Dalam matematika,
Bilangan poligonal adalah
Bilangan yang menghitung jumlah titik yang dapat disusun dalam bentuk poligon beraturan.
Bilangan ini adalah salah satu jenis
Bilangan bergambar dua dimensi.
Definisi dan contoh
Misalnya, 10 titik dapat disusun sebagai segitiga. Maka, 10 dikatakan sebagai
Bilangan poligonal dengan jumlah poligon adalah 3 (lihat
Bilangan segitiga).
Namun, 10 titik tidak dapat disusun sebagai persegi. Sebaliknya, 9 titik dapat disusun sebagai persegi, seperti di bawah (lihat
Bilangan persegi).
Daftar ini tidak eksklusif. Beberapa
Bilangan dapat masuk dalam beberapa daftar
Bilangan. Misalnya, 36 titik dapat disusun menjadi persegi dan segitiga. Artinya, 36 termasuk dalam
Bilangan persegi dan segitiga (lihat
Bilangan persegi segitiga).
Menurut kesepakatan, 1 adalah
Bilangan poligonal pertama untuk seluruh jumlah sisi. Aturan untuk memperbesar poligon adalah dengan memperpanjang sisi bersebelahan satu poin dan menambahkan sisi di antara dua poin tersebut. Dalam diagram-diagram di bawah, tambahan lapisan ditandai dengan titik merah.
=
=
Poligon dengan jumlah sisi yang lebih banyak, misalnya pentagon dan heksagon, dapat juga dibuat dengan aturan di atas, namun titik-titiknya tidak lagi memiliki kisi-kisi sempurna seperti di atas.
=
=
Rumus
Jika
s
{\displaystyle s}
adalah jumlah sisi dalam poligon, rumus
Bilangan
s
{\displaystyle s}
-gonal ke-
n
{\displaystyle n}
, P(s,n), adalah
P
(
s
,
n
)
=
(
s
−
2
)
n
2
−
(
s
−
4
)
n
2
{\displaystyle P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}}
atau
P
(
s
,
n
)
=
(
s
−
2
)
n
(
n
−
1
)
2
+
n
{\displaystyle P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n}
Bilangan
s
{\displaystyle s}
-gonal ke-n juga berhubungan dengan
Bilangan segitiga Tn sebagai berikut:
P
(
s
,
n
)
=
(
s
−
2
)
T
n
−
1
+
n
=
(
s
−
3
)
T
n
−
1
+
T
n
.
{\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.}
Dengan demikian:
P
(
s
,
n
+
1
)
−
P
(
s
,
n
)
=
(
s
−
2
)
n
+
1
,
P
(
s
+
1
,
n
)
−
P
(
s
,
n
)
=
T
n
−
1
=
n
(
n
−
1
)
2
,
P
(
s
+
k
,
n
)
−
P
(
s
,
n
)
=
k
T
n
−
1
=
k
n
(
n
−
1
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P(s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,,\\P(s+k,n)-P(s,n)&=kT_{n-1}=k{\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{aligned}}}
Untuk
Bilangan
s
{\displaystyle s}
-gonal tertentu dengan P(s,n) = x, n dapat dicari dengan cara:
n
=
8
(
s
−
2
)
x
+
(
s
−
4
)
2
+
(
s
−
4
)
2
(
s
−
2
)
{\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}}
dan dapat mencari
s
{\displaystyle s}
dengan cara:
s
=
2
+
2
n
⋅
x
−
n
n
−
1
{\displaystyle s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}}
.
= Setiap Bilangan heksagonal juga merupakan Bilangan segitiga
=
Dengan menerapkan rumus di atas:
P
(
s
,
n
)
=
(
s
−
2
)
T
n
−
1
+
n
{\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n}
dengan kasus 6 sisi (
s
=
6
{\displaystyle s=6}
), maka:
P
(
6
,
n
)
=
4
T
n
−
1
+
n
{\displaystyle P(6,n)=4T_{n-1}+n}
namun karena:
T
n
−
1
=
n
(
n
−
1
)
2
{\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}
maka:
P
(
6
,
n
)
=
4
n
(
n
−
1
)
2
+
n
=
2
n
(
2
n
−
1
)
2
=
T
2
n
−
1
{\displaystyle P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1}}
Hal ini menunjukkan bahwa
Bilangan heksagonal ke-
n
{\displaystyle n}
atau
P
(
6
,
n
)
{\displaystyle P(6,n)}
juga merupakan
Bilangan segitiga ke-
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle (2n-1)}
atau
T
2
n
−
1
{\displaystyle T_{2n-1}}
.
Bilangan heksagonal dapat dicari dengan mengambil
Bilangan segitiga ganjil:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...
Lihat juga
Bilangan poligonal terpusat
Bilangan polihedral
Teorema
Bilangan poligonal Fermat
Referensi
= Catatan kaki
=
= Referensi umum
=
The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) ISBN 0-14-026149-4.
Bilangan poligonal di PlanetMath
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Polygonal Number". MathWorld.
F. Tapson (1999). The Oxford Mathematics Study Dictionary (2nd ed.). Oxford University Press. pp. 88-89. ISBN 0-19-914-567-9.
Pranala luar
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Polygonal number", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Polygonal Numbers: Every s-polygonal number between 1 and 1000 clickable for 2<=s<=337
Polygonal Numbers on the Ulam Spiral grid di YouTube
Polygonal Number Counting Function: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853
