- Source: Aturan Trapesium Rekursif
Aturan Trapesium Rekursif merupakan suatu metode pengintegralan dalam analisis numerik. Di dalam Kalkulus, integral tentu didefinisikan sebagai sebuah limit jumlah Riemann. Selanjutnya, menurut Teorema Dasar Kalkulus integral tersebut dapat dihitung dengan rumus,
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}
Dengan F(x) adalah antiderivatif f(x) (yakni F’(x)=f(x)). Banyak integral tentu yang dapat dihitung dengan rumus tesebut, namun demikian, tidak sedikit integral tentu yang tidak dapat dihitung dengan rumus di atas, hal itu dikarenakan integran f(x)tidak mempunyai antiderivatif yang dapat dinyatakan dalam fungsi-fungsi elementer. Dalam hal ini perhitungan yang dapat dilakukan adalah secara numerik.
Integrasi numerik merupakan suatu alat utama yang digunakan para ilmuwan untuk mendapatkan nilai-nilai hampiran untuk integral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Dalam mendapatkan nilai-nilai hampiran integral tentu, digunakan banyak metode, salah satu metode yang dapat digunakan adalah Aturan Trapesium Rekursif. Berikut akan dijelaskan penghitungan integral tentu menggunakan Aturan Trapesium Rekursif.
Aturan Trapesium Rekursif
Misalkan
f
{\displaystyle f}
adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
. Misalkan
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
.
.
.
<
x
n
{\displaystyle a=x_{0}
suatu
partisi sedemikian seihngga
x
k
=
x
0
+
k
h
{\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh}
dengan
h
=
(
b
−
a
)
/
n
{\displaystyle h=(b-a)/n}
untuk
k
=
0
,
1
,
2
,
3
,
.
.
.
n
{\displaystyle k=0,1,2,3,...n}
. Perhatikan aturan trapesium
untuk fungsi
f
{\displaystyle f}
terhadap partisi di atas (untuk keperluan
pembahasan pada bagian ini, kita gunakan notasi kuadratur dengan
menyertakan cacah dan lebar subinterval),
T
n
(
f
,
h
)
=
h
2
(
f
0
+
2
f
1
+
2
f
2
+
.
.
.
.
+
2
f
n
−
1
+
f
n
)
{\displaystyle \ T_{n}(f,h)={\frac {h}{2}}(f_{0}+2f_{1}+2f_{2}+....+2f_{n-1}+f_{n})}
=
h
2
(
f
0
+
f
n
)
+
h
(
f
1
+
f
2
+
.
.
.
.
+
f
(
n
−
1
)
)
{\displaystyle ={\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{n})+h(f_{1}+f_{2}+....+f_{(}n-1))}
=
h
2
(
f
0
+
f
n
)
+
h
∑
k
=
1
n
−
1
f
k
{\displaystyle ={\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{n})+h\sum _{k=1}^{n-1}f_{k}}
...................(1)
Jika lebar setiap subinterval diperkecil separonya, maka didapat
T
2
n
(
f
,
h
2
)
=
h
4
(
f
0
+
f
2
n
)
+
h
2
∑
k
=
1
2
n
−
1
f
k
{\displaystyle \ T_{2n}(f,{\frac {h}{2}})={\frac {h}{4}}(f_{0}+f_{2n})+{\frac {h}{2}}\sum _{k=1}^{2n-1}f_{k}}
=
h
4
(
f
0
+
f
2
n
)
+
h
2
∑
j
=
1
n
−
1
f
2
j
+
h
2
∑
j
=
1
n
f
2
j
−
1
{\displaystyle ={\frac {h}{4}}(f_{0}+f_{2n})+{\frac {h}{2}}\sum _{j=1}^{n-1}f_{2j}+{\frac {h}{2}}\sum _{j=1}^{n}f_{2j-1}}
...................(2)
T
2
n
(
f
,
h
2
)
=
T
n
(
f
,
h
2
+
h
2
∑
j
=
1
n
f
2
j
−
1
{\displaystyle \ T_{2n}(f,{\frac {h}{2}})={\frac {T_{n}(f,h}{2}}+{\frac {h}{2}}\sum _{j=1}^{n}f_{2j-1}}
...................(3)
Pada (1) berlaku
f
k
=
f
(
x
0
+
k
h
)
{\displaystyle f_{k}=f(x_{0}+kh)}
, sedangkan pada
(2) berlaku
f
k
=
f
(
x
0
+
k
h
/
2
{\displaystyle f_{k}=f(x_{0}+kh/2}
,
sehingga
f
2
k
{\displaystyle f_{2k}}
, pada (2) sama
dengan
f
k
{\displaystyle f_{k}}
pada (1). Rumus (3) disebut rumus
trapesium rekursif. Rumus ini
memungkinkan penggunaan aturan trapesium majemuk secara efisien, tanpa
harus menghitung ulang nilai-nilai fungsi di beberapa absis yang sudah
dihitung sebelumnya. Untuk
h
=
(
b
−
a
)
{\displaystyle h=(b-a)}
, dan
n
=
1
,
2
,
4
,
8
,
16.......
{\displaystyle n=1,2,4,8,16.......}
atau
n
=
2
0
,
2
1
,
2
2
,
2
3
,
2
4
,
.
.
.
.
.
.
,
2
k
.
.
.
.
.
.
{\displaystyle n=2^{0},2^{1},2^{2},2^{3},2^{4},......,2^{k}......}
Kita
akan mendapatkan barisan aturan trapesium
T
0
,
T
1
,
T
2
,
T
3
,
.
.
.
.
.
T
k
,
.
.
.
.
{\displaystyle T_{0},T_{1},T_{2},T_{3},.....T_{k},....}
dengan,
T
0
=
T
1
(
f
,
h
)
=
h
2
(
f
(
a
)
+
f
(
b
)
)
{\displaystyle T_{0}=T_{1}(f,h)={\frac {h}{2}}(f(a)+f(b))}
dan,
T
k
=
T
2
k
(
f
,
h
2
k
)
{\displaystyle T_{k}=T_{2^{k}}(f,{\frac {h}{2^{k}}})}
, k=1,2,3,...
yang memenuhi hubungan
T
k
+
1
=
T
k
2
+
h
2
k
+
1
∑
j
=
1
2
k
f
2
j
−
1
{\displaystyle T_{k+1}={\frac {T_{k}}{2}}+{\frac {h}{2^{k+1}}}\sum _{j=1}^{2^{k}}f_{2j-1}}
,
dengan
f
1
=
f
(
a
+
i
(
h
2
k
+
1
)
{\displaystyle f_{1}=f(a+i({\frac {h}{2^{k+1}}})}
............... (4)
Langkah-langkah Aturan Trapesium Rekursif
Dalam menghitung hampiran
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}
dengan aturan trapesium rekursif, kita lakukan langkah-langkah sebagai berikut;
h
=
b
−
a
{\displaystyle h=b-a}
T
0
=
h
2
(
f
(
a
)
+
f
(
b
)
)
{\displaystyle T_{0}={\frac {h}{2}}(f(a)+f(b))}
T
1
=
T
0
2
+
h
2
f
1
{\displaystyle T_{1}={\frac {T_{0}}{2}}+{\frac {h}{2}}f_{1}}
T
2
=
T
1
2
+
h
4
(
f
1
+
f
3
)
{\displaystyle T_{2}={\frac {T_{1}}{2}}+{\frac {h}{4}}(f_{1}+f_{3})}
T
3
=
T
2
2
+
h
8
(
f
1
+
f
3
+
f
5
)
{\displaystyle T_{3}={\frac {T_{2}}{2}}+{\frac {h}{8}}(f_{1}+f_{3}+f_{5})}
.
.
.
dst
Contoh Penghitungan Integral Menggunakan MATLAB
Misalkan kita akan menghitung integral
∫
1
5
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{1}^{5}f(x)\,dx}
,dengan menggunakan Aturan Trapesium Rekursif. Untuk lebih memudahkan penghitungan dalam MATLAB, telebih dahulu kita buat fungsi dalam M file, berikut fungsinya
function Tn=trapesiumrekursif(f,n,a,b)
h=b-a;
if n==0, Tn=h*(f(a)+f(b))/2;
else if n>0,
index=[1:2:2^n-1];
x=a+h*index/(2^n);
F=f(x);
Jf=sum(F);
Tn=trapesiumrekursif(f,n-1,a,b)/2+Jf*h/(2^n);
end
end
Kita simpan fungsi ini dalam file trapesiumrekursi.m
untuk menghitung integral yang dimaksud, kita tinggal memasukan fungsinya dalam command window MATLAB, berikut caranya;
>> f=inline(‘exp(x)’)
kemudian akan munncul hasil sebagai berikut
f =
Inline function:
f(x) = exp(x)
selanjutnya kita panggil fungsi fungsi trapesiumrekursif,
>> T=[];
>> for n=0:10,
Tn=trapesiumrekursif(f,n,1,5);
T=[T;n Tn];
end
Selanjutnya kita tampilkan nilai T
>> T
kemudian akan muncul hasil sebagai berikut,
T =
0 302.2629
1.0000 191.3025
2.0000 157.6385
3.0000 148.7176
4.0000 146.4529
5.0000 145.8845
6.0000 145.7423
7.0000 145.7067
8.0000 145.6978
9.0000 145.6956
10.0000 145.6951
Maksud dari tabel penghitungan MATLAB di atas adalah, kolom pertama menyatakan nilai-nilai n, dan kolom kedua menyatakan Tn.
Daftar Pustaka
Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. ANDI, Yogyakarta
