- Source: Epsilon kroncker
Epsilon Kronecker yang memiliki simbol
ε
i
j
k
{\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}
merupakan sebuah bentuk yang sering kali digunakan untuk mempermudah penulisan dari hasil perkalian silang vektor (cross product). Pada perkalian silang vektor akan menghasilkan,
A
×
B
=
(
A
x
x
^
+
A
y
y
^
+
A
z
z
^
)
×
(
B
x
x
^
+
B
y
y
^
+
B
z
z
^
)
{\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\left({{A}_{x}}\mathbf {\hat {x}} +{{A}_{y}}\mathbf {\hat {y}} +{{A}_{z}}\mathbf {\hat {z}} \right)\times \left({{B}_{x}}\mathbf {\hat {x}} +{{B}_{y}}\mathbf {\hat {y}} +{{B}_{z}}\mathbf {\hat {z}} \right)}
sedangkan secara sederhana sebuah vektor dapat dituliskan sebagai,
A
=
∑
i
=
1
3
A
i
n
^
i
{\displaystyle \mathbf {A} =\sum \limits _{i=1}^{3}{{{A}_{i}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{i}}}}
dengan,
A
1
=
A
x
;
A
2
=
A
y
;
A
3
=
A
z
{\displaystyle {{A}_{1}}={{A}_{x}};\ {{A}_{2}}={{A}_{y}};\ {{A}_{3}}={{A}_{z}}}
dan vektor-vektor satuannya adalah,
n
^
1
=
x
^
;
n
^
2
=
y
^
;
n
^
3
=
z
^
{\displaystyle {{\mathbf {\hat {n}} }_{1}}=\mathbf {\hat {x}} ;\ {{\mathbf {\hat {n}} }_{2}}=\mathbf {\hat {y}} ;\ {{\mathbf {\hat {n}} }_{3}}=\mathbf {\hat {z}} }
Berdasarkan aturan penjumlahan Einstein penjumlahan (sumasi) tersebut dapat ditulis sederhana sebagai,
A
=
A
i
n
^
i
{\displaystyle \mathbf {A} ={{A}_{i}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{i}}}
Sehingga kita dapat menghubungkan perkalian silang dengan epsilon Kronecker sebagai,
A
×
B
=
(
A
i
n
^
i
)
×
(
B
j
n
^
j
)
=
A
i
B
j
n
^
i
×
n
^
j
=
ε
i
j
k
A
i
B
j
n
^
k
{\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\left({{A}_{i}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{i}}\right)\times \left({{B}_{j}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{j}}\right)={{A}_{i}}{{B}_{j}}\ {{\mathbf {\hat {n}} }_{i}}\times {{\mathbf {\hat {n}} }_{j}}={{\varepsilon }_{ijk}}{{A}_{i}}{{B}_{j}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{k}}}
di mana nilai dari
ε
i
j
k
{\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}
didefinisikan sebagai,
ε
i
j
k
=
{
+
1
,
jika permutasi genap
-1
,
jika permutasi ganjil
0
,
jika selainnya
{\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}=\left\{{\begin{aligned}&+1,\ {\text{jika permutasi genap}}\\&{\text{-1}}{\text{,}}\ {\text{jika permutasi ganjil}}\\&{\text{0}}{\text{,}}\ {\text{jika selainnya}}\\\end{aligned}}\right.}
Definisi tersebut juga menunjukkan bahwa
ε
i
j
k
{\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}
hanya akan memiliki nilai jika tiap indeksi memiliki nilai yang berbeda.Sehingga
ε
i
j
k
{\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}
yang tak lenyap dalam perkalian silang, serta nilai dari
ε
i
j
k
{\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}
adalah,
ε
123
=
ε
231
=
ε
312
=
−
ε
132
=
−
ε
213
=
−
ε
321
=
1
{\displaystyle {{\varepsilon }_{123}}={{\varepsilon }_{231}}={{\varepsilon }_{312}}=-{{\varepsilon }_{132}}=-{{\varepsilon }_{213}}=-{{\varepsilon }_{321}}=1}
