- Source: Teorema Gisin-Hughston-Jozsa-Wootters
Dalam teori informasi kuantum dan optik kuantum, teorema Gisin-Hughston-Jozsa-Wootters (GHJW) adalah hasil tentang realisasi keadaan campuran dari sistem kuantum sebagai ansambel keadaan kuantum murni dan hubungan antara pemurnian yang sesuai dari kepadatan operator. Teorema ini dinamai berdasarkan fisikawan dan matematikawan Nicolas Gisin,Lane P. Hughston, Richard Jozsa dan William Wootters.
Pemurnian keadaan kuantum campuran
Pertimbangkan keadaan campuran
ρ
=
∑
i
p
i
|
ϕ
i
⟩
⟨
ϕ
i
|
{\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}
dari sistem
S
{\displaystyle S}
, di mana status
|
ϕ
i
⟩
{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }
rangle tidak dianggap saling ortogonal. Kita dapat menambahkan ruang bantu
H
A
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}
dengan basis ortonormal
{
|
a
i
⟩
}
{\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}}
, maka keadaan campuran dapat diperoleh sebagai operator densitas yang dikurangi dari keadaan bipartit murni
|
Ψ
S
A
⟩
=
∑
i
p
i
|
ϕ
i
⟩
|
a
i
⟩
.
{\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle |a_{i}\rangle .}
Status
ρ
=
T
r
A
|
Ψ
S
A
⟩
⟨
Ψ
S
A
|
{\displaystyle \rho =\mathrm {Tr} _{A}|\Psi _{SA}\rangle \langle \Psi _{SA}|}
dengan demikian disebut pemurnian
ρ
{\displaystyle \rho }
. Karena ruang bantu dan dasar dapat dipilih secara acak, pemurnian suatu keadaan campuran tidak unik, pada kenyataannya, ada banyak pemurnian tak terhingga dari keadaan campuran yang diberikan.
Detail teorema Gisin-Hughston-Jozsa-Wootters (GHJW)
Pertimbangkan keadaan kuantum campuran
r
h
o
{\displaystyle \ rho}
dengan dua realisasi berbeda sebagai ansambel kondisi murni sebagai
r
h
o
=
s
u
m
i
p
i
|
p
h
i
i
r
a
n
g
l
e
l
a
n
g
l
e
p
h
i
i
|
{\displaystyle \ rho=\ sum_{i}p_{i}|\ phi_{i}\ rangle\ langle\ phi_{i}|}
dan
r
h
o
=
s
u
m
j
q
j
|
v
a
r
p
h
i
j
r
a
n
g
l
e
l
a
n
g
l
e
v
a
r
p
h
i
j
|
{\displaystyle \ rho=\ sum_{j}q_{j}|\ varphi_{j}\ rangle\ langle\ varphi_{j}|}
, perhatikan bahwa di sini
|
p
h
i
i
r
a
n
g
l
e
{\displaystyle |\ phi_{i}\ rangle}
dan
|
v
a
r
p
h
i
j
r
a
n
g
l
e
{\displaystyle |\ varphi_{j}\ rangle}
tidak dianggap saling ortogonal. Akan ada dua pemurnian terkait dari keadaan campuran
r
h
o
{\displaystyle \ rho}
Pemurnian 1:
|
P
s
i
S
A
1
r
a
n
g
l
e
=
s
u
m
i
s
q
r
t
p
i
|
p
h
i
i
r
a
n
g
l
e
|
a
i
r
a
n
g
l
e
{\displaystyle |\ Psi_{SA}^{1}\ rangle=\ sum_{i}\ sqrt{p_{i}}|\ phi_{i}\ rangle|a_{i}\ rangle}
;
Pemurnian 2:
|
P
s
i
S
A
2
r
a
n
g
l
e
=
s
u
m
j
s
q
r
t
q
j
|
v
a
r
p
h
i
j
r
a
n
g
l
e
|
b
j
r
a
n
g
l
e
{\displaystyle |\ Psi_{SA}^{2}\ rangle=\ sum_{j}\ sqrt{q_{j}}|\ varphi_{j}\ rangle|b_{j}\ rangle}
;
di mana
{
|
a
i
⟩
}
{\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}}
dan
{
|
b
j
⟩
}
{\displaystyle \{|b_{j}\rangle \}}
adalah dua kumpulan basis ortonormal dari ruang bantu masing-masing. Wajar untuk bertanya apa hubungan antara kedua pemurnian ini. Jawabannya adalah bahwa mereka hanya berbeda dengan transformasi kesatuan yang bekerja pada ruang bantu, yaitu, ada matriks kesatuan
U
A
{\displaystyle U_{A}}
sehingga
|
P
s
i
S
A
1
r
a
n
g
l
e
=
I
o
t
i
m
e
s
U
A
|
P
s
i
S
A
2
r
a
n
g
l
e
{\displaystyle |\ Psi_{SA}^{1}\ rangle=I\ otimesU_{A}|\ Psi_{SA}^{2}\ rangle}
. Karenanya,
|
P
s
i
S
A
1
r
a
n
g
l
e
=
s
u
m
j
s
q
r
t
q
j
|
v
a
r
p
h
i
i
r
a
n
g
l
e
o
t
i
m
e
s
U
A
|
b
j
r
a
n
g
l
e
{\displaystyle |\ Psi_{SA}^{1}\ rangle=\ sum_{j}\ sqrt{q_{j}}|\ varphi_{i}\ rangle\ otimesU_{A}|b_{j}\ rangle}
, di mana berarti kita dapat mewujudkan ansambel berbeda dari keadaan campuran hanya dengan memilih untuk mengukur berbagai barang yang dapat diamati dari satu diberikan pemurnian, hasil ini dikenal sebagai teorema GHJW.
