7.478
7.497
6.123
7.719
6.502
7.942
7.2
8.166
6.75
8.488
8.474
8.375
6.131
6.651
7
Bagian dalam (topologi) GudangMovies21 Rebahinxxi LK21
Dalam matematika, terutama dalam topologi, bagian dalam (atau interior) dari suatu himpunan bagian
H
{\displaystyle H}
pada ruang topologis
X
{\displaystyle X}
adalah gabungan dari semua himpunan bagian dari
H
{\displaystyle H}
yang terbuka pada
X
{\displaystyle X}
. Suatu titik yang berada pada interior dari
H
{\displaystyle H}
disebut sebagai titik interior (atau titik dalam) dari
H
{\displaystyle H}
.
Interior dari
H
{\displaystyle H}
merupakan komplemen dari penutup komplemen dari
H
{\displaystyle H}
. Melalui hal ini, interior dan penutup merupakan konsep yang dual.
Bagian luar (atau eksterior) dari himpunan
H
{\displaystyle H}
adalah komplemen dari penutup
H
{\displaystyle H}
, yaitu himpunan titik-titik yang tidak berada pada himpunan tersebut, maupun pada batas himpunannya. Interior, batas, dan eksterior dari suatu himpunan bagian bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya kosong).
Interior dan eksterior dari suatu kurva tertutup adalah konsep yang sedikit berbeda; lihat teorema kurva Jordan.
Definisi
= Titik interior
=
Jika
H
{\displaystyle H}
merupakan himpunan bagian dari ruang Euklides, maka
x
{\displaystyle x}
dikatakan sebagai titik interior dari
H
{\displaystyle H}
jika terdapat bola terbuka yang berpusat pada
x
{\displaystyle x}
dan termuat sepenuhnya pada
H
{\displaystyle H}
. Ilustrasinya dapat dilihat pada bagian pendahuluan dari artikel ini.
Definisi ini dapat diperumum untuk sembarang himpunan bagian
H
{\displaystyle H}
pada suatu ruang metrik
X
{\displaystyle X}
dengan metrik
d
{\displaystyle d}
. Titik
x
{\displaystyle x}
dikatakan sebagai titik interior jika terdapat suatu bilangan riil
r
>
0
{\displaystyle r>0}
sedemikian sehingga
a
∈
H
{\displaystyle a\in H}
ketika jarak
d
(
x
,
a
)
<
r
{\displaystyle d(x,\,a)
.
Definisi ini dapat diperumum untuk ruang topologis dengan mengganti "bola terbuka" menjadi "himpunan terbuka". Jika
H
{\displaystyle H}
merupakan himpunan bagian dari ruang topologis
X
{\displaystyle X}
, maka
x
{\displaystyle x}
dikatakan sebagai titik interior dari
H
{\displaystyle H}
pada
X
{\displaystyle X}
jika
x
{\displaystyle x}
termuat pada suatu himpunan terbuka dari
X
{\displaystyle X}
yang seluruhnya termuat pada
H
{\displaystyle H}
. Secara ekuivalen,
x
{\displaystyle x}
adalah titik interior dari
H
{\displaystyle H}
jika
H
{\displaystyle H}
merupakan persekitaran dari
x
{\displaystyle x}
.
= Interior dari suatu himpunan
=
Interior dari himpunan bagian
H
{\displaystyle H}
pada suatu ruang topologis
X
{\displaystyle X}
, ditulis sebagai
int
X
H
{\displaystyle \operatorname {int} _{X}H}
atau
int
H
{\displaystyle \operatorname {int} H}
atau
H
∘
{\displaystyle H^{\circ }}
, dapat didefinisikan melalui beberapa cara yang ekuivalen, diantaranya:
int
H
{\displaystyle \operatorname {int} H}
adalah himpunan bagian terbuka terbesar dari
X
{\displaystyle X}
yang termuat pada
H
{\displaystyle H}
.
int
H
{\displaystyle \operatorname {int} H}
adalah gabungan semua himpunan bagian terbuka dari
X
{\displaystyle X}
yang termuat pada
H
{\displaystyle H}
.
int
H
{\displaystyle \operatorname {int} H}
adalah himpunan semua titik interior dari
H
{\displaystyle H}
.
Jika ruang
X
{\displaystyle X}
dapat dipahami dari konteks yang diberikan sebelumnya, notasi yang lebih pendek
int
H
{\displaystyle \operatorname {int} H}
lebih diminati daripada
int
X
H
{\displaystyle \operatorname {int} _{X}H}
.
= Contoh
=
Dalam setiap ruang, interior dari himpunan kosong ialah himpunan kosong.
Dalam setiap ruang
X
{\displaystyle X}
, jika
H
⊆
X
{\displaystyle H\subseteq X}
, maka
int
H
⊆
H
{\displaystyle \operatorname {int} H\subseteq H}
.
Jika
X
=
{\displaystyle X=}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(dengan topologi baku), maka
int
(
[
0
,
1
]
)
=
(
0
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left(0,\,1\right)}
sedangkan interior dari himpunan bilangan rasional merupakan himpunan kosong. Secara simbolis, maka
int
Q
=
∅
{\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing }
.
Jika
X
=
{\displaystyle X=}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, maka
int
(
{
z
∈
C
:
|
z
|
≤
1
}
)
=
{
z
∈
C
:
|
z
|
<
1
}
{\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|\leq 1\right\}\right)=\left\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|<1\right\}}
.
Dalam setiap ruang Euklides, interior dari sembarang himpunan hingga merupakan himpunan kosong.
Dalam himpunan semua bilangan riil, dapat digunakan beberapa topologi lain (selain topologi baku), diantaranya:
Jika digunakan topologi limit bawah, maka
int
(
[
0
,
1
]
)
=
[
0
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left[0,\,1\right)}
.
Jika digunakan topologi yang setiap himpunan bersifat terbuka, maka
int
(
[
0
,
1
]
)
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left[0,\,1\right]}
.
Jika digunakan topologi dimana himpunan yang bersifat terbuka hanyalah himpunan kosong dan
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
itu sendiri, maka
int
(
[
0
,
1
]
)
=
∅
{\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\varnothing }
.
Contoh-contoh di atas menunjukkan bahwa interior dari suatu himpunan bergantung pada topologi dari ruang yang mendasarinya. Dua contoh terakhir merupakan kasus khusus dari teorema berikut:
Dalam setiap ruang diskret, setiap himpunan sama dengan interiornya, sebab setiap himpunan bersifat terbuka.
Dalam setiap ruang takdiskret
X
{\displaystyle X}
, oleh karena himpunan yang bersifat terbuka hanyalah
∅
{\displaystyle \varnothing }
dan
X
{\displaystyle X}
itu sendiri, maka
int
X
=
X
{\displaystyle \operatorname {int} X=X}
dan untuk sembarang
H
⊂
X
{\displaystyle H\subset X}
, maka
int
H
=
∅
{\displaystyle \operatorname {int} H=\varnothing }
.
= Sifat-sifat
=
Diberikan suatu ruang topologis
(
X
,
T
)
{\displaystyle \left(X,\,T\right)}
. Diambil sembarang
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
dan
B
⊆
X
{\displaystyle B\subseteq X}
.
int
A
{\displaystyle \operatorname {int} A}
merupakan himpunan terbuka pada
X
{\displaystyle X}
.
Jika
A
{\displaystyle A}
terbuka pada
X
{\displaystyle X}
, maka
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
jika dan hanya jika
A
⊆
int
B
{\displaystyle A\subseteq \operatorname {int} B}
.
int
A
{\displaystyle \operatorname {int} A}
merupakan himpunan bagian terbuka dari
A
{\displaystyle A}
ketika
A
{\displaystyle A}
diberikan topologi subruang.
A
{\displaystyle A}
merupakan himpunan bagian terbuka dari
X
{\displaystyle X}
jika dan hanya jika
A
=
int
A
{\displaystyle A=\operatorname {int} A}
.
Intensif:
int
H
⊆
H
{\displaystyle \operatorname {int} H\subseteq H}
.
Idempoten:
int
(
int
A
)
=
int
A
{\displaystyle \operatorname {int} \left(\operatorname {int} A\right)=\operatorname {int} A}
.
Mengawetkan / mendistribusikan operasi irisan:
int
(
A
∩
B
)
=
(
int
A
)
∩
(
int
B
)
{\displaystyle \operatorname {int} (A\cap B)=(\operatorname {int} A)\cap (\operatorname {int} B)}
. Operator interior secara umum tidak mendistribusikan operasi gabungan, sebab hanya terjamin relasi
int
(
A
∪
B
)
⊇
(
int
A
)
∪
(
int
B
)
{\displaystyle \operatorname {int} (A\cup B)\supseteq (\operatorname {int} A)\cup (\operatorname {int} B)}
dan kesamaan mungkin saja tidak berlaku. Sebagai contoh, jika
X
=
R
{\displaystyle X=\mathbb {R} }
,
A
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle A=\left[0,\,1\right]}
, dan
B
=
(
1
,
2
)
{\displaystyle B=\left(1,\,2\right)}
, maka
(
int
A
)
∪
(
int
B
)
=
(
0
,
1
)
∪
(
1
,
2
)
⊂
(
0
,
2
)
=
int
(
A
∪
B
)
{\displaystyle (\operatorname {int} A)\cup (\operatorname {int} B)=\left(0,\,1\right)\cup \left(1,\,2\right)\subset \left(0,\,2\right)=\operatorname {int} (A\cup B)}
Monoton tak turun terhadap
⊆
{\displaystyle \subseteq }
: Jika
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
, maka
int
A
⊆
int
B
{\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {int} B}
.
Sifat lainnya antara lain:
Jika
A
{\displaystyle A}
tertutup dan
int
B
=
∅
{\displaystyle \operatorname {int} B=\varnothing }
, maka
int
(
A
∪
B
)
=
int
A
{\displaystyle \operatorname {int} (A\cup B)=\operatorname {int} A}
.
= Hubungan dengan penutup
=
Pernyataan-pernyataan di atas akan tetap bernilai benar jika semua simbol/kata
"interior", "int", "terbuka", "himpunan bagian", dan "terbesar"
berturut-turut diganti dengan
"penutup", "cl", "tertutup", "superhimpunan", dan "terkecil"
dan simbol-simbol berikut ditukar:
⊆
{\displaystyle \subseteq }
ditukar dengan
⊇
{\displaystyle \supseteq }
∪
{\displaystyle \cup }
ditukar dengan
∩
{\displaystyle \cap }
Untuk lebih lengkapnya, lihat bagian operator interior di bawah atau artikel aksioma penutup Kuratowski.
Operator interior
Operator interior
int
X
{\displaystyle \operatorname {int} _{X}}
merupakan dual dari operator penutup, yang ditulis sebagai
cl
X
{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}
atau dengan garis atas —, dalam artian bahwa
int
X
H
=
(
H
c
¯
)
c
{\displaystyle \operatorname {int} _{X}H=\left({\overline {H^{\mathsf {c}}}}\right)^{\mathsf {c}}}
dan juga
H
¯
=
(
int
X
(
H
c
)
)
c
{\displaystyle {\overline {H}}=\left(\operatorname {int} _{X}(H^{\mathsf {c}})\right)^{\mathsf {c}}}
dengan
X
{\displaystyle X}
menyatakan ruang topologis yang memuat
H
{\displaystyle H}
, dan simbol
l
c
{\displaystyle {\phantom {l}}^{\mathsf {c}}}
menyatakan operasi komplemen himpunan. Akibatnya, teori abstrak mengenai operator penutup dan aksioma penutup Kuratowski siap untuk diterjemahkan ke dalam bahasa operator interior, dengan mengganti himpunan menjadi komplemennya pada
X
{\displaystyle X}
.
Secara umum, operator interior tidak bersifat komutatif dengan operasi gabungan. Akan tetapi, hasil berikut berlaku pada ruang metrik lengkap:
Hasil di atas mengakibatkan bahwa setiap ruang metrik lengkap merupakan ruang Baire.
Eksterior dari suatu himpunan
Eksterior dari himpunan bagian
H
{\displaystyle H}
pada ruang topologis
X
{\displaystyle X}
, ditulis sebagai
ext
X
H
{\displaystyle \operatorname {ext} _{X}H}
atau
ext
H
{\displaystyle \operatorname {ext} H}
, adalah himpunan terbuka terbesar yang saling lepas dengan
H
{\displaystyle H}
, yaitu gabungan semua himpunan terbuka pada
X
{\displaystyle X}
yang saling asing dengan
H
{\displaystyle H}
. Eksterior merupakan interior dari komplemen, yang sama dengan komplemen dari penutup. Secara simbolis, maka
ext
H
=
int
H
c
=
(
H
¯
)
c
{\displaystyle \operatorname {ext} H=\operatorname {int} H^{\mathsf {c}}=\left({\overline {H}}\right)^{\mathsf {c}}}
Serupa seperti sebelumnya, interior merupakan eksterior dari komplemen. Secara simbolis maka,
int
H
=
ext
H
c
{\displaystyle \operatorname {int} H=\operatorname {ext} H^{\mathsf {c}}}
Interior, batas, dan eksterior dari himpunan
H
{\displaystyle H}
bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya merupakan himpunan kosong). Secara simbolis, maka
X
=
int
H
∪
∂
H
∪
ext
H
{\displaystyle X=\operatorname {int} H\;\cup \;\partial H\;\cup \;\operatorname {ext} H}
dengan
∂
H
{\displaystyle \partial H}
menyatakan batas dari
H
{\displaystyle H}
. Interior dan eksterior selalu bersifat terbuka, sedangkan batas bersifat tertutup.
Beberapa sifat dari operator eksterior berbeda dengan operator interior, diantaranya:
Operator eksterior membalik urutan himpunan bagian: Jika
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
, maka
ext
B
⊆
ext
A
{\displaystyle \operatorname {ext} B\subseteq \operatorname {ext} A}
.
Operator eksterior tidak bersifat idempoten. Operator eksterior memiliki sifat bahwa
int
A
⊆
ext
(
ext
A
)
{\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} A\right)}
.
Lihat juga
Interior aljabar
DE-9IM
Aljabar interior
Teorema kurva Jordan
Interior kuasi-relatif
Referensi
Pranala luar
(Inggris) Interior di PlanetMath.
Kata Kunci Pencarian:
Pengertian Topologi Jaringan Dan Jenis | PDF
Pengertian Topologi Jaringan Dan Jenis | PDF
SOLUTION: 326330565 pengertian topologi jaringan - Studypool
Macam Macam Topologi Dalam Jaringan Komputer - IMAGESEE
Contoh Topologi Mesh
√ Pengertian Topologi Jaringan dan Jenisnya
Topologi Jaringan Internet - Homecare24
Technology Everywhere: RESUME TOPOLOGI JARINGAN
Apa itu Topologi? | Macam-macam Topologi Jaringan | NgoprakIT
Macam - Macam Topologi Jaringan Lengkap | Semua Ada Disini
Macam - Macam Topologi Jaringan Lengkap | Semua Ada Disini
Macam - Macam Topologi Jaringan Lengkap | Semua Ada Disini
