- Source: Matriks (matematika)
Dalam matematika, matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi. Sebagai contoh, matriks di bawah ini adalah matriks berukuran 2 × 3 (baca "dua kali tiga"):
[
1
9
−
13
20
5
−
6
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}}
karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom.
Setiap objek dalam matriks
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
berdimensi
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
sering dilambangkan dengan
a
i
,
j
{\displaystyle a_{i,j}}
, dimana nilai maksimum
i
=
m
{\displaystyle i=m}
dan nilai maksimum
j
=
n
{\displaystyle j=n}
. Objek dalam matriks disebut elemen, entri, atau anggota matriks.
Jika dua matriks memiliki dimensi yang sama (masing-masing matriks memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama), kedua matriks tersebut dapat dijumlahkan maupun dikurangkan secara elemen demi elemen. Namun, berdasarkan aturan perkalian matriks, dua matriks hanya dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Perkalian ini akan menghasilkan matriks dengan ukuran jumlah baris matriks pertama dan jumlah kolom matriks kedua. Artinya, perkalian matriks
m
×
n
{\displaystyle m\times \mathbf {n} }
dengan matriks
n
×
p
{\displaystyle \mathbf {n} \times p}
menghasilkan matriks
m
×
p
{\displaystyle m\times p}
. Perkalian matriks tidak bersifat komutatif.
Matriks umumnya digunakan untuk merepresentasikan transformasi linear, yakni suatu generalisasi fungsi linear seperti
f
(
x
)
=
4
x
{\displaystyle f(x)=4x}
. Sebagai contoh, efek rotasi pada ruang dimensi tiga merupakan sebuah transformasi linear yang dapat dilambangkan dengan matriks rotasi
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
. Jika
v
{\displaystyle v}
adalah sebuah vektor di dimensi tiga, hasil dari
R
v
{\displaystyle \mathbf {R} v}
menyatakan posisi titik tersebut setelah dirotasi. Hasil perkalian dari dua matriks adalah sebuah matriks yang melambangkan komposisi dari dua transformasi linear. Salah satu aplikasi lain dari matriks adalah menemukan solusi sistem persamaan linear. Jika matriks merupakan matriks persegi, beberapa sifat dari matriks tersebut dapat diketahui dengan menghitung nilai determinan. Misalnya, matriks persegi memiliki invers jika dan hanya jika nilai determinannya tidak sama dengan nol. Sisi geometri dari sebuah transformasi linear (dan beberapa hal lain) dapat diketahui dari eigenvalue dan eigenvector matriks.
Aplikasi dari matriks ditemukan pada banyak bidang sains. Pada bidang-bidang fisika, contohnya mekanika klasik, mekanika kuantum, dan optika, matriks digunakan untuk mempelajari keadaan fisis, seperti pergerakan planet. Dalam bidang grafika komputer, matriks digunakan untuk memanipulasi model 3D dan memproyeksikannya ke sebuah layar dua dimensi. Pada bidang teori probabilitas dan statistika, matriks stokastik digunakan untuk menjelaskan probabilitas keadaan; contohnya dalam algoritma PageRank dalam menentukan urutan halaman pada pencarian Google. Kalkulus matriks menggeneralisasi bentuk analitik klasik dari turunan dan eksponensial ke dimensi yang lebih tinggi. Matriks juga digunakan dalam bidang ekonomi untuk menjelaskan sistem dari relasi ekonomi.
Definisi
Matriks adalah susunan angka atau objek matematika lainnya yang disusun dalam bentuk baris dan kolom, dimana operasi seperti penjumlahan dan perkalian dapat didefinisikan. Umumnya, matriks di atas medan
F
{\displaystyle F}
berisi elemen-elemen dari
F
{\displaystyle F}
. Sebagian besar artikel ini berfokus pada matriks riil dan kompleks, yaitu matriks yang masing-masing elemennya berupa bilangan riil atau bilangan kompleks. Jenis elemen matriks yang umum akan dibahas di bawah. Sebagai contoh, ini adalah sebuah matriks riil:
A
=
[
−
1.3
0.6
20.4
5.5
9.7
−
6.2
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1.3&0.6\\20.4&5.5\\9.7&-6.2\end{bmatrix}}.}
= Ukuran
=Ukuran matriks ditentukan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Matriks dengan jumlah kolom
m
{\displaystyle m}
dan jumlah baris
n
{\displaystyle n}
disebut matriks
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
atau matriks "m kali n", dimana
m
{\displaystyle m}
dan
n
{\displaystyle n}
adalah dimensinya. Sebagai contoh, matriks
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
di atas adalah matriks
3
×
2
{\displaystyle 3\times 2}
. Matriks dengan satu baris disebut vektor baris, dan matriks dengan satu kolom disebut vektor kolom. Matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama disebut matriks persegi. Matriks dengan jumlah baris atau kolom yang tak terbatas (atau keduanya) disebut matriks tak terbatas. Dalam beberapa konteks, akan bermanfaat untuk mempertimbangkan sebuah matriks tanpa baris atau tanpa kolom, yang disebut matriks kosong.
Notasi
Matriks pada umumnya ditulis dalam tanda kurung siku/kurung kurawal:
A
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
]
=
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
)
=
(
a
i
j
)
∈
R
m
×
n
.
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}=\left(a_{ij}\right)\in \mathbb {R} ^{m\times n}.}
Notasi simbolik untuk menyatakan suatu matriks sangat bervariasi, namun beberapa notasi lebih umum dipakai. Matriks biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf besar (seperti
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
pada contoh di atas). Sedangkan huruf kecil yang sesuai, dengan dua indeks subskrip, misal
a
1
,
1
{\displaystyle a_{1,1}}
, untuk menyebutkan elemen matriks tersebut. Selain menggunakan huruf besar untuk melambangkan matriks, banyak penulis menggunakan gaya tipografi khusus, yang biasanya dicetak tebal tegak, untuk lebih membedakan matriks dari objek matematika lainnya. Notasi alternatif melibatkan penggunaan garis bawah ganda (double-underline) dengan nama variabel, dengan atau tanpa gaya cetak tebal (contohnya
A
_
_
{\displaystyle {\underline {\underline {A}}}}
).
Elemen baris ke-
i
{\displaystyle i}
dan kolom ke-
j
{\displaystyle j}
dari matriks
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
terkadang dirujuk sebagai elemen ke
(
i
,
j
)
{\displaystyle (i,\,j)}
dari matriks, dan umumnya ditulis sebagai
a
i
,
j
{\displaystyle a_{i,\,j}}
atau
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
. Alternatif notasi yang lain adalah
A
[
i
,
j
]
{\displaystyle A[i,j]}
atau
A
i
,
j
{\displaystyle A_{i,j}}
. Sebagai contoh, elemen ke
(
1
,
3
)
{\displaystyle (1,3)}
dari matriks
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
berikut dapat ditulis sebagai
a
1
,
3
{\displaystyle a_{1,\,3}}
,
a
13
{\displaystyle a_{13}}
,
A
[
1
,
3
]
{\displaystyle A[1,\,3]}
maupun
A
1
,
3
{\displaystyle A_{1,\,3}}
.
A
=
[
4
−
7
5
0
−
2
0
11
8
19
1
−
3
12
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&-7&\color {red}{5}&0\\-2&0&11&8\\19&1&-3&12\end{bmatrix}}}
Terkadang, elemen dari sebuah matriks dapat didefinisikan dengan menggunakan suatu rumus
a
i
,
j
=
f
(
i
,
j
)
{\displaystyle a_{i,j}=f(i,j)}
. Sebagai contoh, setiap elemen dari matriks
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
berikut didefinisikan sebagai
a
i
,
j
=
i
−
j
{\displaystyle a_{i,j}=i-j}
A
=
[
0
−
1
−
2
−
3
1
0
−
1
−
2
2
1
0
−
1
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&-2&-3\\1&0&-1&-2\\2&1&0&-1\end{bmatrix}}}
.
Dalam kasus seperti ini, matriks tersebut juga dapat didefinisikan oleh rumus yang sama, dengan menggunakan kurung siku atau tanda kurung ganda. Pada contoh di atas, matriks dapat didefinisikan sebagai
A
=
[
i
−
j
]
{\displaystyle \mathbf {A} =[i-j]}
atau
A
=
(
(
i
−
j
)
)
{\displaystyle \mathbf {A} =((i-j))}
.
Simbol bintang (asterisk) terkadang digunakan untuk merujuk sebuah baris atau sebuah kolom pada matriks. Sebagai contoh,
a
i
,
⋆
{\displaystyle a_{i,\star }}
merujuk pada baris ke-
i
{\displaystyle i}
dari matriks
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
, dan
a
⋆
,
j
{\displaystyle a_{\star ,j}}
merujuk pada baris ke-
j
{\displaystyle j}
dari matriks
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
. Himpunan semua matriks
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
dilambangkan dengan
M
m
×
n
{\displaystyle \mathbb {M} _{m\times n}}
.
Operasi dasar
Ada sejumlah operasi dasar yang dapat diterapkan untuk memodifikasi matriks. Operasi dasar pada matriks meliputi penambahan matriks, perkalian skalar, transposisi, perkalian matriks, operasi baris, dan submatriks.
= Penjumlahan dan pengurangan matriks
=Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.
a
i
j
±
b
i
j
=
c
i
j
{\displaystyle a_{ij}\pm b_{ij}=c_{ij}\!}
atau dalam representasi dekoratifnya
[
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
]
±
[
b
11
b
12
b
13
b
21
b
22
b
23
]
=
[
(
a
11
±
b
11
)
(
a
12
±
b
12
)
(
a
13
±
b
13
)
(
a
21
±
b
21
)
(
a
22
±
b
22
)
(
a
23
±
b
23
)
]
=
[
c
11
c
12
c
13
c
21
c
22
c
23
]
{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\end{bmatrix}}\pm {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}(a_{11}\pm b_{11})&(a_{12}\pm b_{12})&(a_{13}\pm b_{13})\\(a_{21}\pm b_{21})&(a_{22}\pm b_{22})&(a_{23}\pm b_{23})\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}\!}
= Perkalian skalar
=Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.
λ
⋅
A
:=
(
λ
⋅
a
i
j
)
i
=
1
,
…
,
m
;
j
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle \lambda \cdot \mathbf {A} :=(\lambda \cdot a_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}}
Contoh perhitungan:
5
⋅
(
1
−
3
2
1
2
7
)
=
(
5
⋅
1
5
⋅
(
−
3
)
5
⋅
2
5
⋅
1
5
⋅
2
5
⋅
7
)
=
(
5
−
15
10
5
10
35
)
{\displaystyle 5\cdot {\begin{pmatrix}1&-3&2\\1&2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\cdot 1&5\cdot (-3)&5\cdot 2\\5\cdot 1&5\cdot 2&5\cdot 7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&-15&10\\5&10&35\end{pmatrix}}}
= Perkalian matriks
=Matriks dapat dikalikan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.
c
i
j
=
∑
k
=
1
m
a
i
k
⋅
b
k
j
{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}\cdot b_{kj}}
Contoh perhitungan:
(
1
2
3
4
5
6
)
⋅
(
6
−
1
3
2
0
−
3
)
=
(
1
⋅
6
+
2
⋅
3
+
3
⋅
0
1
⋅
(
−
1
)
+
2
⋅
2
+
3
⋅
(
−
3
)
4
⋅
6
+
5
⋅
3
+
6
⋅
0
4
⋅
(
−
1
)
+
5
⋅
2
+
6
⋅
(
−
3
)
)
=
(
12
−
6
39
−
12
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}6&-1\\3&2\\0&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot 6+2\cdot 3+3\cdot 0&1\cdot (-1)+2\cdot 2+3\cdot (-3)\\4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 0&4\cdot (-1)+5\cdot 2+6\cdot (-3)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12&-6\\39&-12\end{pmatrix}}}
Sifat-sifat matriks
Sifat-sifat matriks sebagai berikut:
1.
A
+
B
=
B
+
A
{\displaystyle A+B=B+A}
2.
(
A
+
B
)
+
C
=
A
+
(
B
+
C
)
{\displaystyle (A+B)+C=A+(B+C)}
3.
k
(
A
B
)
=
(
k
A
)
B
{\displaystyle k(AB)=(kA)B}
4.
(
A
B
)
C
=
A
(
B
C
)
{\displaystyle (AB)C=A(BC)}
5.
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
{\displaystyle A(B+C)=AB+AC}
6.
(
A
+
B
)
C
=
A
C
+
B
C
{\displaystyle (A+B)C=AC+BC}
7.
A
B
≠
B
A
{\displaystyle AB\neq BA}
Untuk pembuktian sifat yang pertama, yaitu sifat komutatif pada pertambahan matriks, dapat dibuktikan dengan cara yang sederhana, kita asumsikan matriks
A
{\displaystyle A}
dan
B
{\displaystyle B}
secara berturut-turut sebagai
A
=
[
a
11
a
12
…
a
1
n
a
21
⋱
⋯
⋮
⋮
⋯
⋱
⋮
a
n
1
…
…
a
n
n
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&&a_{12}&&\dotsc &&a_{1n}\\a_{21}&&\ddots &&\cdots &&\vdots \\\vdots &&\cdots &&\ddots &&\vdots \\a_{n1}&&\dotsc &&\dotsc &&a_{nn}\end{bmatrix}}}
dan
B
=
[
b
11
b
12
…
b
1
n
b
21
⋱
⋯
⋮
⋮
⋯
⋱
⋮
b
n
1
…
…
b
n
n
]
{\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{11}&&b_{12}&&\dotsc &&b_{1n}\\b_{21}&&\ddots &&\cdots &&\vdots \\\vdots &&\cdots &&\ddots &&\vdots \\b_{n1}&&\dotsc &&\dotsc &&b_{nn}\end{bmatrix}}}
Hasil pertambahan dua matriks tersebut yaitu
A
+
B
=
[
a
11
+
b
11
a
12
+
b
12
…
a
1
n
+
b
1
n
a
21
+
b
21
⋱
⋯
⋮
⋮
⋯
⋱
⋮
a
n
1
+
b
n
1
…
…
a
n
n
+
b
n
n
]
{\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&&a_{12}+b_{12}&&\dotsc &&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&&\ddots &&\cdots &&\vdots \\\vdots &&\cdots &&\ddots &&\vdots \\a_{n1}+b_{n1}&&\dotsc &&\dotsc &&a_{nn}+b_{nn}\end{bmatrix}}}
Perhatikan bahwa, elemen-elemen pada hasil operasi pertamahan matriks tersebut tidak lain merupakan penjumlahan pada suatu bilangan dan berlaku sifat komutatif,
a
11
+
b
11
=
b
11
+
a
11
{\displaystyle a_{11}+b_{11}=b_{11}+a_{11}}
, dengan demikian dapat dituliskan sebagai
[
b
11
+
a
11
b
12
+
a
12
…
b
1
n
+
a
1
n
b
21
+
a
21
⋱
⋯
⋮
⋮
⋯
⋱
⋮
b
n
1
+
a
n
1
…
…
b
n
n
+
a
n
n
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}b_{11}+a_{11}&&b_{12}+a_{12}&&\dotsc &&b_{1n}+a_{1n}\\b_{21}+a_{21}&&\ddots &&\cdots &&\vdots \\\vdots &&\cdots &&\ddots &&\vdots \\b_{n1}+a_{n1}&&\dotsc &&\dotsc &&b_{nn}+a_{nn}\end{matrix}}\right]}
Bentuk di atas tidak lain adalah bentuk dari pertambahan
B
+
A
{\displaystyle B+A}
. Dengan cara yang sama, yaitu dengan memperhatikan setiap elemen pada hasil operasi matriks, dapat dibuktikan juga untuk sifat-sifat yang lain.
Persamaan linear
Matriks dapat digunakan untuk menuliskan dan mengerjakan beberapa persamaan linear sekaligus secara lebih ringkas. Persamaan-persamaan ini disebut sebagai sistem persamaan linear. Sebagai contoh, misalkan
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
adalah matriks berukuran
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
,
x
{\displaystyle {\textbf {x}}}
adalah suatu vektor kolom (yaitu, matriks
n
×
1
{\displaystyle n\times 1}
) dari
n
{\displaystyle n}
variabel
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
, dan
b
{\displaystyle {\textbf {b}}}
adalah vektor
m
×
1
{\displaystyle m\times 1}
, maka persamaan matriks
A
x
=
b
{\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }
setara dengan sistem persamaan linear
a
1
,
1
x
1
+
a
1
,
2
x
2
+
⋯
+
a
1
,
n
x
n
=
b
1
⋮
a
m
,
1
x
1
+
a
m
,
2
x
2
+
⋯
+
a
m
,
n
x
n
=
b
m
.
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+&\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\&\ \ \vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+&\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}.\end{aligned}}}
Dengan menggunakan matriks, sistem ini dapat diselesaikan secara lebih ringkas daripada yang mungkin dilakukan dengan menuliskan semua persamaan secara terpisah. Pada kasus ketika n = m dan semua persamaan bersifat independen (tidak dapat dinyatakan menggunakan persamaan-persamaan yang lain), solusi dari sistem persamaan dapat dituliskan sebagai
x
=
A
−
1
b
,
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} ,}
dengan
A
−
1
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}
merupakan matriks invers dari
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
. Namun jika
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
tidak memiliki invers, solusi dari sistem persamaan — jika ada — dapat ditemukan saat menggunakan invers umum.
Transformasi linear
Matriks dan operasi perkaliannya memiliki sifat penting dalam transformasi linear, yang juga dikenal sebagai peta linear. Matriks (real)
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
berukuran
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
dapat dianggap sebagai suatu transformasi linear dari ruang dimensi-n ke ruang dimensi-m, dengan bahasa lain,
R
n
→
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}
. Transformasi ini memetakan setiap vektor
x
{\displaystyle {\textbf {x}}}
dalam
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
ke sebuah vektor
Ax
{\displaystyle {\textbf {Ax}}}
yang terletak dalam
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
. Sebaliknya setiap transformasi linear
f
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}
dapat dianggap sebagai efek perkalian dengan suatu matriks
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
berukuran m×n. Secara eksplisit, entri ke-
(
i
,
j
)
{\displaystyle (i,\,j)}
dari matriks
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
adalah koordinat ke-i dari hasil pemetaan
f
(
e
j
)
{\displaystyle f({\textbf {e}}_{j})}
; vektor
e
j
=
(
0
,
…
,
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
{\displaystyle {\textbf {e}}_{j}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)}
adalah vektor satuan dengan nilai 1 pada koordinat ke-j dan bernilai 0 di koordinat-koordinat yang lain. Dari hubungan ini, matriks
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
adalah representasi (wakil) dari transformasi linear
f
{\displaystyle f}
, dan disebut sebagai matriks transformasi dari
f
{\displaystyle f}
.
Sebagai contoh, matriks persegi berukuran 2×2
A
=
[
a
c
b
d
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}
dapat dilihat sebagai fungsi yang mengubah persegi satuan menjadi suatu jajaran genjang dengan titik-titik sudut terletak di
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,\,0)}
,
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,\,b)}
,
(
a
+
c
,
b
+
d
)
{\displaystyle (a+c,\,b+d)}
, dan
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,\,d)}
. Jajar genjang yang digambarkan di sebelah kanan diperoleh masing-masing dari mengalikan
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
dengan vektor kolom
[
0
0
]
,
[
1
0
]
,
[
1
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}
, dan
[
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}
, secara berurutan. Vektor-vektor ini adalah lokasi titik-titik sudut dari persegi satuan.
Tabel berikut menunjukkan beberapa jenis transformasi linear di
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
dan matriks 2×2 dan mewakilinya . Setiap transformasi memetakan daerah asli yang berwarna biru menjadi daerah berwarna hijau. Titik asal
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,\,0)}
ditandai dengan titik berwarna hitam.
Karena korespodensi satu-satu antara matriks dan transformasi linear, operasi perkalian matriks berhubungan dengan operasi komposisi fungsi: jika suatu matriks
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
berukuran k×m mewakili suatu transformasi linear
g
:
R
m
→
R
k
{\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}}
, maka komposisi fungsi
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
dapat diwakili oleh perkalian matriks
B
A
{\displaystyle \mathbf {BA} }
karena
(
g
∘
f
)
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
=
g
(
A
x
)
=
B
(
A
x
)
=
(
B
A
)
x
.
{\displaystyle (g\circ f)(\mathbf {x} )=g(f(\mathbf {x} ))=g(\mathbf {Ax} )=\mathbf {B} (\mathbf {Ax} )=(\mathbf {BA} )x.}
Persamaan yang terakhir adalah hasil dari sifat asosiatif perkalian matriks.
Rank dari matriks
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
adalah banyak maksimum dari vektor-vektor baris matriks yang saling bebas linear, dan nilainya sama dengan banyak maksimum vektor-vektor kolom yang saling bebas linear. Nilai peringkat ini adalah dimensi dari citra transformasi linear yang diwakili oleh
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
. Teorema rank–nolitas menyatakan bahwa dimensi kernel dari sebuah matriks jika ditambah dengan rank dari matriks tersebut, akan sama dengan banyak kolom dari matriks tersebut.
Matriks persegi
Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama. Matriks berukuran
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
juga disebut sebagai matriks persegi berorde n. Dua matriks persegi dengan orde yang sama dapat ditambahkan maupun dikalikan. Entri-entri
a
i
i
{\displaystyle a_{ii}}
membentuk diagonal utama dari matriks persegi. Mereka terletak pada garis khayal yang membentang dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah matriks.
= Bentuk-bentuk umum
=Terdapat banyak macam matriks persegi. Sebagian besar dari mereka didefinisikan dari nilai entri-entri pada matriks, sedangkan yang lain didefinisikan dari sifat yang mereka lakukan atau penuhi. Berikut adalah penjelasan beberapa macam matriks persegi.
Matriks diagonal dan matriks segitiga
Jika semua entri matriks persegi
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
yang terletak di bawah diagonal utama bernilai nol,
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
disebut matriks segitiga atas. Demikian pula jika nilai semua entri
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
yang terletak di atas diagonal utama sama dengan nol,
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
disebut matriks segitiga bawah. Jika semua entri yang bukan diagonal utama adalah nol,
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
disebut matriks diagonal.
Matriks identitas dan matriks skalar
Matriks identitas
I
n
{\displaystyle \mathbf {I} _{n}}
berorde n adalah matriks berukuran
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
yang semua elemen diagonal utamanya bernilai 1 sedangkan elemen-elemen lain bernilai 0. Sebagai contoh,
I
1
=
[
1
]
,
I
2
=
[
1
0
0
1
]
,
…
,
I
n
=
[
1
0
⋯
0
0
1
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
1
]
{\displaystyle \mathbf {I} _{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ \mathbf {I} _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ \mathbf {I} _{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}
Matriks ini dinamakan identitas karena tidak mengubah matriks lain ketika dikalikan:
A
I
n
=
I
m
A
=
A
{\displaystyle \mathbf {AI} _{n}=\mathbf {I} _{m}\mathbf {A} =\mathbf {A} }
untuk sembarang matriks
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
berukuran
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
. Matriks ini adalah bentuk khusus dari matriks diagonal. Matriks berupa kelipatan skalar dari matriks identitas disebut matriks skalar. Jika entri-entri matriks identitas diambil dari suatu medan, matriks skalar akan membentuk suatu grup terhadap perkalian matriks, dan isomorfik ke grup multiplikatif dari elemen-elemen tak nol dari medan tersebut.
Matriks simetrik dan variasinya
Matriks persegi
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
yang sama dengan hasil transpos-nya, yakni matriks yang memenuhi
A
=
A
T
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}
, disebut sebagai matriks simetrik. Sedangkan matriks persegi yang sama dengan negatif dari hasil transposnya, yakni
A
=
−
A
T
{\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}
, disebut matriks simetrik serong (skew symetric matrix). Pada matriks dengan entri-entri bilangan kompleks, konsep simetri sering digantikan dengan konsep matriks Hermite. Matriks ini adalah matriks yang memenuhi
A
=
A
∗
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{*}}
, dengan asteris (tanda bintang) menyatakan transpos konjugat dari matriks. Berdasarkan teorema spektral, matriks simetrik real dan matriks Hermite kompleks memiliki basis eigen; artinya setiap vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor eigen. Pada kedua jenis matriks, semua nilai eigennya berupa bilangan real. Teorema tersebut dapat diperumum untuk situasi matriks yang memiliki tak hingga banyak kolom dan baris.
Matriks terbalikkan dan inversnya
Matriks persegi
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
disebut terbalikkan, nonsingular, atau invertibel, jika ada suatu matriks
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
yang memenuhi persamaan
A
B
=
B
A
=
I
n
,
{\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n},}
dengan
I
n
{\displaystyle \mathbf {I} _{n}}
merupakan matriks identitas yang berukuran sama dengan
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
. Jika matriks
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
ada, matriks ini unik dan disebut sebagai matriks invers dari
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
dan dinotasikan sebagai
A
−
1
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}
.
Penerapan
Terdapat banyak contoh penerapan dari matriks, baik dalam matematika maupun pada bidang-bidang ilmu lainnya. Sebagian dari mereka hanya menggunakannya untuk mendapatkan bentuk susunan bilangan-bilangan yang lebih ringkas. Sebagai contoh, dalam teori permainan dan ekonomi, matriks imbalan merangkum semua imbalan yang dapat diperoleh dua pemain, tergantung pada himpunan (hingga) pilihan alternatif yang dapat dipilih masing-masing pemain. Proses penambangan teks dan proses mengompilasi tesaurus menggunakan matriks khusus seperti TF-IDF untuk mencatat frekuensi kemunculan kata-kata tertentu pada beberapa dokumen.
Matriks juga dapat digunakan untuk merepresentasikan bilangan kompleks, yakni lewat hubungan
a
+
i
b
↔
[
a
−
b
b
a
]
,
{\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},}
dengan a dan b keduanya berupa bilangan real non-negatif. Hubungan ini memberikan cara pandang untuk melihat operasi perkalian dan penjumlahan pada matriks maupun pada bilangan kompleks. Sebagai contoh, perkalian dengan suatu matriks rotasi 2×2 merepresentasikan suatu perkalian dengan bilangan kompleks dengan modulus 1. Hubungan yang mirip juga didapatkan untuk kuartenion.
Teknik-teknik enkripsi masa awal seperti sandi Hill juga menggunakan matriks. Malangnya, karena sifat kelinearan matriks, kode yang dihasilkan mudah diretas. Grafika komputer menggunakan matriks untuk merepresentasikan dan mentransformasi objek-objek, contohnya ketika memproyeksikan benda 3D ke layar 2D. Ilmu kimia menggunakan matriks dalam banyak cara, khususnya sejak teori kuantum digunakan untuk menjelaskan ikatan kimia dan spektroskopi. Beberapa contoh matriks yang dipakai adalah matriks overlap dan matriks Fock yang digunakan dalam persamaan Roothaan untuk mendapatkan orbital molekul dari metode Hartree-Fock.
Lihat pula
Aljabar linear
Referensi
Bacaan lebih lanjut
Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-504-1. (Indonesia)
Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-567-X. (Indonesia)
Pranala luar
Artikel ensiklopedia
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Sejarah
MacTutor: Matrices and determinants Diarsipkan 2015-03-08 di Wayback Machine.
Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors
Buku daring
Kaw, Autar K., Introduction to Matrix Algebra, ISBN 978-0-615-25126-4
The Matrix Cookbook (PDF), diakses tanggal 24 March 2014
Brookes, Mike (2005), The Matrix Reference Manual, London: Imperial College, diakses tanggal 10 Dec 2008
Kalkulator matriks daring
matrixcalc (Matrix Calculator)
SimplyMath (Matrix Calculator)
Free C++ Library
Matrix Calculator (DotNumerics)
Xiao, Gang, Matrix calculator, diakses tanggal 10 Dec 2008
Online matrix calculator, diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-12-12, diakses tanggal 10 Dec 2008
Online matrix calculator (ZK framework), diarsipkan dari versi asli tanggal 2013-05-12, diakses tanggal 26 Nov 2009
Oehlert, Gary W.; Bingham, Christopher, MacAnova, University of Minnesota, School of Statistics, diakses tanggal 10 Dec 2008 , a freeware package for matrix algebra and statistics
Online matrix calculator, diakses tanggal 14 Dec 2009
Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)
Matrix operations widget in Wolfram|Alpha
Kata Kunci Pencarian:
- Matriks (matematika)
- Matematika
- Perkalian matriks
- Matriks identitas
- Matriks
- Limit (matematika)
- Faktorisasi
- Matriks persegi
- Determinan
- Daftar matriks yang dinamakan
