Search Results for “limit barisan”

Source: Limit barisan

Dalam matematika, limit barisan adalah nilai yang didekati oleh suku-suku barisan ketika nomor urut suku-sukunya semakin membesar. Limit barisan seringkali dilambangkan dengan

lim

{\displaystyle \lim }

(yaitu,

lim

n
→
∞

a

n

{\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}

). Jika suatu barisan mempunyai limit, barisan itu disebut konvergen. Barisan yang tidak konvergen disebut divergen. Limit barisan dikatakan sebagai gagasan landasan seluruh analisis matematika.
Limit dapat ditentukan pada ruang metrik atau ruang topologi, tetapi biasanya pertama kali ditemukan dalam bilangan real.

Sejarah

limit

barisan

limit

Limit barisan bilangan

= Limit tak sebenarnya

barisan

.
Jika suatu barisan cenderung ke takhingga atau negatif takhingga, maka barisan tersebut adalah divergen. Namun, suatu barisan divergen bukanlah syarat perlu untuk suatu barisan mendekati takhingga atau negatif takhingga, seperti barisan tanda

x

n

=
(
−
1

)

n

{\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}

. Perilaku limit barisan divergen yang terbatas dapat ditelaah dengan memperhatikan barisan bagiannya, limit superior dan inferior, serta titik limit.

= Contoh-contoh

=

Jika

x

n

=
c

{\displaystyle x_{n}=c}

untuk suatu konstanta c, maka

x

n

→
c

{\displaystyle x_{n}\to c}

.
Jika

x

n

=
1

/

n

{\displaystyle x_{n}=1/{n}}

, maka

x

n

→
0

{\displaystyle x_{n}\to 0}

.
Jika

x

n

=
1

/

n

{\displaystyle x_{n}=1/n}

untuk

n

{\displaystyle n}

genap, dan

x

n

=
1

/

n

2

{\textstyle x_{n}=1/{n^{2}}}

untuk

n

{\displaystyle n}

ganjil, maka

x

n

→
0

{\displaystyle x_{n}\to 0}

. (Kenyataan bahwa

x

n
+
1

>

x

n

{\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}

apabila

n

{\displaystyle n}

ganjil tidak penting.)
Diberikan sebarang bilangan real; suatu barisan yang konvergen menuju suatu bilangan dapat dengan mudah dibangun dengan mengambil hampiran desimal. Misal, barisan

0.3
,
0.33
,
0.333
,
0.3333
,
.
.
.

{\displaystyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,...}

konvergen menuju

1

/

3

{\displaystyle 1/3}

. Perhatikan bahwa representasi desimal

0.3333...

{\displaystyle 0.3333...}

adalah limit dari barisan sebelumnya, yang ditentukan oleh

0.3333...
≜

lim

n
→
∞

∑

i
=
1

n

3

10

i

{\textstyle 0.3333...\triangleq \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {3}{10^{i}}}}

.
Limit suatu barisan tidak selalu dapat ditemukan dengan mudah. Dua contohnya adalah

lim

n
→
∞

(

1
+

1
n

)

n

{\textstyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}

(limitnya adalah bilangan e) dan purata aritmetika–geometrik (limitnya 13,458...). Teorema apit sering kali berguna dalam pencarian limit barisan yang sebegini.

= Sifat-sifat

=
Limit suatu barisan, apabila ada, adalah tunggal.
Misal diketahui dua barisan konvergen

x

n

→
L

{\displaystyle x_{n}\to L}

dan

y

n

→
M

{\displaystyle y_{n}\to M}

,
barisan hasil jumlah atau hasil pengurangan kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan berturut-turut limitnya adalah jumlah atau selilsish limit dua barisan yang diketahui.

(

x

n

±

y

n

)
→
L
±
M

{\displaystyle (x_{n}\pm y_{n})\to L\pm M}

barisan hasil kali kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan limitnya adalah perkalian limit dua barisan yang diketahui.

(

x

n

y

n

)
→
L
M

{\displaystyle (x_{n}y_{n})\to LM}

apabila

M
≠
0

{\displaystyle M\neq 0}

, barisan hasil bagi kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan limitnya adalah perkalian limit dua barisan yang diketahui.

(

x

n

y

n

)

→

L
M

{\displaystyle \left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)\to {\frac {L}{M}}}

Jika

a

n

≤

b

n

{\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}

untuk semua

n

{\displaystyle n}

lebih besar dari suatu

N

{\displaystyle N}

, maka

lim

n
→
∞

a

n

≤

lim

n
→
∞

b

n

{\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}

.
Jika

a

n

≤

c

n

≤

b

n

{\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}

untuk semua

n
>
N

{\displaystyle n>N}

, dan

lim

n
→
∞

a

n

=

lim

n
→
∞

b

n

=
L

{\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}

, maka

lim

n
→
∞

c

n

=
L

{\textstyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}

. (teorema apit)
Jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan itu terbatas.
Jika suatu barisan terbatas dan monoton, maka barisan itu mempunyai limit (teorema kekonvergenan barisan monoton).
Suatu barisan adalah konvergen jika dan hanya jika setiap barisan bagiannya konvergen.

Ruang metrik

= Definisi

=
Suatu titik

x

{\displaystyle x}

dalam ruang metrik

(
X
,
d
)

{\displaystyle (X,d)}

adalah limit dari barisan

(

x

n

)

{\displaystyle (x_{n})}

jika untuk sembarang nilai

ϵ
>
0

{\displaystyle \epsilon >0}

, terdapat nilai

N

{\displaystyle N}

sedemikian rupa, sehingga untuk setiap nilai

n
≥
N

{\displaystyle n\geq N}

,

d
(

x

n

,
x
)
<
ϵ

{\displaystyle d(x_{n},x)<\epsilon }

. Definisi ini berlaku juga untuk bilangan real dengan

X
=

R

{\displaystyle X=\mathbb {R} }

dan

d
(
x
,
y
)
=

|

x
−
y

|

{\displaystyle d(x,y)=|x-y|}

.

= Sifat-sifat

=
Untuk suatu fungsi kontinu f, jika

x

n

→
x

{\displaystyle x_{n}\to x}

maka

f
(

x

n

)
→
f
(
x
)

{\displaystyle f(x_{n})\to f(x)}

. Faktanya, fungsi f kontinu jika dan hanya jika untuk sembarang barisan menuju suatu limit

x

n

→
x

{\displaystyle x_{n}\to x}

berlaku

f
(

x

n

)
→
f
(
x
)

{\displaystyle f(x_{n})\to f(x)}

.
Limit barisan, apabila ada, itu tunggal. Karena dua titik berbeda terpisahkan oleh suatu jarak positif, jadi untuk

ϵ

{\displaystyle \epsilon }

kurang dari setengah jarak ini, suku-suku barisan tidak bisa berada dalam jarak

ϵ

{\displaystyle \epsilon }

dari kedua titik tersebut.

Barisan Cauchy

Barisan Cauchy adalah barisan yang sukunya bagian akhir menjadi berdekatan secara acak, setelah cukup banyak istilah awal yang dihapus akan dikembalikan. Gagasan tentang barisan Cauchy penting dalam studi barisan di ruang metrik, dan, khususnya, di analisis riil. Salah satu hasil yang sangat penting dalam analisis nyata adalah Kriteria Cauchy untuk kekonvergenan barisan: barisan bilangan real adalah konvergen jika dan hanya jika itu adalah barisan Cauchy. Hal ini tetap berlaku di ruang metrik lengkap.

Definisi dalam bilangan hiperreal

Definisi batas menggunakan bilangan hiperreal menggunakan intuisi bahwa untuk nilai indeks yang "sangat besar", istilah terkait adalah "sangat dekat" dengan batas. Lebih tepatnya, barisan yang nyata

(

x

n

)

{\displaystyle (x_{n})}

cenderung L jika untuk setiap tak terbatas hipernatural H, syarat xH is sangat dekat dengan L (yaitu, perbedaan nilai xH − L adalah infinitesimal). Setara, L adalah bagian standar dari xH

L
=

s
t

(

x

H

)
.

{\displaystyle L={\rm {st}}(x_{H}).\,}

Jadi, limitnya bisa ditentukan dengan rumus

lim

n
→
∞

x

n

=

s
t

(

x

H

)
,

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\rm {st}}(x_{H}),}

dengan limit tersebut ada jika dan hanya jika ruas kanan tidak bergantung pada pemilihan dari suatu takhingga H.

Lihat pula

Limit fungsi – titik untuk yang fungsi konvergen dalam topologi
Titik limit – suatu titik x dalam suatu ruang topologis, semua lingkungan berisi beberapa titik dalam diberikan suatu himpunan bagian yang berbeda dari x.
Limit atas dan limit bawah
Mode kekonvergenan
Limit jaring — suatu jaring rampat topologis dari suatu barisan
Limit teoretik himpunan
Aturan gesekan
Limit berurut bagian

Catatan

= Bukti

Referensi

Courant, Richard (1961). "Volume Kalkulus Diferensial dan Integral I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
Frank Morley dan James Harkness A treatise on the theory of functions (New York: Macmillan, 1893)

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Limit", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
A history of the calculus, including limits