• Source: Homomorfisme aljabar

Pada matematika, homomorfisme aljabar adalah homomorfisme di antara dua aljabar asosiatif. Lebih tepatnya, jika A dan B adalah aljabar atas suatu lapangan (atau gelanggang komutatif) K, fungsi



F
:
A
→
B


{\displaystyle F\colon A\to B}

merupakan homomorfisme aljabar apabila untuk setiap k anggota K dan x, y anggota A,




F
(
k
x
)
=
k
F
(
x
)


{\displaystyle F(kx)=kF(x)}





F
(
x
+
y
)
=
F
(
x
)
+
F
(
y
)


{\displaystyle F(x+y)=F(x)+F(y)}





F
(
x
y
)
=
F
(
x
)
F
(
y
)


{\displaystyle F(xy)=F(x)F(y)}


Dua kondisi pertama merupakan syarat agar F menjadi pemetaan linier-K (atau homomorfisme modul-K jika K adalah gelanggang komutatif), dan kondisi terakhir merupakan syarat agar fungsi F menjadi homomorfisme gelanggang (nonunit).
Jika invers dari F merupakan homomorfisme atau dengan kata lain F bijektif, maka fungsi F merupakan isomorfisme antara A dan B.




Homomorfisme aljabar unital


Misalkan A dan B adalah dua aljabar dengan unsur satuan. Homomorfisme aljabar F : A → B disebut homomofisme unital jika F memetakan unsur satuan di A ke unsur satuan di B. Homomorfisme aljabar seringkali diasumsikan juga bersifat unital, sekalipun tidak secara eksplisit disebut unital.
Homomorfisme aljabar unital merupakan bagian dari homomorfisme gelanggang yang unital.




Contoh


Setiap gelanggang adalah aljabar-Z. Hal ini dikarenakan terdapat homomorfisme unik Z → R. Konversnya juga berlaku, i.e. setiap aljabar-Z merupakan gelanggang.
Homomorfisme antar gelanggang komutatif dengan unsur satuan R → S menginduksi struktur aljabar-R komutatif pada S. Sebaliknya, jika S merupakan aljabar-R komutatif, maka pemetaan r ↦ r ⋅ 1S merupakan homomorfisme antar gelanggang komutatif dengan unsur satuan. Dengan demikian, overcategory gelanggang-R komutatif adalah kategori aljabar-R komutatif.
Misalkan A adalah subaljabar dari B, maka untuk setiap unsur unit b, fungsi yang mengirim setiap elemen a di A ke b−1ab merupakan homomorfisme aljabar. (Jika A = B, homomorfisme ini disebut automorfisme dalam dari B ). Homomorfisme ini biasa disebut sebagai pemetaan konjugasi oleh b. Misalkan pula A adalah aljabar sederhana dan B merupakan central simple algebra, maka semua homomorfisme dari A ke B merupakan pemetaan konjugasi; ini merupakan bunyi dari teorema Skolem – Noether .




Lihat pula


Morfisme
Universal algebra § Basic constructions
Spektrum gelanggang
Augmentasi (aljabar)




Referensi

Kata Kunci Pencarian:

• Homomorfisme aljabar
• Aljabar atas medan
• Aljabar asosiatif
• Aljabar Boolean (struktur)
• Aljabar operator verteks
• Daftar topik aljabar abstrak
• Bialjabar
• Homomorfisme
• Himpunan lonjong
• Aljabar Lie