- Source: Derajat polinomial
Derajat polinomial adalah derajat tertinggi dari monomialnya (istilah individual) dengan koefisien tidak nol. Istilah orde biasanya digunakan dalam penyebutan derajat. Misalnya, dalam polinomial
7
x
2
y
3
+
4
x
−
9
,
{\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x-9,}
dapat dinyatakan sebagai
7
x
2
y
3
+
4
x
1
y
0
−
9
x
0
y
0
,
{\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},}
memiliki tiga suku. Suku pertama memiliki derajat 5 (jumlah dari eksponen 2 dan 3), suku kedua memiliki derajat 1, dan suku terakhir memiliki derajat 0. Oleh karena itu, polinomial ini memiliki derajat 5, yaitu tingkat tertinggi dari seluruh suku.
Untuk menentukan derajat polinomial yang tidak dalam bentuk standar (misalnya:
(
x
+
1
)
2
−
(
x
−
1
)
2
{\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}}
), yang pertama kali harus dilakukan adalah menjabarkan dan menggabungkan suku-suku sejenis. Sebagai contoh
(
x
+
1
)
2
−
(
x
−
1
)
2
=
4
x
{\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x}
memiliki derajat 1.
Nama polinomial menurut derajat
Nama-nama berikut diberikan untuk polinomial sesuai derajatnya:
Kasus khusus - nol
Derajat 0 - konstanta tidak nol
Derajat 1 - linear
Derajat 2 - kuadratik
Derajat 3 - kubik
Derajat 4 - kuartik (atau bikuadratik jika semua suku memiliki derajat genap)
Derajat 5 - quintik
Derajat 6 - sekstik (heksik)
Derajat 7 - septik (heptik)
Untuk derajat yang lebih tinggi, terdapat nama-nama yang diusulkan, namun jarang digunakan:
Derajat 8 – oktik
Derajat 9 – nonik
Derajat 10 – dekik
Contoh lain
Polinomial
3
−
5
x
+
2
x
5
−
7
x
9
{\displaystyle 3-5x+2x^{5}-7x^{9}}
adalah polinomial nonik
Polinomial
(
y
−
3
)
(
2
y
+
6
)
(
−
4
y
−
21
)
{\displaystyle (y-3)(2y+6)(-4y-21)}
polinomial kubik
Polinomial
(
3
z
8
+
z
5
−
4
z
2
+
6
)
+
(
−
3
z
8
+
8
z
4
+
2
z
3
+
14
z
)
{\displaystyle (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)}
Polinomial kuintik (as the
z
8
{\displaystyle z^{8}}
are cancelled out)
Perilaku dalam operasi polinomial
= Penjumlahan
=Jumlah atau selisih dari dua polinomial kurang dari atau sama dengan besar derajatnya.
deg
(
P
+
Q
)
≤
max
{
deg
(
P
)
,
deg
(
Q
)
}
{\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}
.
deg
(
P
−
Q
)
≤
max
{
deg
(
P
)
,
deg
(
Q
)
}
{\displaystyle \deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}
.
Derajat
(
x
3
+
x
)
+
(
x
2
+
1
)
=
x
3
+
x
2
+
x
+
1
{\displaystyle (x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1}
adalah 3. Perhatikan bahwa 3 ≤ maks {3, 2}
Derajat
(
x
3
+
x
)
−
(
x
3
+
x
2
)
=
−
x
2
+
x
{\displaystyle (x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x}
adalah 2. Perhatikan bahwa 2 ≤ maks {3, 3}
= Perkalian skalar
=Derajat perkalian polinomial dengan skalar bukan nol sama dengan derajat polinomialnya
deg
(
c
P
)
=
deg
(
P
)
{\displaystyle \deg(cP)=\deg(P)}
.
Derajat
2
(
x
2
+
3
x
−
2
)
=
2
x
2
+
6
x
−
4
{\displaystyle 2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4}
adalah 2, seperti derajat
x
2
+
3
x
−
2
{\displaystyle x^{2}+3x-2}
.
= Perkalian
=Derajat dari perkalian dua polinomial pada bidang atau domain integral adalah jumlah dari derajatnya:
deg
(
P
Q
)
=
deg
(
P
)
+
deg
(
Q
)
{\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)}
.
Derajat
(
x
3
+
x
)
(
x
2
+
1
)
=
x
5
+
2
x
3
+
x
{\displaystyle (x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x}
adalah 3 + 2 = 5.
= Komposisi
=Derajat dari komposisi dua polinomial non-konstanta
P
{\displaystyle P}
dan
Q
{\displaystyle Q}
pada bidang atau domain integral adalah perkalian dari derajatnya:
deg
(
P
∘
Q
)
=
deg
(
P
)
deg
(
Q
)
{\displaystyle \deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)}
.
Jika
P
=
(
x
3
+
x
)
{\displaystyle P=(x^{3}+x)}
,
Q
=
(
x
2
+
1
)
{\displaystyle Q=(x^{2}+1)}
, dan
P
∘
Q
=
P
∘
(
x
2
+
1
)
=
(
x
2
+
1
)
3
+
(
x
2
+
1
)
=
x
6
+
3
x
4
+
4
x
2
+
2
{\displaystyle P\circ Q=P\circ (x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{3}+(x^{2}+1)=x^{6}+3x^{4}+4x^{2}+2}
, dimana meiliki derajat 6.
Referensi
Kata Kunci Pencarian:
- Derajat polinomial
- Polinomial
- Koefisien
- Polinomial monik
- Fungsi kuadrat
- Interpolasi polinomial
- Polinomial simetri elementer
- Fungsi linear (kalkulus)
- Diskriminan
- Polinomial karakteristik
