- Source: Bicorn
Dalam geometri, bicorn adalah sebuah kurva kuartik rasional yang didefinisikan dengan persamaan
y
2
(
a
2
−
x
2
)
=
(
x
2
+
2
a
y
−
a
2
)
2
.
{\displaystyle y^{2}(a^{2}-x^{2})=(x^{2}+2ay-a^{2})^{2}.}
Kurva ini mempunyai dua taring dalam simetrik mengenai sumbu-
y
{\displaystyle y}
. Kurva bicorn dikenal sebagai kurva topi berbentuk segitiga lantaran mempunyai kemiripannya dengan topi bicorne.
Sejarah
Pada tahun 1864, James Joseph Sylvester mempelajari kurva bicorn. Kurva dengan persamaan
y
4
−
x
y
3
−
8
x
y
2
+
36
x
2
y
+
16
x
2
−
27
x
3
=
0
{\displaystyle y^{4}-xy^{3}-8xy^{2}+36x^{2}y+16x^{2}-27x^{3}=0}
mempunyai kaitannya dengan klasifikasi persamaan kuintik. James Joseph menamakan kurva itu sebagai bicorn karena memiliki dua taring. Kurva ini dipelajari lebih lanjut oleh Arthur Cayley pada tahun 1867.
Sifat-sifat
Bicorn merupakan sebuah kurva aljabar bidang derajat empat dan genus nol. Bicorn mempunyai dua taring yang tunggal di bidang real, dan mempunyai sebuah titik ganda dalam bidang proyektif kompleks di
x
=
0
{\displaystyle x=0}
,
z
=
0
{\displaystyle z=0}
. Jika kedua titik tersebut (yakni,
x
=
0
{\displaystyle x=0}
dan
z
=
0
{\displaystyle z=0}
) dipindahkan ke titik asalnya, dengan mensubstitusi dan memutar rotasi imajiner pada
x
{\displaystyle x}
, tetapi mensubstitusi
i
x
z
{\textstyle {\frac {ix}{z}}}
untuk
x
{\displaystyle x}
dan
1
z
{\textstyle {\frac {1}{z}}}
untuk
y
{\displaystyle y}
dalam kurva bicorn, akan diperoleh
(
x
2
−
2
a
z
+
a
2
z
2
)
2
=
x
2
+
a
2
z
2
.
{\displaystyle (x^{2}-2az+a^{2}z^{2})^{2}=x^{2}+a^{2}z^{2}.}
Kurva ini, yang merupakan limaçon, mempunyai sebuah titik ganda biasa di titik asalnya, dan dua simpul di bidang kompleks, di
x
=
±
i
{\displaystyle x=\pm i}
dan
z
=
1
{\displaystyle z=1}
.
Persamaan-persamaan parametrik dari kurva bicorn adalah
x
=
a
sin
(
θ
)
{\displaystyle x=a\sin(\theta )}
dan
y
=
a
cos
2
(
θ
)
(
2
+
cos
(
θ
)
)
3
+
sin
2
(
θ
)
{\displaystyle y=a{\frac {\cos ^{2}(\theta )\left(2+\cos(\theta )\right)}{3+\sin ^{2}(\theta )}}}
dengan
−
π
≤
θ
≤
π
{\displaystyle -\pi \leq \theta \leq \pi }
.
Lihat pula
Daftar kurva-kurva
Referensi
Pranala luar
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Bicorn". MathWorld.
Kata Kunci Pencarian:
- Bicorn
- Kurva bidang kuartik
- Level 1 dakedo Unique Skill de Saikyō desu
- Daftar bentuk matematika
- Bicorn
- Bicorn and Chichevache
- Bicorne
- Gallery of curves
- Spanish uniforms of the Napoleonic Wars
- Glossary of shapes with metaphorical names
- List of curves
- List of mathematical shapes
- Mitre
- Quartic plane curve
