- Source: Perpangkatan bilangan dua
Perpangkatan bilangan dua, (atau perpangkatan angka dua, perpangkatan nilai dua) adalah bilangan dengan basis adalah 2 dan
n
{\displaystyle n}
adalah bilangan bulat.
Ketika
n
{\displaystyle n}
adalah bilangan bulat taknegatif ― dengan kata lain, bilangan cacah ― maka perpangkatan bilangan dua merupakan bilangan basis 2 yang dikali sebanyak
n
{\displaystyle n}
kali.
2
×
⋯
×
2
⏟
n
=
2
n
{\displaystyle {\underset {n}{\underbrace {2\times \cdots \times 2} }}=2^{n}}
.
Tabel nilai
Tabel berikut merupakan nilai-nilai perpangkatan bilangan dua, untuk
n
{\displaystyle n}
adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 22.
Tabel berikut juga merupakan nilai-nilai bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua, untuk
n
{\displaystyle n}
adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 8.
Dalam aljabar
= Segitiga Pascal
=Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan segitiga Pascal. Pada barisan pertama, jumlah bilangannya adalah
1
{\displaystyle 1}
yang sama saja dengan
2
0
{\displaystyle 2^{0}}
. Lalu dilanjutkan pada barisan kedua, jumlah bilangannya adalah
1
+
1
=
2
=
2
1
{\displaystyle 1+1=2=2^{1}}
. Ini terus berlanjut hingga memperoleh pola untuk
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
, yaitu:
2
n
=
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
⋯
+
(
n
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
{\displaystyle 2^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+\dots +{\binom {n}{n}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}}
.
Dalam teori bilangan
= Sistem bilangan biner
=Perpangkatan bilangan dua dapat dipakai dalam sistem bilangan biner, yakni sistem bilangan yang terdiri dari digit "0" dan "1". Contoh hubungan sistem bilangan biner dengan Perpangkatan bilangan dua dapat dilihat di tabel bawah ini.
Seperti yang dilihat, jumlah digit dalam bilangan biner bergantung pada nilai
n
{\displaystyle n}
. Contohnya,
2
1
{\displaystyle 2^{1}}
dikonversikan menjadi
10
{\displaystyle 10}
dalam bilangan biner, dengan jumlah digit 0 adalah 1.
2
2
{\displaystyle 2^{2}}
dikonversikan menjadi
100
{\displaystyle 100}
, dengan jumlah digit 0 adalah 2. Hal ini terus berlanjut untuk
n
{\displaystyle n}
bilangan bulat taknegatif.
= Bilangan Mersenne
=Perpangkatan bilangan dua dapat diterapkan pada bilangan Mersenne, dengan bentuk
M
n
≡
2
n
−
1
{\displaystyle M_{n}\equiv 2^{n}-1}
. Jika
n
=
p
{\displaystyle n=p}
(dimana
p
{\displaystyle p}
bilangan prima), maka bilangan tersebut merupakan bilangan prima Mersenne, yakni
M
p
=
2
p
−
1
{\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}
.
Bilangan prima terbesar yang diketahui
Saat ini, bilangan prima terbesar yang diketahui ditemukan oleh Great Internet Mersenne Prime Search (atau diabreviasikan sebagai GIMPS) merupakan bilangan prima yang terdiri dari 24.862.048 digit, yakni
2
82.589.933
−
1
{\displaystyle 2^{82.589.933}-1}
. Bilangan prima tersebut ditemukan pada September 2021.
Dalam teori himpunan
= Himpunan kuasa
=Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan himpunan kuasa
S
{\displaystyle S}
(dinotasikan
℘
(
S
)
{\displaystyle \wp (S)}
), yaitu himpunan yang anggotanya merupakan subhimpunan
S
{\displaystyle S}
dengan banyak anggota himpunan kuasa
S
{\displaystyle S}
sama dengan dua dipangkatkan dengan jumlah anggota
S
{\displaystyle S}
. Ini dituliskan secara matematis:
℘
(
S
)
=
2
n
(
S
)
{\displaystyle \wp (S)=2^{n(S)}}
.
= Hipotesis kontinum
=Dalam teori himpunan, hipotesis kontinum merupakan hipotesis yang dinyatakan dalam sebuah persamaan bilangan alef.
2
ℵ
0
=
ℵ
1
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}
.
Kaitan dengan masalah yang belum terpecahkan
= Barisan keirasionalan
=Perpangkatan bilangan dua juga berkaitan dengan masalah yang belum terpecahkan. Contohnya, bilangan
2
2
n
{\displaystyle 2^{2^{n}}}
membentuk barisan keirasionalan, lihat tabel bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua. Maka, untuk setiap barisan bilangan bulat positif
x
i
{\displaystyle x_{i}}
, deret
∑
i
=
0
∞
1
2
2
i
x
i
{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}}
konvergen menuju bilangan irasional. Karena
2
2
n
{\displaystyle 2^{2^{n}}}
merupakan barisan dengan pertumbuhan tercepat, deret tersebut merupakan barisan keirasionalan dengan pertumbuhan terlambat yang diketahui.
Lihat pula
Perpangkatan bilangan 10
Perpangkatan bilangan tiga
Catatan kaki dan rujukan
= Catatan kaki
== Rujukan
== OEIS
=Kata Kunci Pencarian:
- Perpangkatan bilangan dua
- Pangkat dua
- Perpangkatan bilangan 10
- Bilangan
- 0 (angka)
- Bilangan prima
- Pangkat tiga
- Barisan Fibonacci
- Sistem bilangan biner
- 2 (angka)
