- Source: Konjektur jumlah pangkat Euler
Konjektur Euler adalah konjektur yang dibantahkan dalam matematika yang berkaitan dengan Teorema Terakhir Fermat. Konjektur ini diusulkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1769. Konjektur ini menyatakan bahwa, untuk semua bilangan bulat n dan k lebih besar dari 1, jika jumlah dari n banyaknya bilangan bulat positif pangkat k adalah bilangan pangkat k itu sendiri, maka n lebih besar atau sama dengan k.
a
1
k
+
a
2
k
+
⋯
+
a
n
k
⟹
n
≥
k
.
{\displaystyle a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\dots +a_{n}^{k}\Longrightarrow n\geq k.}
Konjektur ini merepresentasikan percobaan untuk memperumum Teorema Terakhir Fermat, yang merupakan kasus spesial ketika n = 2: jika a k1 + a k2 = bk, maka 2 ≥ k.
Walaupun konjektur ini berlaku untuk kasus k = 3 (yang diikuti dari Teorema Terakhir Fermat untuk bilangan pangkat tiga), konjektur untuk kasus k = 4 dan k = 5 dibantahkan. Masih belum diketahui apakah konjektur ini gagal atau berlaku untuk setiap k ≥ 6.
Latar belakang
Euler mengetahui persamaan 594 + 1584 = 1334 + 1344 yang melibatkan penjumlaham dari empat bilangan pangkat empat. Akan tetapi, persamaan ini bukanlah contoh penyangkal karena tidak ada suku yang sendirian di suatu ruas persamaan. Ia pula menyediakan solusi lengkap untuk masalah empat bilangan pangkat tiga, yaitu bilangan Plato 33 + 43 + 53 = 63 atau bilangan taksi 1729. Solusi umum untuk persamaan
x
1
3
+
x
2
3
=
x
3
3
+
x
4
3
{\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=x_{3}^{3}+x_{4}^{3}}
adalah
x
1
=
1
−
(
a
−
3
b
)
(
a
2
+
3
b
2
)
x
2
=
(
a
+
3
b
)
(
a
2
+
3
b
2
)
−
1
x
3
=
(
a
+
3
b
)
−
(
a
2
+
3
b
2
)
2
x
4
=
(
a
2
+
3
b
2
)
2
−
(
a
−
3
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})\\x_{2}&=(a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1\\x_{3}&=(a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2}\\x_{4}&=(a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b)\end{aligned}}}
dengan a dan b adalah bilangan bulat.
Referensi
Kata Kunci Pencarian:
- Konjektur jumlah pangkat Euler
- Daftar hal-hal yang dinamai dari Leonhard Euler
- Pangkat tiga
- Konjektur Mersenne
- Bilangan prima
- Contoh penyangkal
- Pi
- Matematika percobaan
- Aritmetika modular
- E (konstanta matematika)
