Bilangan transfinit atau
Bilangan lintas hingga (bahasa Inggris: Transfinite numbers) adalah
Bilangan yang "tak hingga" dalam artian
Bilangan yang lebih besar dari semua himpunan hingga, tetapi tidak harus merupakan tak hingga mutlak. Istilah
transfinit diperkenalkan oleh Georg Cantor, yang ingin menghindari sejumlah implikasi kata "tak hingga" dalam hubungan dengan objek-objek yang bagaimanapun bukan "terhingga". Hanya sedikit penulis kontemporer yang setuju pemikiran ini. Penggunaan yang diterima sekarang adalah rujukan "
transfinit" untuk "
Bilangan kardinal" sedangkan "tak hingga" untuk
Bilangan ordinal. Namun, istilah "
transfinit" masih tetap dipakai.
Definisi
Sebagaimana
Bilangan terhingga, ada dua cara untuk membayangkan
Bilangan-
Bilangan transfinit, yaitu sebagai
Bilangan ordinal atau sebagai
Bilangan kardinal. Bukan seperti ordinal finit dan kardinal finit, ordinal
transfinit dan kardinal
transfinit mendefinisikan kelas-kelas
Bilangan yang berbeda.
ω (omega) didefinisikan sebagai
Bilangan ordinal
transfinit terkecil dan merupakan jenis order
Bilangan asli menurut urutan linear biasa.
Alef-nol,
ℵ
0
{\displaystyle \scriptstyle {\aleph _{0}}}
, didefinisikan sebagai
Bilangan kardinal
transfinit pertama dan merupakan kardinalitas himpunan tak terhingga dari
Bilangan asli. Jika aksioma pilihan tetap berlaku,
Bilangan kardinal yang lebih besar berikutnya adalah "alef-satu",
ℵ
1
{\displaystyle \scriptstyle {\aleph _{1}}}
. Jika tidak, mungkin saja ada
Bilangan kardinal lain yang tidak dapat dibandingkan dengan alef-satu dan lebih besar daripada alef-nol. Namun dalam kasus apapun, tidak ada
Bilangan kardinal antara alef-nol dan alef-satu.
Hipotesis continuum menyatakan bahwa tidak ada
Bilangan kardinal intermediate di antara alef-nol dan kardinalitas continuum (himpunan
Bilangan real): dengan kata lain, alef-satu adalah kardinalitas himpunan
Bilangan real. (Jika teori himpunan Zermelo–Fraenkel (ZFC) konsisten, maka baik hipotesis continuum maupun negasinya tidak dapat dibuktikan dari ZFC.)
Sejumlah penulis, termasuk P. Suppes dan J. Rubin, menggunakan istilah transfinite cardinal untuk merujuk kepada kardinalitas suatu "himpunan tak terhingga Dedekind", dalam konteks di mana ini mungkin tidak ekuivalen dengan "infinite cardinal"; yaitu dalam konteks di mana aksioma pilihan terhitung tidak diasumsikan atau tidak diketahui tetap. Berdasarkan definisi ini, hal-hal berikut adalah ekuivalen:
m adalah kardinal
transfinit. Artinya, ada himpunan tak terhingga Dedekind A sedemikian sehingga kardinalitas A adalah m.
m + 1 = m.
ℵ
0
{\displaystyle \scriptstyle {\aleph _{0}}}
≤ m.
ada
Bilangan kardinal n sedemikian sehingga
ℵ
0
{\displaystyle \scriptstyle {\aleph _{0}}}
+ n = m.
Lihat pula
Referensi
Pustaka tambahan
Levy, Azriel, 2002 (1978) Basic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-42079-5
O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor," MacTutor History of Mathematics archive.
Rubin, Jean E., 1967. "Set Theory for the Mathematician". San Francisco: Holden-Day. Grounded in Morse-Kelley set theory.
Rudy Rucker, 2005 (1982) Infinity and the Mind. Princeton Univ. Press. Primarily an exploration of the philosophical implications of Cantor's paradise. ISBN 978-0-691-00172-2.
Patrick Suppes, 1972 (1960) "Axiomatic Set Theory". Dover. ISBN 0-486-61630-4. Grounded in ZFC.
Templat:Large numbers
Templat:Infinity
