• Source: Gabungan (teori himpunan)

Dalam teori himpunan, gabungan (bahasa Inggris: union) dari koleksi himpunan adalah himpunan semua anggota dalam koleksi. Gabungan merupakan salah satu operasi dasar, yang dapat menggabungkan atau mengaitkan anggota himpunan ke anggota himpunan lain. Gabungan dilambangkan dengan ∪.
Untuk penjelasan tentang penggunaan simbol lebih lanjut, lihat tabel dari simbol matematika




Gabungan dari dua himpunan


Gabungan dari himpunan



A


{\displaystyle A}

dan



B


{\displaystyle B}

adalah himpunan anggota yang berada di



A


{\displaystyle A}

, atau



B


{\displaystyle B}

, atau bahkan kedua-duanya. Gabungan dari dua himpunan tersebut dituliskan dalam notasi ungkapan himpunan.



A
∪
B
=
{
x
:
x
∈
A

atau

x
∈
B
}
.


{\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ atau }}x\in B\}.}

Sebagai contoh, jika



A
=
{
1
,
3
,
5
,
7
}


{\displaystyle A=\{1,3,5,7\}}

dan



B
=
{
1
,
2
,
4
,
6
,
7
}


{\displaystyle B=\{1,2,4,6,7\}}

, maka



A
∪
B
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
}


{\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}}

. Contoh yang lebih rumit (meliputi dua himpunan tak terhingga) adalahː



A
=
{
x

adalah bilangan bulat genap yang lebih besar daripada 1

}


{\displaystyle A=\{x{\text{ adalah bilangan bulat genap yang lebih besar daripada 1}}\}}





B
=
{
x

adalah bilangan bulat ganjil yang lebih besar daripada 1

}


{\displaystyle B=\{x{\text{ adalah bilangan bulat ganjil yang lebih besar daripada 1}}\}}





A
∪
B
=
{
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
…
}
.


{\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}.}


Contoh lainnya, 9 tidak termasuk dalam gabungan dari himpunan bilangan prima



{
2
,
3
,
5
,
7
,
11
,
…
}


{\displaystyle \{2,3,5,7,11,\dots \}}

dan juga himpunan dari bilangan genap



{
2
,
4
,
6
,
8
,
10.
…
}


{\displaystyle \{2,4,6,8,10.\dots \}}

, sebab 9 bukanlah bilangan prima ataupun bilangan genap.
Himpunan tidak mempunyai anggota identik yang muncul lebih dari satu kali, karena itu gabungan dari



{
1
,
2
,
3
}


{\displaystyle \{1,2,3\}}

dan



{
2
,
3
,
4
}


{\displaystyle \{2,3,4\}}

adalah



{
1
,
2
,
3
,
4
}


{\displaystyle \{1,2,3,4\}}

. Banyaknya kemunculan anggota yang identik tersebut tidak mempengaruhi kardinalitas himpunan ataupun isi himpunannya.




Sifat aljabar


Gabungan biner adalah operasi asosiatif. Hal ini berarti bahwa untuk setiap himpunan



A


{\displaystyle A}

,



B


{\displaystyle B}

, dan



C


{\displaystyle C}

, berlaku



A
∪
(
B
∪
C
)
=
(
A
∪
B
)
∪
C
.


{\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}


Pada rumus di atas, tanda kurung dapat dihilangkan dalam rangka untuk menghindari keambiguan, sehingga dapat ditulis juga sebagai



A
∪
B
∪
C


{\displaystyle A\cup B\cup C}

. Gabungan merupakan operasi komutatif, sehingga himpunan bisa ditulis dalam setiap urutan. Himpunan kosong adalah anggota identitas untuk operasi gabungan, dalam artian bahwa



A
∪
∅
=
A


{\displaystyle A\cup \varnothing =A}

, untuk setiap himpunan



A


{\displaystyle A}

. Secara analogi, semua sifat-sifat tersebut diikuti dari logika disjungsi.
Adapun sifat aljabar lainnya, yakni irisan distribusi atas gabungan



A
∩
(
B
∪
C
)
=
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C
)
,


{\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C),}

dan gabungan distribusi atas irisan



A
∪
(
B
∩
C
)
=
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
.


{\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}

Himpunan kuasa dari himpunan



U


{\displaystyle U}

, beserta operasi-operasinya, seperti gabungan, irisan, dan komplemen, merupakan aljabar Boole. Dalam aljabar Boole, gabungan dapat dinyatakan dengan rumus yang mengandung operasi irisan dan komplemen.



A
∪
B
=


(


A

c


∩

B

c



)


c


,


{\displaystyle A\cup B=\left(A^{\text{c}}\cap B^{\text{c}}\right)^{\text{c}},}

dengan superskrip C melambangkan komplemen dalam himpunan semesta



U


{\displaystyle U}

.




Gabungan terhingga



Beberapa himpunan dapat diambil secara serentak. Sebagai contoh, gabungan dari tiga himpunan



A


{\displaystyle A}

,



B


{\displaystyle B}

, dan



C


{\displaystyle C}

mengandung semua anggota dari



A


{\displaystyle A}

, semua anggota dari



B


{\displaystyle B}

, dan semua anggota dari



C


{\displaystyle C}

, dan tidak ada lagi. Dengan demikian,



x


{\displaystyle x}

adalah anggota dari



A
∪
B
∪
C


{\displaystyle A\cup B\cup C}

jika dan hanya jika



x


{\displaystyle x}

setidaknya ada di dalam salah satu himpunan



A


{\displaystyle A}

,



B


{\displaystyle B}

, dan



C


{\displaystyle C}

.
Gabungan terhingga adalah gabungan dari jumlah terbatas pada himpunan-himpunan; ungkapan tidak menyiratkan bahwa gabungan himpunan adalah himpunan terbatas.




Gabungan sebarang


Gagasan yang paling umum adalah gabungan dari koleksi himpunan sebarang, yang kadangkala disebut gabungan tak terhingga. Jika




M



{\displaystyle \mathbf {M} }

adalah himpunan atau kelas yang anggotanya ada di himpunan, maka



x


{\displaystyle x}

adalah gabungan dari




M



{\displaystyle \mathbf {M} }

jika dan hanya jika setidaknya ada satu anggota



A


{\displaystyle A}

dari




M



{\displaystyle \mathbf {M} }

sehingga



x


{\displaystyle x}

anggota dari



A


{\displaystyle A}

. Ini dapat ditulis dengan menggunakan simbol



x
∈
⋃

M


⟺

∃
A
∈

M

,

x
∈
A
.


{\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}

Gagasan ini menggolongkan bagian sebelumnya, sebagai contoh,



A
∪
B
∪
C


{\displaystyle A\cup B\cup C}

adalah gabungan dari koleksi



{
A
,
B
,
C
}


{\displaystyle \{A,B,C\}}

. Juga, jika




M



{\displaystyle \mathbf {M} }

adalah koleksi kosong, maka gabungan dari




M



{\displaystyle \mathbf {M} }

adalah himpunan kosong




= Notasi

=
Notasi untuk konsep yang umum sangat bervariasi. Untuk gabungan terhingga dari himpunan




S

1


,

S

2


,

S

3


,
…
,

S

n




{\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}}

, acapkali ditulis sebagai




S

1


∪

S

2


∪

S

3


∪
⋯
∪

S

n




{\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}}

atau




⋃

i
=
1


n



S

i


.


{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}.}

Terdapat bermacam-macam notasi untuk gabungan sembarang, seperti



⋃

M



{\textstyle \bigcup \mathbf {M} }

,




⋃

A
∈

M



A


{\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}

, atau




⋃

i
∈
I



A

i




{\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}

, yang mengacu pada gabungan dari koleksi




{


A

i


:
i
∈
I

}



{\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}

, dengan



I


{\displaystyle I}

adalah himpunan indeks, dan




A

i




{\displaystyle A_{i}}

adalah himpunan untuk



i
∈
I


{\displaystyle i\in I}

. Terdapat sebuah kasus bahwa untuk himpunan indeks



I


{\displaystyle I}

yang merupakan himpunan bilangan asli, dapat menggunakan notasi




⋃

i
=
1


∞



A

i


,


{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i},}

yang mirip seperti jumlah tak terhingga dalam deret.




Lihat pula


Aljabar dari himpunan
Alternasi (teorema bahasa formal), gabungan dari himpunan dari benang.
Aksioma dari gabungan
Gabungan penguraian
Irisan (teori himpunan)
Operasi biner berulang
Teori himpunan naif
Beda setangkup




Catatan






Pranala luar


Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Union of sets", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Infinite Union and Intersection at ProvenMath Diarsipkan 2023-01-07 di Wayback Machine. De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.

Kata Kunci Pencarian:

• Gabungan (teori himpunan)
• Daftar topik teori himpunan
• Himpunan (matematika)
• Komplemen (teori himpunan)
• Teori himpunan
• Irisan (teori himpunan)
• Kelas (teori himpunan)
• Kategori himpunan
• Matematika
• Himpunan hingga