- Source: Subgrup Fitting
Dalam matematika, terutama di bidang aljabar yang dikenal sebagai teori grup, Subgrup pas F dari grup terbatas G , dinamai Hans Fitting, adalah normal terbesar unik nilpoten subgrup dari G. Secara intuitif, ini mewakili subgrup terkecil yang "mengontrol" struktur G ketika G adalah larut. Ketika G tidak dapat dipecahkan, peran serupa dimainkan oleh Subgrup Fitting umum F*, yang dihasilkan oleh subgrup Pemasangan dan komponen dari G .
Untuk grup G yang diubah (tidak harus hingga), subgrup Fitting didefinisikan sebagai subgrup yang dihasilkan oleh subgrup normal nilpoten dari G . Untuk grup tak hingga, subgrup Fitting tidak selalu nilpoten.
Sisa artikel ini membahas secara eksklusif dengan grup hingga.
Subgrup Fitting
nilpotensi dari subgrup Fitting dari grup berhingga dijamin oleh Teorema Fitting yang menyatakan bahwa produk dari kumpulan hingga subkelompok nilpoten normal dari G lagi merupakan subgrup nilpoten normal. Ini juga dapat secara eksplisit dibangun sebagai produk dari p-inti dari G atas semua bilangan prima p membagi urutan G .
Jika G adalah grup solvable non-trivial berhingga maka subgrup Fitting selalu non-trivial, yaitu jika G≠1 adalah solvabel hingga, maka F(G)≠1. Demikian pula subgrup Pemasangan G/F(G) Akan menjadi tidak sepele jika G itu sendiri tidak nilpoten, sehingga memunculkan konsep panjang Fitting. Karena subkelompok Fitting dari kelompok solvabel terbatas berisi pemusat sendiri, ini memberikan metode untuk memahami grup yang dapat dipecahkan hingga sebagai ekstensi dari grup nilpoten dengan setia grup automorfisme dari subgrup.
Dalam grup nilpoten, setiap Faktor utama dipusatkan oleh setiap elemen. Sedikit melonggarkan kondisi, dan mengambil subkelompok elemen dari grup terbatas umum yang memusatkan setiap faktor utama, seseorang hanya mendapatkan subgrup (Huppert 1967, Kap.VI, Satz 5.4, p.686):
Fit
(
G
)
=
⋂
{
C
G
(
H
/
K
)
:
H
/
K
a chief factor of
G
}
.
{\displaystyle \operatorname {Fit} (G)=\bigcap \{C_{G}(H/K):H/K{\text{ a chief factor of }}G\}.}
Generalisasi untuk grup p - nilpoten serupa.
Subgrup Fitting umum
Komponen dari sebuah grup adalah subgrup subnormal kuasi sederhana. (Grup adalah kuasi sederhana jika itu adalah sempurna ekstensi pusat dari grup sederhana.) Lapisan E(G) atau L(G) grup adalah subgrup yang dihasilkan oleh semua komponen. Setiap dua komponen perjalanan grup, jadi lapisan adalah ekstensi pusat yang sempurna dari produk grup sederhana, dan merupakan subgrup normal terbesar G dengan struktur ini. Subgrup Fitting umum F*(G) adalah subgrup yang dihasilkan oleh lapisan dan subgrup Pemasangan. Layer tersebut berpindah-pindah dengan subgrup Fitting, sehingga subgrup Fitting umum adalah perluasan pusat dari produk p -grup dan grup sederhana.
Layer juga merupakan subgrup semisimple normal maksimal, di mana sebuah grup disebut semi sederhana jika itu adalah perluasan pusat yang sempurna dari produk grup sederhana.
Definisi subgrup Fitting umum ini dapat dimotivasi oleh beberapa tujuan penggunaannya. Pertimbangkan masalah mencoba mengidentifikasi subgrup normal H dari G yang berisi pemusatnya sendiri dan grup Fitting. Jika C adalah pemusat dari H kami ingin membuktikan bahwa C terkandung dalam H . Jika tidak, pilih subgrup karakteristik minimal M/Z(H) dari C/Z(H), dimana Z(H) adalah pusat H , yang sama dengan persimpangan C dan H . Kemudian M/Z(H) adalah produk dari sederhana atau grup siklik karena karakteristiknya sederhana. Jika M/Z(H) adalah produk dari grup siklik, maka M harus ada di subgrup Fitting. Jika M/Z(H) adalah produk dari kelompok sederhana non-abelian maka subkelompok turunan dari M adalah pemetaan subgrup semi sederhana normal pada M/Z(H). Jadi jika H berisi subgrup Fitting dan semua subgrup semisederhana normal, maka M/Z(H) pasti sepele, jadi H berisi pemusatnya sendiri. Subgrup Fitting umum adalah subgrup terkecil yang berisi subgrup Fitting dan semua subgrup semi sederhana normal.
Subgrup Fitting umum juga dapat dipandang sebagai pemusat umum dari faktor-faktor utama. Sebuah kelompok semisimple nonabelian tidak dapat memusatkan dirinya sendiri, tetapi ia bertindak sebagai automorfisme batin. A kelompok dikatakan kuasi-nilpoten jika setiap elemen bertindak sebagai automorfisme batin pada setiap faktor utama. Subgrup Fitting umum adalah subkelompok kuasi-nilpoten subnormal terbesar yang unik, dan sama dengan himpunan semua elemen yang bertindak sebagai automorfisme dalam pada setiap faktor utama dari keseluruhan(Huppert & Blackburn 1982, Chapter X, Theorem 5.4, p. 126):
Fit
∗
(
G
)
=
⋂
{
H
C
G
(
H
/
K
)
:
H
/
K
faktor utama
G
}
.
{\displaystyle \operatorname {Fit} ^{*}(G)=\bigcap \{HC_{G}(H/K):H/K{\text{ faktor utama }}G\}.}
Di sini elemen g ada HCG(H/K) jika dan hanya jika ada beberapa h di H sehingga untuk setiap x pada H , xg ≡ xh mod K.
Sifat
Jika G adalah grup yang dapat diselesaikan hingga, maka subgrup Fitting berisi pemusatnya sendiri. Pemusat dari subkelompok Pemasangan adalah pusat dari subkelompok Pemasangan. Dalam hal ini, subgrup Fitting umum sama dengan subgrup Fitting. Secara lebih umum, jika G adalah grup hingga, maka subgrup Fitting umum berisi pemusatnya sendiri. Ini berarti bahwa dalam beberapa hal subgrup Fitting umum mengontrol G , karena G modulo pemusat F*(G) terkandung dalam grup automorfisme F*(G), dan pemusat F*(G) terkandung dalam F*(G). Secara khusus hanya ada sejumlah terbatas grup dengan subgrup Fitting umum tertentu.
Aplikasi
Penormal dari nontrivial p - subkelompok dari grup terbatas disebut subgrup p lokal dan menggunakan banyak kontrol atas struktur grup (mengizinkan apa yang disebut analisis lokal). Grup berhingga dikatakan dari karakteristik tipe jika F*(G) adalah grup p untuk setiap subgrup p lokal, karena grup tipe Lie yang ditentukan di atas bidang karakteristik p memiliki properti ini. Dalam klasifikasi grup sederhana hingga, ini memungkinkan seseorang untuk menebak bidang mana yang harus ditentukan grup sederhana. Perhatikan bahwa beberapa grup memiliki tipe karakteristik p untuk lebih dari satu p .
Jika grup sederhana bukan tipe Lie di atas bidang dengan karakteristik p , lalu p subgrup lokal biasanya memiliki komponen dalam subgrup Fitting umum, meskipun ada banyak pengecualian untuk grup yang memiliki rank kecil, didefinisikan di atas bidang kecil, atau sporadis. Ini digunakan untuk mengklasifikasikan grup terbatas hingga, karena jika subgrup p lokal memiliki komponen yang diketahui, sering kali mungkin untuk mengidentifikasi keseluruhan grup (Aschbacher & Seitz 1976).
Analisis grup sederhana hingga dengan menggunakan struktur dan embedding subkelompok Fitting umum dari subkelompok maksimal mereka berasal dari Helmut Bender (Bender 1970) dan kemudian dikenal sebagai Metode Bender. Ini sangat efektif dalam kasus luar biasa di mana komponen atau fungsi pemberi sinyal tidak dapat diterapkan.
Referensi
Aschbacher, Michael (2000), Finite Group Theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78675-1
Aschbacher, Michael; Seitz, Gary M. (1976), "On groups with a standard component of known type", Osaka J. Math., 13 (3): 439–482
Bender, Helmut (1970), "On groups with abelian Sylow 2-subgroups", Mathematische Zeitschrift, 117: 164–176, doi:10.1007/BF01109839, ISSN 0025-5874, MR 0288180
Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (dalam bahasa German), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-03825-2, MR 0224703, OCLC 527050 Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)
Huppert, Bertram; Blackburn, Norman (1982), Finite groups. III., Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 243, Berlin-New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-10633-2, MR 0650245
