- Topologi
- Bagian dalam (topologi)
- Topologi Zariski
- Topologi umum
- Konjektur Poincaré
- Kurva
- Jaringan komputer
- Topologi jala
- Topologi runtut
- Gelang kepingan
Harold & Kumar Escape from Guantanamo Bay (2008)
Adventure, Bioskop Online, bioskop21, BioskopKeren, Cinemaindo, Comedy, Dewanonton, Drakor ID, DrakorIndo, DramaQu, Dunia21, DutaFilm, Ganool, gudangmovie, gudangmovie21, IndoXX1, Indoxxi, KorDramas, LayarKaca21, Layarkaca21 INDOXXI, LK21 XXI, Nonton drama, Nonton Movie, Pahe.in, PusatFilm21, USA
Jon Hurwitz
Hot Tub Time Machine (2010)
Adventure, Bioskop Online, bioskop21, BioskopKeren, Cinemaindo, Comedy, Dewanonton, Drakor ID, DrakorIndo, DramaQu, Dunia21, DutaFilm, Ganool, gudangmovie, gudangmovie21, IndoXX1, Indoxxi, KorDramas, LayarKaca21, Layarkaca21 INDOXXI, LK21, LK21 XXI, Nonton drama, Nonton Movie, Pahe.in, PusatFilm21, Science Fiction, USA
Steve Pink
The Dark Knight (2008)
Action, Bioskop Online, bioskop21, BioskopKeren, Cinemaindo, Crime, Drakor ID, DrakorIndo, Drama, DramaQu, Dunia21, DutaFilm, Ganool, gudangmovie, gudangmovie21, IndoXX1, KorDramas, LayarKaca21, Layarkaca21 INDOXXI, LK21, LK21 XXI, Nonton drama, Nonton Movie, Pahe.in, PusatFilm21, Thriller, United Kingdom, USA
Steve Gehrke
Interstellar (2014)
Adventure, Bioskop Online, bioskop21, BioskopKeren, Cinemaindo, Drakor ID, DrakorIndo, Drama, Ganool, gudangmovie, gudangmovie21, IndoXX1, Indoxxi, KorDramas, Layarkaca21 INDOXXI, LK21, LK21 XXI, Nonton drama, Nonton Movie, Pahe.in, PusatFilm21, Science Fiction, United Kingdom, USA
Dillon Neaman
Godzilla Minus One (2023)
Action, Bioskop Online, bioskop21, BioskopKeren, Cinemaindo, Dewanonton, Drakor ID, DrakorIndo, Ganool, gudangmovie, gudangmovie21, Horror, IndoXX1, Indoxxi, KorDramas, LayarKaca21, Layarkaca21 INDOXXI, LK21, LK21 XXI, Pahe.in, PusatFilm21, Science Fiction, Japan
Takashi Yamazaki
Transformers: Revenge of the Fallen (2009)
Action, Adventure, Bioskop Online, bioskop21, BioskopKeren, Cinemaindo, Dewanonton, DramaQu, Dunia21, DutaFilm, Ganool, gudangmovie, gudangmovie21, IndoXX1, Indoxxi, LayarKaca21, Layarkaca21 INDOXXI, LK21, LK21 XXI, Nonton drama, Nonton Movie, PusatFilm21, Science Fiction, USA
Michael Bay
Bagian dalam (topologi) GudangMovies21 Rebahinxxi LK21
Dalam matematika, terutama dalam topologi, bagian dalam (atau interior) dari suatu himpunan bagian
H
{\displaystyle H}
pada ruang topologis
X
{\displaystyle X}
adalah gabungan dari semua himpunan bagian dari
H
{\displaystyle H}
yang terbuka pada
X
{\displaystyle X}
. Suatu titik yang berada pada interior dari
H
{\displaystyle H}
disebut sebagai titik interior (atau titik dalam) dari
H
{\displaystyle H}
.
Interior dari
H
{\displaystyle H}
merupakan komplemen dari penutup komplemen dari
H
{\displaystyle H}
. Melalui hal ini, interior dan penutup merupakan konsep yang dual.
Bagian luar (atau eksterior) dari himpunan
H
{\displaystyle H}
adalah komplemen dari penutup
H
{\displaystyle H}
, yaitu himpunan titik-titik yang tidak berada pada himpunan tersebut, maupun pada batas himpunannya. Interior, batas, dan eksterior dari suatu himpunan bagian bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya kosong).
Interior dan eksterior dari suatu kurva tertutup adalah konsep yang sedikit berbeda; lihat teorema kurva Jordan.
Definisi
= Titik interior
=Jika
H
{\displaystyle H}
merupakan himpunan bagian dari ruang Euklides, maka
x
{\displaystyle x}
dikatakan sebagai titik interior dari
H
{\displaystyle H}
jika terdapat bola terbuka yang berpusat pada
x
{\displaystyle x}
dan termuat sepenuhnya pada
H
{\displaystyle H}
. Ilustrasinya dapat dilihat pada bagian pendahuluan dari artikel ini.
Definisi ini dapat diperumum untuk sembarang himpunan bagian
H
{\displaystyle H}
pada suatu ruang metrik
X
{\displaystyle X}
dengan metrik
d
{\displaystyle d}
. Titik
x
{\displaystyle x}
dikatakan sebagai titik interior jika terdapat suatu bilangan riil
r
>
0
{\displaystyle r>0}
sedemikian sehingga
a
∈
H
{\displaystyle a\in H}
ketika jarak
d
(
x
,
a
)
<
r
{\displaystyle d(x,\,a)
.
Definisi ini dapat diperumum untuk ruang topologis dengan mengganti "bola terbuka" menjadi "himpunan terbuka". Jika
H
{\displaystyle H}
merupakan himpunan bagian dari ruang topologis
X
{\displaystyle X}
, maka
x
{\displaystyle x}
dikatakan sebagai titik interior dari
H
{\displaystyle H}
pada
X
{\displaystyle X}
jika
x
{\displaystyle x}
termuat pada suatu himpunan terbuka dari
X
{\displaystyle X}
yang seluruhnya termuat pada
H
{\displaystyle H}
. Secara ekuivalen,
x
{\displaystyle x}
adalah titik interior dari
H
{\displaystyle H}
jika
H
{\displaystyle H}
merupakan persekitaran dari
x
{\displaystyle x}
.
= Interior dari suatu himpunan
=Interior dari himpunan bagian
H
{\displaystyle H}
pada suatu ruang topologis
X
{\displaystyle X}
, ditulis sebagai
int
X
H
{\displaystyle \operatorname {int} _{X}H}
atau
int
H
{\displaystyle \operatorname {int} H}
atau
H
∘
{\displaystyle H^{\circ }}
, dapat didefinisikan melalui beberapa cara yang ekuivalen, diantaranya:
int
H
{\displaystyle \operatorname {int} H}
adalah himpunan bagian terbuka terbesar dari
X
{\displaystyle X}
yang termuat pada
H
{\displaystyle H}
.
int
H
{\displaystyle \operatorname {int} H}
adalah gabungan semua himpunan bagian terbuka dari
X
{\displaystyle X}
yang termuat pada
H
{\displaystyle H}
.
int
H
{\displaystyle \operatorname {int} H}
adalah himpunan semua titik interior dari
H
{\displaystyle H}
.
Jika ruang
X
{\displaystyle X}
dapat dipahami dari konteks yang diberikan sebelumnya, notasi yang lebih pendek
int
H
{\displaystyle \operatorname {int} H}
lebih diminati daripada
int
X
H
{\displaystyle \operatorname {int} _{X}H}
.
= Contoh
=Dalam setiap ruang, interior dari himpunan kosong ialah himpunan kosong.
Dalam setiap ruang
X
{\displaystyle X}
, jika
H
⊆
X
{\displaystyle H\subseteq X}
, maka
int
H
⊆
H
{\displaystyle \operatorname {int} H\subseteq H}
.
Jika
X
=
{\displaystyle X=}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(dengan topologi baku), maka
int
(
[
0
,
1
]
)
=
(
0
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left(0,\,1\right)}
sedangkan interior dari himpunan bilangan rasional merupakan himpunan kosong. Secara simbolis, maka
int
Q
=
∅
{\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing }
.
Jika
X
=
{\displaystyle X=}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, maka
int
(
{
z
∈
C
:
|
z
|
≤
1
}
)
=
{
z
∈
C
:
|
z
|
<
1
}
{\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|\leq 1\right\}\right)=\left\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|<1\right\}}
.
Dalam setiap ruang Euklides, interior dari sembarang himpunan hingga merupakan himpunan kosong.
Dalam himpunan semua bilangan riil, dapat digunakan beberapa topologi lain (selain topologi baku), diantaranya:
Jika digunakan topologi limit bawah, maka
int
(
[
0
,
1
]
)
=
[
0
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left[0,\,1\right)}
.
Jika digunakan topologi yang setiap himpunan bersifat terbuka, maka
int
(
[
0
,
1
]
)
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left[0,\,1\right]}
.
Jika digunakan topologi dimana himpunan yang bersifat terbuka hanyalah himpunan kosong dan
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
itu sendiri, maka
int
(
[
0
,
1
]
)
=
∅
{\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\varnothing }
.
Contoh-contoh di atas menunjukkan bahwa interior dari suatu himpunan bergantung pada topologi dari ruang yang mendasarinya. Dua contoh terakhir merupakan kasus khusus dari teorema berikut:
Dalam setiap ruang diskret, setiap himpunan sama dengan interiornya, sebab setiap himpunan bersifat terbuka.
Dalam setiap ruang takdiskret
X
{\displaystyle X}
, oleh karena himpunan yang bersifat terbuka hanyalah
∅
{\displaystyle \varnothing }
dan
X
{\displaystyle X}
itu sendiri, maka
int
X
=
X
{\displaystyle \operatorname {int} X=X}
dan untuk sembarang
H
⊂
X
{\displaystyle H\subset X}
, maka
int
H
=
∅
{\displaystyle \operatorname {int} H=\varnothing }
.
= Sifat-sifat
=Diberikan suatu ruang topologis
(
X
,
T
)
{\displaystyle \left(X,\,T\right)}
. Diambil sembarang
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
dan
B
⊆
X
{\displaystyle B\subseteq X}
.
int
A
{\displaystyle \operatorname {int} A}
merupakan himpunan terbuka pada
X
{\displaystyle X}
.
Jika
A
{\displaystyle A}
terbuka pada
X
{\displaystyle X}
, maka
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
jika dan hanya jika
A
⊆
int
B
{\displaystyle A\subseteq \operatorname {int} B}
.
int
A
{\displaystyle \operatorname {int} A}
merupakan himpunan bagian terbuka dari
A
{\displaystyle A}
ketika
A
{\displaystyle A}
diberikan topologi subruang.
A
{\displaystyle A}
merupakan himpunan bagian terbuka dari
X
{\displaystyle X}
jika dan hanya jika
A
=
int
A
{\displaystyle A=\operatorname {int} A}
.
Intensif:
int
H
⊆
H
{\displaystyle \operatorname {int} H\subseteq H}
.
Idempoten:
int
(
int
A
)
=
int
A
{\displaystyle \operatorname {int} \left(\operatorname {int} A\right)=\operatorname {int} A}
.
Mengawetkan / mendistribusikan operasi irisan:
int
(
A
∩
B
)
=
(
int
A
)
∩
(
int
B
)
{\displaystyle \operatorname {int} (A\cap B)=(\operatorname {int} A)\cap (\operatorname {int} B)}
. Operator interior secara umum tidak mendistribusikan operasi gabungan, sebab hanya terjamin relasi
int
(
A
∪
B
)
⊇
(
int
A
)
∪
(
int
B
)
{\displaystyle \operatorname {int} (A\cup B)\supseteq (\operatorname {int} A)\cup (\operatorname {int} B)}
dan kesamaan mungkin saja tidak berlaku. Sebagai contoh, jika
X
=
R
{\displaystyle X=\mathbb {R} }
,
A
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle A=\left[0,\,1\right]}
, dan
B
=
(
1
,
2
)
{\displaystyle B=\left(1,\,2\right)}
, maka
(
int
A
)
∪
(
int
B
)
=
(
0
,
1
)
∪
(
1
,
2
)
⊂
(
0
,
2
)
=
int
(
A
∪
B
)
{\displaystyle (\operatorname {int} A)\cup (\operatorname {int} B)=\left(0,\,1\right)\cup \left(1,\,2\right)\subset \left(0,\,2\right)=\operatorname {int} (A\cup B)}
Monoton tak turun terhadap
⊆
{\displaystyle \subseteq }
: Jika
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
, maka
int
A
⊆
int
B
{\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {int} B}
.
Sifat lainnya antara lain:
Jika
A
{\displaystyle A}
tertutup dan
int
B
=
∅
{\displaystyle \operatorname {int} B=\varnothing }
, maka
int
(
A
∪
B
)
=
int
A
{\displaystyle \operatorname {int} (A\cup B)=\operatorname {int} A}
.
= Hubungan dengan penutup
=Pernyataan-pernyataan di atas akan tetap bernilai benar jika semua simbol/kata
"interior", "int", "terbuka", "himpunan bagian", dan "terbesar"
berturut-turut diganti dengan
"penutup", "cl", "tertutup", "superhimpunan", dan "terkecil"
dan simbol-simbol berikut ditukar:
⊆
{\displaystyle \subseteq }
ditukar dengan
⊇
{\displaystyle \supseteq }
∪
{\displaystyle \cup }
ditukar dengan
∩
{\displaystyle \cap }
Untuk lebih lengkapnya, lihat bagian operator interior di bawah atau artikel aksioma penutup Kuratowski.
Operator interior
Operator interior
int
X
{\displaystyle \operatorname {int} _{X}}
merupakan dual dari operator penutup, yang ditulis sebagai
cl
X
{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}
atau dengan garis atas —, dalam artian bahwa
int
X
H
=
(
H
c
¯
)
c
{\displaystyle \operatorname {int} _{X}H=\left({\overline {H^{\mathsf {c}}}}\right)^{\mathsf {c}}}
dan juga
H
¯
=
(
int
X
(
H
c
)
)
c
{\displaystyle {\overline {H}}=\left(\operatorname {int} _{X}(H^{\mathsf {c}})\right)^{\mathsf {c}}}
dengan
X
{\displaystyle X}
menyatakan ruang topologis yang memuat
H
{\displaystyle H}
, dan simbol
l
c
{\displaystyle {\phantom {l}}^{\mathsf {c}}}
menyatakan operasi komplemen himpunan. Akibatnya, teori abstrak mengenai operator penutup dan aksioma penutup Kuratowski siap untuk diterjemahkan ke dalam bahasa operator interior, dengan mengganti himpunan menjadi komplemennya pada
X
{\displaystyle X}
.
Secara umum, operator interior tidak bersifat komutatif dengan operasi gabungan. Akan tetapi, hasil berikut berlaku pada ruang metrik lengkap:
Hasil di atas mengakibatkan bahwa setiap ruang metrik lengkap merupakan ruang Baire.
Eksterior dari suatu himpunan
Eksterior dari himpunan bagian
H
{\displaystyle H}
pada ruang topologis
X
{\displaystyle X}
, ditulis sebagai
ext
X
H
{\displaystyle \operatorname {ext} _{X}H}
atau
ext
H
{\displaystyle \operatorname {ext} H}
, adalah himpunan terbuka terbesar yang saling lepas dengan
H
{\displaystyle H}
, yaitu gabungan semua himpunan terbuka pada
X
{\displaystyle X}
yang saling asing dengan
H
{\displaystyle H}
. Eksterior merupakan interior dari komplemen, yang sama dengan komplemen dari penutup. Secara simbolis, maka
ext
H
=
int
H
c
=
(
H
¯
)
c
{\displaystyle \operatorname {ext} H=\operatorname {int} H^{\mathsf {c}}=\left({\overline {H}}\right)^{\mathsf {c}}}
Serupa seperti sebelumnya, interior merupakan eksterior dari komplemen. Secara simbolis maka,
int
H
=
ext
H
c
{\displaystyle \operatorname {int} H=\operatorname {ext} H^{\mathsf {c}}}
Interior, batas, dan eksterior dari himpunan
H
{\displaystyle H}
bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya merupakan himpunan kosong). Secara simbolis, maka
X
=
int
H
∪
∂
H
∪
ext
H
{\displaystyle X=\operatorname {int} H\;\cup \;\partial H\;\cup \;\operatorname {ext} H}
dengan
∂
H
{\displaystyle \partial H}
menyatakan batas dari
H
{\displaystyle H}
. Interior dan eksterior selalu bersifat terbuka, sedangkan batas bersifat tertutup.
Beberapa sifat dari operator eksterior berbeda dengan operator interior, diantaranya:
Operator eksterior membalik urutan himpunan bagian: Jika
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
, maka
ext
B
⊆
ext
A
{\displaystyle \operatorname {ext} B\subseteq \operatorname {ext} A}
.
Operator eksterior tidak bersifat idempoten. Operator eksterior memiliki sifat bahwa
int
A
⊆
ext
(
ext
A
)
{\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} A\right)}
.
Lihat juga
Interior aljabar
DE-9IM
Aljabar interior
Teorema kurva Jordan
Interior kuasi-relatif
Referensi
Pranala luar
(Inggris) Interior di PlanetMath.
Kata Kunci Pencarian:
Warning: Invalid argument supplied for foreach() in /www/wwwroot/5.180.24.3/wp-content/themes/muvipro/search.php on line 388
Pengertian Topologi Jaringan Dan Jenis | PDF
Pengertian Topologi Jaringan Dan Jenis | PDF
SOLUTION: 326330565 pengertian topologi jaringan - Studypool
Macam Macam Topologi Dalam Jaringan Komputer - IMAGESEE
Contoh Topologi Mesh
√ Pengertian Topologi Jaringan dan Jenisnya
Topologi Jaringan Internet - Homecare24
Technology Everywhere: RESUME TOPOLOGI JARINGAN
Apa itu Topologi? | Macam-macam Topologi Jaringan | NgoprakIT
Macam - Macam Topologi Jaringan Lengkap | Semua Ada Disini
Macam - Macam Topologi Jaringan Lengkap | Semua Ada Disini
Macam - Macam Topologi Jaringan Lengkap | Semua Ada Disini