsi penjumlahan total
Catatan
Referensi
Pranala luar
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Totient function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Euler's Phi Function and the Chinese Remainder Theorem — proof that φ(n) is multiplicative Diarsipkan 2021-02-28 di Wayback Machine.
Euler's totient function calculator in JavaScript — up to 20 digits Diarsipkan 2023-07-06 di Wayback Machine.
Dineva, Rosica, The Euler Totient, the Möbius, and the Divisor Functions Diarsipkan 2021-01-16 di Wayback Machine.
Plytage, Loomis, Polhill Summing Up The Euler Phi Function Diarsipkan 2023-05-23 di Wayback Machine.
Kata Kunci Pencarian:
fungsi phi eulerfungsi phi dan teorema euler
Fungsi Euler | PDF
Modul Dan Resume Fungsi Phi Dan Teorema Euler | PDF
Fungsi Euler Phi | PDF
Solved 1. a) Find phi-Euler Function (357). Cari Fungsi | Chegg.com
Euler phi | PDF
Euler phi | PDF
Euler phi - specialfunctionswiki
Euler phi - specialfunctionswiki
SOLUTION: Modul dan resume fungsi phi dan teorema euler - Studypool
SOLUTION: Modul dan resume fungsi phi dan teorema euler - Studypool
Euler phi-function
Fungsi phi Euler
Search Resultsfungsi phi euler
Daftar Isi
Euler's totient function - Wikipedia
In number theory, Euler's totient function counts the positive integers up to a given integer n that are relatively prime to n. It is written using the Greek letter phi as () or (), and may also be called Euler's phi function.
Fungsi phi Euler - Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Dalam teori bilangan, fungsi phi Euler (bahasa Inggris: Euler's totient function) adalah fungsi yang menghitung bilangan bulat positif hingga diberikan bilangan bulat yang prima nisbi dengan . Fungsi ini ditulis dengan menggunakan huruf Yunani, phi, yang dilambangkan sebagai atau menyatakan kardinal himpunan bilangan asli dimana .
Math 412: Number Theory Lecture 8: Euler Theorem and …
Euler-phi function Def: ˚(n) is the number of elements in a reduced system of residues modulo n. (i.e., the number of coprimes to n in f1;2;:::;ng. ) ˚(pn) = pn 1(p 1). If (m 1;m 2) = 1, then ˚(m 1m 2) = ˚(m 1)˚(m 2). If m = Q r i=1 p n i i, then ˚(m) = m Q pjm (1 1 p). Gexin Yu gyu@wm.edu Math 412: Number Theory Lecture 8: Euler Theorem ...
Euler's Totient Function - Math is Fun
Euler's Totient Function is very useful in Number Theory and plays a central role in RSA Cryptography. Summary. Euler's Totient Function φ is how many integers from 1 to n are coprime to n; Coprime means "do not share any factors" For a prime number: φ(p) = p − 1; For powers of a prime number: φ(p a) = p a-1 (p − 1) General formulas (p r ...
3.8 The Euler Phi Function - Whitman College
To aid the investigation, we introduce a new quantity, the Euler phi function, written $\phi (n)$, for positive integers $n$. Definition 3.8.1 $\phi (n)$ is the number of non-negative integers less than $n$ that are relatively prime to $n$.
Modul Dan Resume Fungsi Phi Dan Teorema Euler | PDF - Scribd
Fungsi phi menyatakan banyaknya bilangan yang saling prima dengan bilangan bulat positif tertentu. Teorema Euler menyatakan bahwa untuk bilangan a yang saling prima dengan m, maka aφ(m) ≡ 1 (mod m).
NTIC The Euler Phi Function - Gordon College
\begin{equation*} \phi(n)=|U_n |\text{.} \end{equation*} This is the so-called Euler \(\phi\) function. It can also be written phi, it is pronounced ‘fee’, and it’s occasionally notated \(\varphi\) just for fun.
Euler's totient function - Algorithms for Competitive Programming
Dec 30, 2024 · Euler's totient function, also known as phi-function $\phi (n)$, counts the number of integers between 1 and $n$ inclusive, which are coprime to $n$. Two numbers are coprime if their greatest common divisor equals $1$ ( $1$ is considered to be coprime to any number).
Fungsi Euler - 123dok
Euler berhasil membuat generalisasi teorema 30 dengan menggunakan fungsi Euler phi (φ). Definisi fungsi φ, untuk n > 0, adalah sebagai berikut: Definisi 17 (Fungsi Euler) φ (n) = ♯ {0 ≤ b < n| gcd (b, n) = 1}. Dengan kata lain hasil fungsi adalah banyaknya bilangan bulat non-negatif dan lebih kecil dari n yang koprima dengan n.
Fungsi phi dan teorema euler | PPT - SlideShare
Jun 27, 2014 · Fungsi phi dan teorema euler 1. DEFINISI 1 (SISTEM RESIDU) Sistem residu sederhana modulo m adalah himpunan semua bilangan bulat positif ri yang memenuhi (ri,m)=1 dengan ri ≠ rj(mod m) untuk i≠ j.
