- Source: Kurva bidang kubik
Dalam matematika, sebuah kubik bidang kurva merupakan sebuah kurva aljabar bidang
C
{\displaystyle C}
didefinisikan oleh sebuah persamaan kubik
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,z)=0}
berlaku untuk koordinat homogen
x
:
y
:
z
{\displaystyle x:y:z}
untuk bidang proyektif, atau versi inhomogen untuk ruang afin ditentukan dengan menetapkan
z
=
1
{\displaystyle z=1}
seperti di sebuah persamaan. Disini
F
{\displaystyle F}
merupakan kombinasi linear taknol dari monomial tiga derajat.
x
3
,
y
3
{\displaystyle x^{3},y^{3}}
Ini ada sepuluh dalam bilangan; oleh karena itu kurva kubik membentuk sebuah ruang proyektif dimensi 9, pada setiap diberikan medan
K
{\displaystyle K}
. Setiap titik
P
{\displaystyle P}
memaksa sebuah syarat linear tunggal pada
F
{\displaystyle F}
, jika kita menanyakan bahwa
C
{\displaystyle C}
melalui
P
{\displaystyle P}
. Oleh karena itu, kita dapat menemukan suatu kurav kubik memlalui setiap sembilan titik yang diberikan, yang dapat merosot, dan tidak dapat menjadi tunggal, tetapi akan menjadi tunggal dan takmerosot jika titiknya ada dalam posisi umum; bandingkan dua titik menentukan sebuah garis dan bagaimana lima titik menentukan sebuah runjung. Jika dua kubik melalui sebuah himpunan sembilan titik yang diberikan, maka faktanya sebuah pensil kubik tentu saja, dan titik-titiknya memenuhi sifat-sifat tambahan; lihat teorema Cayley–Bacharach.
Sebuah kurva kubik dapat memiliki sebuah titik singular, yang mana kasusnya memiliki sebuah parametrisasi dalam istilah garis proyektif. Jika tidak sebuah kurva kubik taksingular dikenal memiliki sembilan titik belok, pada sebuah medan tertutup secara aljabar seperti bilangan kompleks. Ini dapat ditunjukkan dengan mengambil versi homogen dari matriks Hesse, yang mendefinisikan sebuah kubik lagi, dan memotongnya dengan
C
{\displaystyle C}
, perpotongannya kemudain dicacahkan oleh teorema Bézout. Namun, hanya tiga dari titik-titik ini dapat menjadi real, jadi abhwa yang lain tidak dapat dilihat dalam bidang proyektif real dengan menggambar kurva. Kesembilan titik belok dari sebuah kubik taksingular memilki sifat yang setiap garis lewat melalui dua dari mereka berisi tepatnya tiga titik belok.
Titik-titik real kurva kubik dipelajari oleh Isaac Newton. Titik-titik real sebuah kubik proyektif taksingular jatuh ke satu atau dua 'oval'. Salah satu dari oval-oval ini melintasi setiap garis proyektif real, dan dengan demikian tidak pernah dibatasi ketika kubik digambar dalam bidang Euklides; ini muncul sebagai satu atau tiga cabang-cabang yang takhingga, berisi tiga titik belok real. Oval lainnya, jik ada, tidak berisi setiap titik belok dan muncul juga sebagai sebuah oval atau sebagai dua cabang-cabang yang takhingga. Seperti untuk irisan kerucut. sebuah garis memotong oval ini, paling banyak, dua titik.
Sebuah kubik bidang taksingular mendefiniskan sebuah kurva eliptik, pada setiap medan
K
{\displaystyle K}
untuk yang memiliki sebuah titik yang didefinisikan. Kurva eliptik sekarang biasanay dipelajari dalam beberapa ragam fungsi eliptik Weierstrass, mendefinisikan sebuah ekstensi kuadratik dari medan fungsi rasional dibuat dengan mengekstrak akar kuadrat sebuah kubik. Ini dilakukan bergantung pada yang memiliki sebuah titik rasional
K
{\displaystyle K}
, yang menyediakan sebagai titik di takhingga dalam bentuk Weierstrass. Terdapat banyak kurva kubik yang tidak memiliki titik tersebut, sebagai contoh ketika
K
{\displaystyle K}
merupakan medan bilangan rasional.
Titik-titik singular sebuah kurva kubik bidang takreduksi cukup terbatas: satu titik ganda, atau sebuah taring. Sebuah kurva kubik bidang reduksi merupakan baik sebuah kerucut dan sebuah garis atau tiga garis, dan oleh sebab itu memiliki dua titik ganda atau sebuah taknode (jika sebuah kerucut dan sebuah garis), atau samapi tiga titik ganda atau sebuah titik rangkap tiga tunggal (garis setumpu) jika tiga garis.
Kurva kubik dalam bidang segitga
Andaikan bahwa
A
B
C
{\displaystyle ABC}
adalah sebuah segitiga dengan panjang sisi
a
=
|
B
C
|
{\displaystyle a=\left|BC\right|}
,
b
=
|
C
A
|
{\displaystyle b=\left|CA\right|}
,
c
=
|
A
B
|
{\displaystyle c=\left|AB\right|}
. Berkaitan dengan
A
B
C
{\displaystyle ABC}
, banyak nama kubik lewat melalui titik yang dikenal dengan baik. Contoh-contoh menunjukkan di bawah menggunakan dua jenis koordinat homogen: trilinear dan barisentrik.
Untuk mengubah dari trilinear ke barisentrik dalam sebuah persamaan kubik, masukkan sebagai berikut:
x
↦
b
c
x
,
y
↦
c
a
y
,
z
↦
a
b
z
{\displaystyle x\mapsto bcx,y\mapsto cay,z\mapsto abz}
untuk mengubah dari barisentrik ke trilinear, gunakan
x
↦
a
x
,
y
↦
b
y
,
z
↦
c
z
{\displaystyle x\mapsto ax,y\mapsto by,z\mapsto cz}
Banyaknya persamaan untuk kubik memiliki bentuk
f
(
a
,
b
,
c
,
d
,
e
)
{\displaystyle f(a,b,c,d,e)}
Dalam contoh di bawah, persamaan-persamaan sedemikian ditulis lebih dengan ringkas dalam "notasi jumlah siklik", seperti ini:
[
jumlah siklik
]
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}]}
Kubik yang didaftar di bawah dapat didefinisikan dalam perihal dari sekawan isogonal, dilambangkan dengan
X
⋆
{\displaystyle X^{\star }}
, sebuah titik
X
{\displaystyle X}
yang tidak pada sebuah panjang sisi
A
B
C
{\displaystyle ABC}
. Sebuah konstruksi
X
⋆
{\displaystyle X^{\star }}
berikut. Misalkan
L
A
{\displaystyle L_{A}}
menjadi refleksi garis
X
A
{\displaystyle XA}
mengenai sudut bagi dua dalam dari sudut
A
{\displaystyle A}
, dan mendefiniskan
L
B
{\displaystyle L_{B}}
dan
L
C
{\displaystyle L_{C}}
secara analog. Maka ketiga garis yang tercermin bertepatan di
X
⋆
{\displaystyle X^{\star }}
. Dalam koordinat trilinear, jika
X
=
x
:
y
:
z
{\displaystyle X=x:y:z}
, maka
X
⋆
=
1
x
:
1
y
:
1
z
{\displaystyle X^{\star }={\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}}
.
= Kubik Neuberg
=Persamaan trilinear:
[
jumlah siklik
(
cos
A
−
2
cos
B
cos
C
)
x
(
y
2
−
z
2
)
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,(\cos A-2\cos B\cos C)x(y^{2}-z^{2})]=0}
Persamaan barisentrik:
[
jumlah siklik
(
a
2
(
b
2
+
c
2
)
+
(
b
2
−
c
2
)
2
−
2
a
4
)
x
(
c
2
y
2
−
b
2
z
2
)
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})]=0}
Kubik Neuberg (dinamakan oleh Joseph Jean Baptiste Neuberg) merupakan lokus dari sebuah titik
X
{\displaystyle X}
sehingga
X
⋆
{\displaystyle X^{\star }}
ada pada garis
E
X
{\displaystyle EX}
, dimana
E
{\displaystyle E}
merupakan titik takhingga Euler (
X
(
30
)
{\displaystyle X(30)}
dalam Ensiklopedia Pusat Segitiga). Juga, kubik ini merupakan lokus dari
X
{\displaystyle X}
sehingga segitiga
X
A
X
B
X
C
{\displaystyle X_{A}X_{B}X_{C}}
perspektif dengan
A
B
C
{\displaystyle ABC}
, dimana
X
A
X
B
X
C
{\displaystyle X_{A}X_{B}X_{C}}
merupakan refleksi
X
{\displaystyle X}
dalam garis
B
C
{\displaystyle BC}
,
C
A
{\displaystyle CA}
,
A
B
{\displaystyle AB}
masing-masing.
Kubik Neuberg melewati titik-titik berikut: pusat lingkaran dalam, pusat lingkaran luar, sentroid, kedua titik Fermat, kedua titik isodinamik, titik takhingga Euler, pusat-pusat segitiga lainnya, pusat lingkaran singgung luar, refleksi
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
,
C
{\displaystyle C}
dalam panjang sisi
A
B
C
{\displaystyle ABC}
, dan puncak-puncak dari enam segitiga sama sisi dibangun pada sisi
A
B
C
{\displaystyle ABC}
.
Untuk sebuah wakilan grafis dan daftar sifat dari kubik Neuberg yang luas, lihat K001 pada Kubik Berhard Gilbert dalam Bidang Segitiga.
= Kubik Thomson
=Persamaan trilinear:
[
jumlah siklik
b
c
x
(
y
2
−
z
2
)
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,bcx(y^{2}-z^{2})]=0}
Persamaan barisentrik:
[
jumlah siklik
x
(
c
2
y
2
−
b
2
z
2
)
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})]=0}
Kubik Thomson merupakan lokus sebuah titik
X
{\displaystyle X}
sehingga
X
⋆
{\displaystyle X^{\star }}
ada pada garis
G
X
{\displaystyle GX}
, dimana
G
{\displaystyle G}
merupakan titik berat.
Kubik Thomson lewat melalui titik-titik berikut: pusat lingkaran dalam, sentroid, pusat lingkaran luar, titik tinggi, titik simedian, pusat segitiga lainnya, puncak-puncak
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
,
C
{\displaystyle C}
, pusat lingkaran singgung luar, titik tengah sisi
B
C
{\displaystyle BC}
,
C
A
{\displaystyle CA}
,
A
B
{\displaystyle AB}
, dan titik tengah dari tinggi
A
B
C
{\displaystyle ABC}
. Untuk setiap titik
P
{\displaystyle P}
pada titik kubik tetapi bukan pada sebuah sisi lain dari kubik, sekawan isogonal dari
P
{\displaystyle P}
juga pada kubik.
Untuk grafik-grafik dan sifat-sifat, lihat K002 pada Kubik dalam Bidang Segitiga.
= Kubik Darboux
=Persamaan trilinear:
[
jumlah siklik
(
cos
A
−
cos
B
cos
C
)
x
(
y
2
−
z
2
)
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,(\cos A-\cos B\cos C)x(y^{2}-z^{2})]=0}
Persamaan barisentrik:
[
jumlah siklik
(
2
a
2
(
b
2
+
c
2
)
+
(
b
2
−
c
2
)
2
−
3
a
4
)
x
(
c
2
y
2
−
b
2
z
2
)
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})]=0}
Kubik Darboux merupakan lokus dari sebuah titik
X
{\displaystyle X}
sehingga
X
⋆
{\displaystyle X^{\star }}
ada pada garis
L
X
{\displaystyle LX}
, dimana
L
{\displaystyle L}
merupakan titik de Longchamps. Juga, kubik ini merupakan lokus dari
X
{\displaystyle X}
sehingga segitiga pedal
X
{\displaystyle X}
merupakan cevian suatu titik (yang terletak pada kubik Lucas). Juga, kubik ini merupakan lokus dari sebuah titik
X
{\displaystyle X}
sehingga segitiga pedal dari
X
{\displaystyle X}
dan segitiga anticevian dari
X
{\displaystyle X}
adalah perspektif, perspektornya terletak pada kubik Thomson.
Kubik Darboux lewat melalui pusat lingkaran dalam, pusat lingkaran luar, titik tinggi, titik de Longchamps, pusat-pusat segitiga lainnya, puncak-puncak
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
,
C
{\displaystyle C}
pada lingkaran luar. Untuk setiap titik
P
{\displaystyle P}
pada kubik tetapi bukan pada sebuah sisi lain dari kubik, sekawan konjugasi
P
{\displaystyle P}
juga pada kubik.
Untuk grafik-grafik dan sifat-sifatnya, lihat K004 pada Kubik dalam Bidang Segitiga.
= Kubik Napoleon–Feuerbach
=Persamaan trilinear:
[
jumlah siklik
cos
(
B
−
C
)
x
(
y
2
−
z
2
)
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,\cos(B-C)x(y^{2}-z^{2})]=0}
Persamaan barisentrik:
[
jumlah siklik
(
a
2
(
b
2
+
c
2
)
−
(
b
2
−
c
2
)
2
)
x
(
c
2
y
2
−
b
2
z
2
)
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,(a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})]=0}
Kubik Napoleon–Feuerbach merupakam lokus dari sebuah titik
X
⋆
{\displaystyle X^{\star }}
ada pada garis
N
X
{\displaystyle NX}
, dimana
N
{\displaystyle N}
merupakan pusat lingkaran sembilan, (
N
=
X
(
5
)
{\displaystyle N=X(5)}
di Ensiklopedia Pusat Segitiga).
Kubik Napoleon–Feuerbach lewat melalui pusat lingkaran dalam, pusat lingkaran luar, titik tinggi, titik pertama dan kedua Napoleon, pusat segitiga lainnya, puncak-puncak
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
,
C
{\displaystyle C}
, pusat lingkaran singgung luar, proyeksi dari titik berat pada tinggi, dan pust dari 6 segitiga sama sisi tegak pada sisi
A
B
C
{\displaystyle ABC}
.
Untuk grafik-grafik dan sifat-sifatnya, lihat K005 pada Kubik dalam Bidang Segitiga.
= Kubik Lucas
=Persamaan trilinear:
[
jumlah siklik
(
cos
A
)
x
(
b
2
y
2
−
c
2
z
2
)
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,(\cos A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})]=0}
Persamaan barisentrik:
[
jumlah siklik
(
b
2
+
c
2
−
a
2
)
x
(
y
2
−
z
2
)
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})]=0}
Kubik Lucas merupakan lokus dari sebuah titik
X
{\displaystyle X}
sehingga segitiga cevian
X
{\displaystyle X}
merupakan segitiga pedal dari suatu titik; titiknya terletak pada kubik Darboux.
Kubik Lucas lewat melalui sentroid, titik tinggi, titik Gergonne, titik Nagel, titik de Longchamps, pusat-pusat segitiga lainnya, puncak-puncak dari segitiga yang taksaling melengkapi, dan fokus dari elips luar Steiner.
Untuk grafik-grafik dan sifat-sifatnya, lihat K007 pada Kubik dalam Bidang Segitiga.
= Kubik Brocard pertama
=Persamaan trilinear:
[
jumlah siklik
b
c
(
a
4
−
b
2
c
2
)
x
(
y
2
+
z
2
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2}]=0}
Persamaan barisentrik:
[
jumlah siklik
(
a
4
−
b
2
c
2
)
x
(
c
2
y
2
+
b
2
z
2
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,(a^{4}-b^{2}c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2}]=0}
Misalkan
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle A'B'C'}
menjadi segitiga Brocard pertama. Untuk sembarang titik
X
{\displaystyle X}
, misalkan
X
A
{\displaystyle X_{A}}
,
X
B
{\displaystyle X_{B}}
,
X
C
{\displaystyle X_{C}}
menjadi perpotongan dari garis
X
A
′
{\displaystyle XA'}
,
X
B
′
{\displaystyle XB'}
,
X
C
′
{\displaystyle XC'}
dengan panjang sisi masing-masing
B
C
{\displaystyle BC}
,
C
A
{\displaystyle CA}
,
A
B
{\displaystyle AB}
. Kubik Brocard pertama merupakan lokus dari
X
{\displaystyle X}
untuk yang titik
X
A
{\displaystyle X_{A}}
,
X
B
{\displaystyle X_{B}}
,
X
C
{\displaystyle X_{C}}
adalah kolinear.
Kubik Brocard pertama lewat melalui titik berat, titik simedian, titik Steiner, pusat-pusat segitiga lainnya, dan puncak-puncak dari segitiga Brocard pertama dan ketiga.
Untuk grafik-grafik dan sifat-sifatnya, lihat K017 pada Kubik dalam Bidang Segitiga.
= Kubik Brocard kedua
=Persamaan trilinear:
[
jumlah siklik
b
c
(
b
2
−
c
2
)
x
(
y
2
+
z
2
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,bc(b^{2}-c^{2})x(y^{2}+z^{2}]=0}
Persamaan barisentrik:
[
jumlah siklik
(
b
2
−
c
2
)
x
(
c
2
y
2
+
b
2
z
2
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2}]=0}
Kubik Brocard kedua merupakan lokus dari sebuah titik
X
{\displaystyle X}
untuk yang kutub dari garis
X
X
⋆
{\displaystyle XX^{\star }}
dalam runjung luar melalui
X
{\displaystyle X}
dan
X
⋆
{\displaystyle X^{\star }}
terletak pada garis dari pusat lingkaran luar dan titik simedian (yaitu, sumbu Brocard).
Kubik Brocard kedua lewat melalui sentroid, titik simedian, kedua titik Fermat, kedua titik isodinamik, titik Parry, pusat-pusat segitiga lainnya, dan puncak-puncak dari segitiga Brocard kedua dan keempat.
Untuk grafik-grafik dan sifat-sifatnya, lihat K018 pada Kubik dalam Bidang Segitiga..
= Kubik luas yang sama pertama
=Persamaan trilinear:
[
jumlah siklik
a
(
b
2
−
c
2
)
x
(
y
2
−
z
2
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2}]=0}
Persamaan barisentrik:
[
jumlah siklik
a
2
(
b
2
−
c
2
)
x
(
c
2
y
2
−
b
2
z
2
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,a^{2}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2}]=0}
Kubik luas yang sama pertama merupakan lokus dari sebuah titik
X
{\displaystyle X}
sama dengan luas dari segitiga cevian dari
X
⋆
{\displaystyle X^{\star }}
. Juga, kubik ini merupakan lokus dari
X
{\displaystyle X}
untuk yang
X
⋆
{\displaystyle X^{\star }}
pada garis
S
⋆
X
{\displaystyle S^{\star }X}
, dimana
S
{\displaystyle S}
merupakan titik Steiner. (
S
=
X
(
99
)
{\displaystyle S=X(99)}
di Ensiklopedia Pusat Segitiga).
Kubik luas yang sama pertama lewat melalui pusat lingkaran dalam, titik Steiner, pusat-pusat segitiga lainnya, titik Brocard pertama dan kedua, dan pusat lingkaran singgung luar.
Untuk grafik-grafik dan sifat-sifatnya, lihat K021 pada Kubik dalam Bidang Segitiga.
= Kubik luas sama kedua
=Persamaan trilinear:
(
b
z
+
c
x
)
(
c
x
+
a
y
)
(
a
y
+
b
z
)
=
(
b
x
+
c
y
)
(
c
y
+
a
x
)
(
a
z
+
b
x
)
{\displaystyle (bz+cx)(cx+ay)(ay+bz)=(bx+cy)(cy+ax)(az+bx)}
Persamaan barisentrik:
[
jumlah siklik
a
(
a
2
−
b
c
)
x
(
c
3
y
2
−
b
3
z
2
)
]
=
0
{\displaystyle [{\text{jumlah siklik}}\,a(a^{2}-bc)x(c^{3}y^{2}-b^{3}z^{2})]=0}
Untuk setiap titik
X
=
x
:
y
:
z
{\displaystyle X=x:y:z}
(trilinear), misalkan
X
Y
=
y
:
z
:
x
{\displaystyle X_{Y}=y:z:x}
dan
X
Z
=
z
:
x
:
y
{\displaystyle X_{Z}=z:x:y}
. Kubik luas sama kedua merupakan lokus dari
X
{\displaystyle X}
sehingga luas dari segitiga cevian dari
X
Y
{\displaystyle X_{Y}}
sama dengan luas dari segitiga cevian dari
X
Z
{\displaystyle X_{Z}}
.
Kubik luas sama kedua lewat melalui pusat lingkaran dalam, sentroid, titik simedian, dan titik-titik dalam Ensiklopedia Pusat Segitiga diindeks sebagai
X
(
31
)
{\displaystyle X(31)}
,
X
(
105
)
{\displaystyle X(105)}
,
X
(
238
)
{\displaystyle X(238)}
,
X
(
292
)
{\displaystyle X(292)}
,
X
(
365
)
{\displaystyle X(365)}
,
X
(
672
)
{\displaystyle X(672)}
,
X
(
1453
)
{\displaystyle X(1453)}
,
X
(
1931
)
{\displaystyle X(1931)}
,
X
(
2053
)
{\displaystyle X(2053)}
, dan lain-lainnya.
Untuk grafik-grafik dan sifat-sifatnya, lihat K115 pada Kubik dalam Bidang Segitiga.
Lihat pula
Teorema Cayley–Bacharach, pada perpotongan dari dua bidang kurva kubik
Kubik terpilin, sebuah kurva ruang kubik
Kurva eliptik
Kurva Agnesi
Referensi
Bix, Robert (1998), Conics and Cubics: A Concrete Introduction to Algebraic Curves, New York: Springer, ISBN 0-387-98401-1 .
Cerin, Zvonko (1998), "Locus properties of the Neuberg cubic", Journal of Geometry, 63 (1–2): 39–56, doi:10.1007/BF01221237 .
Cerin, Zvonko (1999), "On the cubic of Napoleon", Journal of Geometry, 66 (1–2): 55–71, doi:10.1007/BF01225672 .
Cundy, H. M.; Parry, Cyril F. (1995), "Some cubic curves associated with a triangle", Journal of Geometry, 53 (1–2): 41–66, doi:10.1007/BF01224039 .
Cundy, H. M.; Parry, Cyril F. (1999), "Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 1)", Journal of Geometry, 66 (1–2): 72–103, doi:10.1007/BF01225673 .
Cundy, H. M.; Parry, Cyril F. (2000), "Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 2)", Journal of Geometry, 68 (1–2): 58–75, doi:10.1007/BF01221061 .
Ehrmann, Jean-Pierre; Gibert, Bernard (2001), "A Morley configuration", Forum Geometricorum, 1: 51–58 .
Ehrmann, Jean-Pierre; Gibert, Bernard (2001), "The Simson cubic", Forum Geometricorum, 1: 107–114 .
Gibert, Bernard (2003), "Orthocorrespondence and orthopivotal cubics", Forum Geometricorum, 3: 1–27 .
Kimberling, Clark (1998), "Triangle Centers and Central Triangles", Congressus Numerantium, 129: 1–295 . Lihat bab 8 untuk kubik.
Kimberling, Clark (2001), "Cubics associated with triangles of equal areas", Forum Geometricorum, 1: 161–171 .
Lang, Fred (2002), "Geometry and group structures of some cubics", Forum Geometricorum, 2: 135–146 .
Pinkernell, Guido M. (1996), "Cubic curves in the triangle plane", Journal of Geometry, 55 (1–2): 142–161, doi:10.1007/BF01223040 .
Salmon, George (1879), Higher Plane Curves (edisi ke-3rd), New York: Chelea
Pranala luar
A Catalog of Cubic Plane Curves (archived version)
Points on Cubics
Cubics in the Triangle Plane
Special Isocubics in the Triangle Plane (pdf), by Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert
Kata Kunci Pencarian:
- Kurva bidang kubik
- Persamaan kubik
- Daftar topik kurva
- Kurva eliptik
- Daftar bentuk matematika
- Kurva Bézier
- Isaac Newton
- Parabola
- Kalkulus
- Aljabar
