- Source: Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga
Dalam geometri, lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam segitiga merupakan lingkaran" target="_blank">lingkaran terbesar yang terisi di dalam segitiga; ini bersinggung (merupakan garis singgung dengan) tiga sisi. Pusat dari lingkaran" target="_blank">lingkaran adalah pusat segitiga disebut pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam segitiga.
Sebuah pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar dari segitiga merupakan sebuah lingkaran" target="_blank">lingkaran yang terletak di luar segitiga, singgung dengan satu sisinya singgung dengan perluasan dari dua lainnya. Setiap segitiga memiliki tiga pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar yang berbeda, setiap garis singgung dengan salah satu dari sisi-sisi segitiga.
Pusat dari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam, disebut pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam, dapat ditemukan sebagai perpotongan dari tiga garis bagi dalam. Pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar merupakan perpotongan dari garis bagi dalam dari satu sudut (di verteks
A
{\displaystyle A}
, sebagai contohnya) dan garis bagi luar dari dua lainnya. Pusat dari lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar ini disebut pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar relatif terhadap verteks
A
{\displaystyle A}
, atau pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar
A
{\displaystyle A}
. Karena garis bagi dalam dari sebuah sudut tegak lurus dengan garis bagi luarnya, ini mengikuti bahwa pusat dari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam bersama-sama dengan tiga pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luarnya membentuk sebuah sistem ortosentrik.:p. 182
Semua poligon beraturan memiliki garis singgung lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam untuk semua sisi, tetapi tidak semua poligon; yang ada poligon singgung.
Lihat pula: Garis singgung dengan lingkaran" target="_blank">lingkaran
lingkaran" target="_blank">Lingkaran dalam dan pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam
Andaikan
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
memiliki sebuah lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam dengan jari-jari
r
{\displaystyle r}
dan pusat
I
{\displaystyle I}
. Misalkan
a
{\displaystyle a}
menjadi panjangnya
B
C
{\displaystyle BC}
,
b
{\displaystyle b}
adalah panjang
A
C
{\displaystyle AC}
, dan
c
{\displaystyle c}
panjangnya
A
B
{\displaystyle AB}
. Juga misalkan
T
A
{\displaystyle T_{A}}
,
T
B
{\displaystyle T_{B}}
, dan
T
C
{\displaystyle T_{C}}
menjadi titik singgung dimana lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam menyinggung
B
C
{\displaystyle BC}
,
A
C
{\displaystyle AC}
, dan
A
B
{\displaystyle AB}
.
= Pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam
=Pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam merupakan titik dimana garis bagi dalam
∠
A
B
C
,
∠
B
C
A
,
dan
∠
B
A
C
{\displaystyle \angle ABC,\angle BCA,{\text{ dan }}\angle BAC}
bertemu.
Jarak dari verteks
A
{\displaystyle A}
ke pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam
I
{\displaystyle I}
adalah
d
(
A
,
I
)
=
c
sin
(
B
2
)
cos
(
C
2
)
=
b
sin
(
C
2
)
cos
(
B
2
)
{\displaystyle d(A,I)=c{\frac {\sin \left({\frac {B}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}}=b{\frac {\sin \left({\frac {C}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {B}{2}}\right)}}}
Koordinat trilinear
Korodinat trilinear untuk sebuah titik dalam segitiga merupakan nisbah dari semua jarak ke sisi-sisi segitiga. Karena pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam adalah jarak yang sama dari semua sisi-sisi dari segitiga, koordinat trilinear untuk pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam adalah
1
:
1
:
1
{\displaystyle 1:1:1}
Koordinat barisentrik
Koordinat barisentrik untuk sebuah titik dalam sebuah segitiga memberikan bobot sehingga titiknya adalah rerata berbobot dari posisi verteks segitiga. Koordinat barisentrik untuk pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam diberikan oleh
a
:
b
:
c
{\displaystyle a:b:c}
dimana
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
, dan
c
{\displaystyle c}
adalah panjang sisi-sisi dari segitiga, atau dengan setara (menggunakan hukum sinus) oleh
sin
(
A
)
:
sin
(
B
)
:
sin
(
C
)
{\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}
dimana
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
, dan
C
{\displaystyle C}
adalah sudut-sudut pada tiga verteksnya.
Koordinat Cartesius
Koordinat Cartesius dari pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam adalah sebuah rerata berbobot dari koordinat dari tiga verteks menggunakan panjang sisi dari segitiga relatif terhadap keliling (yaitu, menggunakan koordinat barisentrik yang diberikan di atas, ternormalkan untuk menjumlahkan kesatuannya) sebagai bobot. Bobotnya positif sehingga pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam terletak di dalam segitiga ketika dinyatakan di atas. Jika ketiga verteksnya terletak di
(
x
a
,
y
a
)
{\displaystyle (x_{a},y_{a})}
,
(
x
b
,
y
b
)
{\displaystyle (x_{b},y_{b})}
, dan
(
x
c
,
y
c
)
{\displaystyle (x_{c},y_{c})}
, dan sisi-sisinya berlawanan dengan verteks-verteks ini memiliki padanan panjang
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
, dan
c
{\displaystyle c}
, maka pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalamnya di
(
a
x
a
+
b
x
b
+
c
x
c
a
+
b
+
c
,
a
y
a
+
b
y
b
+
c
y
c
a
+
b
+
c
)
=
a
(
x
a
,
y
a
)
+
b
(
x
b
,
y
b
)
+
c
(
x
c
,
y
c
)
a
+
b
+
c
{\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}}
Jari-jari
Jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam
r
{\displaystyle r}
dalam sebuah segitiga dengan sisi-sisi panjang
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
,
c
{\displaystyle c}
diberikan oleh
r
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}}
..., dimana
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
Lihat rumus Heron
Jarak ke verteks
Melambangkan pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
sebagai
I
{\displaystyle I}
, jarak dari pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam ke verteks digabungkan dengan panjang dari sisi-sisi segitiga mematuhi persamaannya
I
A
⋅
I
A
C
A
⋅
A
B
+
I
B
⋅
I
B
A
B
⋅
B
C
+
I
C
⋅
I
C
B
C
⋅
C
A
=
1
{\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1}
Sebagai tambahan,
I
A
⋅
I
B
⋅
I
C
=
4
R
r
2
{\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}}
dimana
R
{\displaystyle R}
dan
r
{\displaystyle r}
masing-masing adalah radius lingkaran" target="_blank">lingkaran luar dan jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam segitiga.
Sifat-sifat lainnya
Kumpulan pusat-pusat segitiga dapat diberikan struktur grup di bawah perkalian secara koordinat mengenai koordinat trilinear, dalam grup ini, pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam membentuk elemen identitas.
= lingkaran" target="_blank">Lingkaran dalam dan sifat-sifat radiusnya
=Jarak antara verteks dan titik singgung paling terdekat
Jarak dari sebuah verteks ke dua titik singgung paling terdekat adalah sama; misalnya:
d
(
A
,
T
B
)
=
d
(
A
,
T
C
)
=
1
2
(
b
+
c
−
a
)
{\displaystyle d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\frac {1}{2}}(b+c-a)}
Sifat-sifat lainnya
Andaikan titik-titik singgung dari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam membagi sisi-sisi menjadi panjang
x
{\displaystyle x}
dan
y
{\displaystyle y}
,
y
{\displaystyle y}
dan
z
{\displaystyle z}
, serta
z
{\displaystyle z}
dan
x
{\displaystyle x}
. Maka lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam memiliki jari-jari
r
=
x
y
z
x
+
y
+
z
{\displaystyle r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}}
dan luas dari segitiganya adalah
Δ
=
x
y
z
(
x
+
y
+
z
)
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {xyz(x+y+z)}}}
Jika tingginya dari sisi-sisi panjang
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
, dan
c
{\displaystyle c}
adalah
h
a
{\displaystyle h_{a}}
,
h
b
{\displaystyle h_{b}}
, dan
h
c
{\displaystyle h_{c}}
, maka jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam
r
{\displaystyle r}
adalah sepertiga dari purata harmonik tinggi ini; yaitu,
r
=
1
1
h
a
+
1
h
b
+
1
h
c
{\displaystyle r={\frac {1}{{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}}}
Darab dari jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam
r
{\displaystyle r}
dan jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran luar
R
{\displaystyle R}
dari sebuah segitiga dengan sisi-sisi
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
, dan
c
{\displaystyle c}
adalah:189,#298(d)
r
R
=
a
b
c
2
(
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}}
Beberapa hubungan di sekitar sisi-sisi, jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam, dan jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran luar adalah:
a
b
+
b
c
+
c
a
=
s
2
+
(
4
R
+
r
)
r
a
2
+
b
2
+
c
2
=
2
s
2
−
2
(
4
R
+
r
)
r
{\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r\end{aligned}}}
Setiap garis melalui sebuah segitiga yang kedua luas segitiga dan kelilingnya terbelah dua menuju ke pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran segitiga (pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalamnya). Terdapat baik satu, dua, atau tiga ini untuk suatu segitiga yang diberikan.
Melambangkan pusat dari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
sebagai
I
{\displaystyle I}
, kita mempunyai
I
A
⋅
I
A
C
A
⋅
A
B
+
I
B
⋅
I
B
A
B
⋅
B
C
+
I
C
⋅
I
C
B
C
⋅
C
A
=
1
{\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1}
dan:121,#84
I
A
⋅
I
B
⋅
I
C
=
4
R
r
2
{\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}}
Jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam tidak lebih besar daripada sepersembilan jumlah dari tinggi.:289
Jarak kuadrat dari pusat
I
{\displaystyle I}
ke pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran luar
O
{\displaystyle O}
diberikan oleh:232
O
I
2
=
R
(
R
−
2
r
)
{\displaystyle OI^{2}=R(R-2r)}
dan jarak dari pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam dengan pusat
N
{\displaystyle N}
dari lingkaran" target="_blank">lingkaran sembilan adalah:232
I
N
=
1
2
(
R
−
2
r
)
<
1
2
R
{\displaystyle IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R}
Pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam terletak di segitiga tengah (yang verteks-verteksnya merupakan titik tengah dari sisinya).:233, Lemma 1
Hubungan dengan luas dari segitiga
Jari-jari dari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam berkaitan dengan luas dari segitiga. Nisbah dari luas lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam dengan luas segitiga lebih kecil atau sama dengan
π
3
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}
, dengan persamaannya berlaku hanya untuk segitiga sama sisi.
Andaikan
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
memiliki sebuah lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam dengan jari-jari
r
{\displaystyle r}
dan pusat
I
{\displaystyle I}
. Misalkan
a
{\displaystyle a}
menjadi panjang
B
C
{\displaystyle BC}
,
b
{\displaystyle b}
menjadi panjang
A
C
{\displaystyle AC}
, dan
c
{\displaystyle c}
menjadi panjang
A
B
{\displaystyle AB}
. Sekarang, lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam singgung dengan
A
B
{\displaystyle AB}
pada suatu titik
T
C
{\displaystyle T_{C}}
, dan demikian
∠
A
T
C
I
{\displaystyle \angle AT_{C}I}
adalah siku-siku. Demikian,
△
I
A
B
{\displaystyle \triangle IAB}
memiliki alas dengan panjang
c
{\displaystyle c}
dan tinggi
r
{\displaystyle r}
, dan jadi memiliki luas
1
2
c
r
{\displaystyle {\frac {1}{2}}cr}
. Dengan cara yang serupa,
△
I
A
C
{\displaystyle \triangle IAC}
memiliki luas
1
2
b
r
{\displaystyle {\frac {1}{2}}br}
dan
△
I
B
C
{\displaystyle \triangle IBC}
memiliki luas
1
2
a
r
{\displaystyle {\frac {1}{2}}ar}
. Karena ketiga segitiga ini memisahkan
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
, kita lihat bahwa luas
Δ
{\displaystyle \Delta }
dari
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
adalah:
Δ
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
r
=
s
r
{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=sr}
dan
r
=
Δ
s
{\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}}}
dimana
Δ
{\displaystyle \Delta }
adalah luas dari
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
dan
s
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)}
adalah semiperimeternya.
Untuk sebuah rumus yang alternatif, anggap
△
I
T
C
A
{\displaystyle \triangle IT_{C}A}
. Ini adalah segitiga siku-siku dengan satu sisinya sama dengan
r
{\displaystyle r}
dan sisi lainnya sama dengan
r
cot
(
A
2
)
{\displaystyle r\cot \left({\frac {A}{2}}\right)}
. Kesamaannya benar untuk
△
I
B
′
A
{\displaystyle \triangle IB'A}
. Segitiga yang besar dikomposisi enam segitiga dan luas totalnya adalah:
Δ
=
r
2
(
cot
(
A
2
)
+
cot
(
B
2
)
+
cot
(
C
2
)
)
{\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\cot \left({\frac {A}{2}}\right)+\cot \left({\frac {B}{2}}\right)+\cot \left({\frac {C}{2}}\right)\right)}
= Segitiga dan titik Gergonne
=Segitiga Gergonne (dari
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
) didefinisikan oleh tiga titik singgung dari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam pada tiga sisi. Titik singgung berlawanan
A
{\displaystyle A}
dilambangkan
T
A
{\displaystyle T_{A}}
, dll.
Segitiga Gergonne,
△
T
A
T
B
T
C
{\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}
, juga dikenal sebagai segitiga kontak atau segitiga singgung dalam dari
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
. Luasnya adalah
K
T
=
K
2
r
2
s
a
b
c
{\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}
dimana
K
{\displaystyle K}
,
r
{\displaystyle r}
, dan
s
{\displaystyle s}
adalah luasnya, jari-jari dari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam dari segitiga asalnya, dan
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
, serta
c
{\displaystyle c}
adalah panjang sisi dari segitiga asalnya. Ini adalah luas yang sama seperti yang dari segitiga singgung luar.
Tiga garis
A
T
A
{\displaystyle AT_{A}}
,
B
T
B
{\displaystyle BT_{B}}
, dan
C
T
C
{\displaystyle CT_{C}}
memotong dalam sebuah titik tunggal disebut titik Gergonne, dilambangkan sebagai
G
e
{\displaystyle G_{e}}
(pusat segitiga
X
7
{\displaystyle X_{7}}
). Titik Gergonne terletak di cakram ortosentroidal terbuka tertusuk di pusatnya sendiri, dan dapat menjadi suatu titik di situ.
Titik Gergonne dari sebuah segitiga memiliki sebuah bilangan sifat-sifat, termasuk bahwa ini adalah sebuah titik simedian dari segitiga Gergonne.
Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung dalam diberikan oleh
verteks
T
A
=
0
:
sec
2
(
B
2
)
:
sec
2
(
C
2
)
verteks
T
B
=
sec
2
(
A
2
)
:
0
:
sec
2
(
C
2
)
verteks
T
C
=
sec
2
(
A
2
)
:
sec
2
(
B
2
)
:
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{verteks }}T_{A}&=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)\\{\text{verteks }}T_{B}&=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)\\{\text{verteks }}T_{C}&=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0\end{aligned}}}
Koordinat trilinear untuk titik Gergonne diberikan oleh
atau, dengan setara, oleh Hukum Sinus
b
c
b
+
c
−
a
:
c
a
c
+
a
−
b
:
a
b
a
+
b
−
c
{\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}}
lingkaran" target="_blank">Lingkaran singgung luar dan pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar
Sebuah lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar dari segitiga adalah sebuah lingkaran" target="_blank">lingkaran yang terletak di luar segitiga, bersinggung dengan satu sisinya dan singgung dengan perluasan dari keduanya. Setiap segitiga memiliki tiga lingkaran" target="_blank">lingkaran yang berbeda, setiap singgung ke satu dari sisi-sisi segitiga.
Pusat sebuah lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar merupakan perpotongan dari garis bagi dalam satu sudut (di verteks
A
{\displaystyle A}
, contohnya) dan garis bagi luar dari dua lainnya. Pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung ini disebut pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar relatif terhadap verteks dari
A
{\displaystyle A}
, atau pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar dari
A
{\displaystyle A}
. Karena garis bagi dalam sudut tegak lurus dengan garis bagi luarnya, ini mengikuti bahwa pusat dari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam bersama dengan tiga pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar membentuk sebuah sistem ortosentrik.:182
= Koordinat trilinear pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar
=Saat pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
memiliki koordinat trilinear
1
:
1
:
1
{\displaystyle 1:1:1}
, pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar memiliki trilinear
−
1
:
1
:
1
{\displaystyle -1:1:1}
,
1
:
−
1
:
1
{\displaystyle 1:-1:1}
, dan
1
:
1
:
−
1
{\displaystyle 1:1:-1}
.
= Jari-jari pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar
=Jari-jari dari lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar disebut jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar.
Jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar dari lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar berlawanan
A
{\displaystyle A}
(jadi menyentuh
B
C
{\displaystyle BC}
, berpusat di
J
A
{\displaystyle J_{A}}
) adalah
r
a
=
r
s
s
−
a
=
s
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
−
a
{\displaystyle r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}}
..., dimana
s
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)}
.
Lihat rumus Heron
Penurunan rumus pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar
Sifat-sifat lainnya
Dari rumus di atas salah satunya dapat melihat bahwa lingkaran" target="_blank">lingkaran singgun luar selalu lebih besar dari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam dan bahwa lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung paling terbesar merupaakan salah satu bersinggung dengan sisi terpanjang serta lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar bersinggung dengan sisi terpendek. Lebih lanjut, menggabungkan rumus-rumus ini menghasilkan:
Δ
=
r
r
a
r
b
r
c
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}}
= Sifat-sifat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar lainnya
=Lambung lingkar dari lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar secara internal menyinggung dengan setiap dari lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar dan dengan demikian merupakan sebuah lingkaran" target="_blank">lingkaran Apollonius. Jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran Apollonius ini adalah
r
2
+
s
2
4
r
{\displaystyle {\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}}
dimana
r
{\displaystyle r}
adalah jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam dan
s
{\displaystyle s}
adalah semiperimeter dari segitiga.
Hubungan berikut berlaku di antara jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam
r
{\displaystyle r}
, jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran luar
R
{\displaystyle R}
, semiperimeter
s
{\displaystyle s}
, dan jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar
r
a
{\displaystyle r_{a}}
,
r
b
{\displaystyle r_{b}}
,
r
c
{\displaystyle r_{c}}
:
r
a
+
r
b
+
r
c
=
4
R
+
r
r
a
r
b
+
r
b
r
c
+
r
c
r
a
=
s
2
r
a
2
+
r
b
2
+
r
c
2
=
(
4
R
+
r
)
2
−
2
s
2
{\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2}\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}\end{aligned}}}
lingkaran" target="_blank">Lingkaran melalui pusat-pusat dari tiga lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar memiliki jari-jari
2
R
{\displaystyle 2R}
.
Jika
H
{\displaystyle H}
adalah titik tinggi dari
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
, maka
r
a
+
r
b
+
r
c
+
r
=
A
H
+
B
H
+
C
H
+
2
R
r
a
2
+
r
b
2
+
r
c
2
+
r
2
=
A
H
2
+
B
H
2
+
C
H
2
+
(
2
R
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&=AH+BH+CH+2R\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}\end{aligned}}}
= Segitiga Nagel dan titik Nagel
=Segitiga Nagel atau segitiga singgung luar
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
dilambangkan oleh verteks-verteks
T
A
{\displaystyle T_{A}}
,
T
B
{\displaystyle T_{B}}
, dan
T
C
{\displaystyle T_{C}}
yang terdapat tiga titik dimana lingakran singgung luar menyinggung rujukan
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
dan dimana
T
A
{\displaystyle T_{A}}
adalah lawannya dari
A
{\displaystyle A}
, dst.
△
T
A
T
B
T
C
{\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}
ini juga dikenal sebagai segitiga singgung luar
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
. lingkaran" target="_blank">Lingkaran luar dari singgung luar
△
T
A
T
B
T
C
{\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}
disebut lingkaran" target="_blank">lingkaran Mandart.
Tiga garis
A
T
A
{\displaystyle AT_{A}}
,
B
T
B
{\displaystyle BT_{B}}
, dan
C
T
C
{\displaystyle CT_{C}}
disebut pembagi dari segitiga, mereka membagi garis setiap keliling dari segitiga,
A
B
+
B
T
A
=
A
C
+
C
T
A
=
1
2
(
A
B
+
B
C
+
A
C
)
{\displaystyle AB+BT_{A}=AC+CT_{A}={\frac {1}{2}}\left(AB+BC+AC\right)}
Pembaginya memotong dalam sebuah titik tunggal, titik Nagel segitiga
N
a
{\displaystyle N_{a}}
(atau pusat segitiga
X
8
{\displaystyle X_{8}}
).
Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung luar diberikan oleh
verteks
T
A
=
0
:
csc
2
(
B
2
)
:
csc
2
(
C
2
)
verteks
T
B
=
csc
2
(
A
2
)
:
0
:
csc
2
(
C
2
)
verteks
T
C
=
csc
2
(
A
2
)
:
csc
2
(
B
2
)
:
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{verteks }}T_{A}&=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)\\{\text{verteks }}T_{B}&=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)\\{\text{verteks }}T_{C}&=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0\end{aligned}}}
Koordinat trilinear untuk titik Nagel diberikan oleh
csc
2
(
A
2
)
:
csc
2
(
B
2
)
:
csc
2
(
C
2
)
{\displaystyle \csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}
atau, dengan setara, oleh Hukum Sinus,
b
+
c
−
a
a
:
c
+
a
−
b
b
:
a
+
b
−
c
c
{\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}}
Titik Nagel merupakan sekawan isotomik dari titik Gergonne.
Konstruksi yang berkaitan
= lingkaran" target="_blank">Lingkaran sembilan titik dan titik Feuerbach
=Dalam geometri, lingkaran" target="_blank">lingkaran sembilan titik merupakan sebuah lingkaran" target="_blank">lingkaran yang dapat dikonstruksikan untuk suatu segitiga yang diberikan. Ini dinamakan demikian karena ini lewat melalui sembilan titik konsiklik bermakna didefinisikan dari segitiga. Sembilan titik ini adalah:
Titik tengah setiap sisi dari segitiga
Kaki dari setiap tinggi
Titik tengah dari ruas garis dari setiap verteks-verteks segitiga ke titik tinggi (dimana tiga ketinggiannya bertemu; ruas garis ini terletak pada masing-masing ketinggiannya).
Pada tahun 1822, Karl Feuerbach menemukan bahwa setiap lingkaran" target="_blank">lingkaran sembilan titik segitiga secara eksternal bersinggungan dengan tiga lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luarnya dan secara internal bersinggung dengan lingkaran" target="_blank">lingkaran dalamnya; hasil ini diknel sebagia teorema Feuerbach. Dia membuktikan bahwa:
... lingkarannya yang lewat melalui kaki dari tinggi segitiga bersinggungan dengan semua empat lingkaran" target="_blank">lingkaran yang pada gilirannya bersinggungan dengan tiga sisi dari segitiga ... (Feuerbach 1822)
Pusat segitiga di mana singgung lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam dan lingkaran" target="_blank">lingkaran sembilan disebut titik Feuerbach.
= Segitiga pusat dalam dan pusat singgung luar
=Titik perpotongan dari garis bagi sudut dalam
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
dengan ruas
B
C
{\displaystyle BC}
,
C
A
{\displaystyle CA}
, dan
A
B
{\displaystyle AB}
adalah verteks-verteks dari segitiga pusat dalam. Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga pusat dalam diberikan oleh
(
lawan dari verteks
A
)
=
0
:
1
:
1
(
lawan dari verteks
B
)
=
1
:
0
:
1
(
lawan dari verteks
C
)
=
1
:
1
:
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\text{lawan dari verteks }}A\right)&=0:1:1\\\left({\text{lawan dari verteks }}B\right)&=1:0:1\\\left({\text{lawan dari verteks }}C\right)&=1:1:0\end{aligned}}}
Segitiga pusat singgung luar dari sebuah segitiga acuan memiliki verteks-verteks pada pusat dari lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar segitiga acuan. Sisinya pada garis bagi sudut luar dari segitiga acuan (lihat gambar pada halaman di atas). Koordinat trilinear untuk verteks-verteks mengenai segitiga pusat singgung luar diberikan oleh
(
hadapan verteks
A
)
=
−
1
:
1
:
1
(
hadapan verteks
B
)
=
1
:
−
1
:
1
(
hadapan verteks
C
)
=
1
:
1
:
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}({\text{hadapan verteks}}\,A)=-1:1:1\\({\text{hadapan verteks}}\,B)=1:-1:1\\({\text{hadapan verteks}}\,C)=1:1:-1\end{aligned}}}
Persamaan untuk empat lingkaran" target="_blank">lingkaran
Misalkan
x
:
y
:
z
{\displaystyle x:y:z}
menjadi sebuah titik peubah dalam koordinat trilinear, dan misalkan
u
=
cos
2
(
A
2
)
{\displaystyle u=\cos ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right)}
,
v
=
cos
2
(
B
2
)
{\displaystyle v=\cos ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right)}
, dan
w
=
cos
2
(
C
2
)
{\displaystyle w=\cos ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}
. Keempat lingkaran" target="_blank">lingkaran digambarkan di atas diberikan dengan setara oleh baik dari dua persamaan yang diberikan:
lingkaran" target="_blank">Lingkaran dalam:
u
2
x
2
+
v
2
y
2
+
w
2
z
2
−
2
v
w
y
z
−
2
w
u
z
x
−
2
u
v
x
y
=
0
±
x
cos
(
A
2
)
±
y
cos
(
B
2
)
±
z
cos
(
C
2
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}}
lingkaran" target="_blank">Lingkaran singgung luar
A
{\displaystyle A}
:
u
2
x
2
+
v
2
y
2
+
w
2
z
2
−
2
v
w
y
z
+
2
w
u
z
x
+
2
u
v
x
y
=
0
±
−
x
cos
(
A
2
)
±
y
cos
(
B
2
)
±
z
cos
(
C
2
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {-x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}}
lingkaran" target="_blank">Lingkaran singgung luar
B
{\displaystyle B}
:
u
2
x
2
+
v
2
y
2
+
w
2
z
2
+
2
v
w
y
z
−
2
w
u
z
x
+
2
u
v
x
y
=
0
±
x
cos
(
A
2
)
±
−
y
cos
(
B
2
)
±
z
cos
(
C
2
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {-y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}}
lingkaran" target="_blank">Lingkaran singgung luar
C
{\displaystyle C}
:
u
2
x
2
+
v
2
y
2
+
w
2
z
2
+
2
v
w
y
z
+
2
w
u
z
x
−
2
u
v
x
y
=
0
±
x
cos
(
A
2
)
±
y
cos
(
B
2
)
±
−
z
cos
(
C
2
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {-z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}}
Teorema Euler
Teorema Euler menyatakan bahwa dalam sebuah segitiga:
(
R
−
r
)
2
=
d
2
+
r
2
{\displaystyle (R-r)^{2}=d^{2}+r^{2}}
dimana
R
{\displaystyle R}
dan
r
{\displaystyle r}
adalah jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran luar dan jari-jari lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam masing-masing, dan
d
{\displaystyle d}
adalah jarak antara pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran luar dan pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam.
Untuk lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar, persamaannya menyerupai:
(
R
+
r
ex
)
2
=
d
ex
2
+
r
ex
2
{\displaystyle \left(R+r_{\text{ex}}\right)^{2}=d_{\text{ex}}^{2}+r_{\text{ex}}^{2}}
dimana
r
ex
{\displaystyle r_{\text{ex}}}
merupakan jari-jari mengenai salah satu dari lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luar, dan
d
ex
{\displaystyle d_{\text{ex}}}
adalah jarak antara pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran luar dan pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran singgung luarnya.
Perampatan dengan poligon lainnya
Beberapa (tapi tidak semua) segi empat memiliki sebuah lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam. Ini disebut segi empat singgung. Di antaranya banyak sifat-sifat yang mungkin paling terpenting adalah bahwa dua pasangannya mengenai sisi berhadapan memiliki jumlah yang sama. Ini disebut teorema Pitot.
Lebih umumnya, sebuah poligon dengan suatu jumlah sisi bahwa memiliki sebuah lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam (yaitu, salah satunya yang bersinggung dengan setiap sisi disebut sebuah poligon singgung.
Lihat pula
Segi luar
lingkaran" target="_blank">Lingkaran luar– ;lingkaran" target="_blank">Lingkaran yang lewat melalui semua verteks-verteks poligon
Segi empat ekstangensial
Teorema Harcourt – Luas segitiga dari jarak sisi dan verteksnya untuk suatu garis singgung ke lingkaran" target="_blank">lingkaran dalamnya
Runjung luar dan runjung dalam – Sebuah irisan runjunt yan lewat melalui verteks segiiga atau garis singgung ke sisinya
Bola dalam
Kuasa titik
Elips dalam Steiner
Segi empat singgung
Teorema Trillium – Sebuah pernyataan mengenai sifat-sifat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam dan lingkaran" target="_blank">lingkaran luar.
Catatan
Referensi
Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (edisi ke-2), New York: Barnes & Noble, LCCN 52013504
Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69012075
Kimberling, Clark (1998). "Triangle Centers and Central Triangles". Congressus Numerantium (129): i–xxv,1–295.
Kiss, Sándor (2006). "The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles". Forum Geometricorum (6): 171–177.
Pranala luar
Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Incircle". MathWorld.
= Interaktif
=Pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam segitiga lingkaran" target="_blank">Lingkaran dalam segitiga lingkaran" target="_blank">Lingkaran segi banyak beraturan Dengan animasi interaktif
Membangun sebuah pusat lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam/lingkaran" target="_blank">lingkaran dalam segitiga dengan jangka dan sejajar
Teorema lingkaran" target="_blank">Lingkaran Dalam Sama di Cut-the-Knot
Lima Teorema lingkaran" target="_blank">Lingkaran Dalam di Cut-the-Knot
Pasangan lingkaran" target="_blank">Lingkaran Dalam di sebuah Segi Empat di Cut-the-Knot
An interactive Java applet for the incenter
Kata Kunci Pencarian:
- Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga
- Lingkaran
- Segitiga
- Segitiga singgung luar
- Sudut (geometri)
- Daftar topik segitiga
- Bola (geometri)
- Trigonometri
- Ensiklopedia Pusat Segitiga
- Rangkap tiga Pythagoras
