Castle in the Sky (1986)

7.976

125 min

Castle in the Sky (1986)

Watch

Bagian dalam (topologi) GudangMovies21 Rebahinxxi LK21

Dalam matematika, terutama dalam topologi, bagian dalam (atau interior) dari suatu himpunan bagian

H

{\displaystyle H}

pada ruang topologis

X

{\displaystyle X}

adalah gabungan dari semua himpunan bagian dari

H

{\displaystyle H}

yang terbuka pada

X

{\displaystyle X}

. Suatu titik yang berada pada interior dari

H

{\displaystyle H}

disebut sebagai titik interior (atau titik dalam) dari

H

{\displaystyle H}

.
Interior dari

H

{\displaystyle H}

merupakan komplemen dari penutup komplemen dari

H

{\displaystyle H}

. Melalui hal ini, interior dan penutup merupakan konsep yang dual.
Bagian luar (atau eksterior) dari himpunan

H

{\displaystyle H}

adalah komplemen dari penutup

H

{\displaystyle H}

, yaitu himpunan titik-titik yang tidak berada pada himpunan tersebut, maupun pada batas himpunannya. Interior, batas, dan eksterior dari suatu himpunan bagian bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya kosong).
Interior dan eksterior dari suatu kurva tertutup adalah konsep yang sedikit berbeda; lihat teorema kurva Jordan.

Definisi

= Titik interior

bagian

.
Definisi ini dapat diperumum untuk ruang topologis dengan mengganti "bola terbuka" menjadi "himpunan terbuka". Jika

H

{\displaystyle H}

merupakan himpunan bagian dari ruang topologis

X

{\displaystyle X}

, maka

x

{\displaystyle x}

dikatakan sebagai titik interior dari

H

{\displaystyle H}

pada

X

{\displaystyle X}

jika

x

{\displaystyle x}

termuat pada suatu himpunan terbuka dari

X

{\displaystyle X}

yang seluruhnya termuat pada

H

{\displaystyle H}

. Secara ekuivalen,

x

{\displaystyle x}

adalah titik interior dari

H

{\displaystyle H}

jika

H

{\displaystyle H}

merupakan persekitaran dari

x

{\displaystyle x}

.

= Interior dari suatu himpunan

=
Interior dari himpunan bagian

H

{\displaystyle H}

pada suatu ruang topologis

X

{\displaystyle X}

, ditulis sebagai

int

X

⁡
H

{\displaystyle \operatorname {int} _{X}H}

atau

int
⁡
H

{\displaystyle \operatorname {int} H}

atau

H

∘

{\displaystyle H^{\circ }}

, dapat didefinisikan melalui beberapa cara yang ekuivalen, diantaranya:

int
⁡
H

{\displaystyle \operatorname {int} H}

adalah himpunan bagian terbuka terbesar dari

X

{\displaystyle X}

yang termuat pada

H

{\displaystyle H}

.

int
⁡
H

{\displaystyle \operatorname {int} H}

adalah gabungan semua himpunan bagian terbuka dari

X

{\displaystyle X}

yang termuat pada

H

{\displaystyle H}

.

int
⁡
H

{\displaystyle \operatorname {int} H}

adalah himpunan semua titik interior dari

H

{\displaystyle H}

.
Jika ruang

X

{\displaystyle X}

dapat dipahami dari konteks yang diberikan sebelumnya, notasi yang lebih pendek

int
⁡
H

{\displaystyle \operatorname {int} H}

lebih diminati daripada

int

X

⁡
H

{\displaystyle \operatorname {int} _{X}H}

.

= Contoh

=

Dalam setiap ruang, interior dari himpunan kosong ialah himpunan kosong.
Dalam setiap ruang

X

{\displaystyle X}

, jika

H
⊆
X

{\displaystyle H\subseteq X}

, maka

int
⁡
H
⊆
H

{\displaystyle \operatorname {int} H\subseteq H}

.
Jika

X
=

{\displaystyle X=}

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

(dengan topologi baku), maka

int

(

[

0
,

1

]

)

=

(

0
,

1

)

{\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left(0,\,1\right)}

sedangkan interior dari himpunan bilangan rasional merupakan himpunan kosong. Secara simbolis, maka

int
⁡

Q

=
∅

{\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing }

.
Jika

X
=

{\displaystyle X=}

C

{\displaystyle \mathbb {C} }

, maka

int

(

{

z
∈

C

:

|
z
|

≤
1

}

)

=

{

z
∈

C

:

|
z
|

<
1

}

{\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|\leq 1\right\}\right)=\left\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|<1\right\}}

.
Dalam setiap ruang Euklides, interior dari sembarang himpunan hingga merupakan himpunan kosong.
Dalam himpunan semua bilangan riil, dapat digunakan beberapa topologi lain (selain topologi baku), diantaranya:

Jika digunakan topologi limit bawah, maka

int

(

[

0
,

1

]

)

=

[

0
,

1

)

{\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left[0,\,1\right)}

.
Jika digunakan topologi yang setiap himpunan bersifat terbuka, maka

int

(

[

0
,

1

]

)

=

[

0
,

1

]

{\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left[0,\,1\right]}

.
Jika digunakan topologi dimana himpunan yang bersifat terbuka hanyalah himpunan kosong dan

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

itu sendiri, maka

int

(

[

0
,

1

]

)

=
∅

{\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\varnothing }

.
Contoh-contoh di atas menunjukkan bahwa interior dari suatu himpunan bergantung pada topologi dari ruang yang mendasarinya. Dua contoh terakhir merupakan kasus khusus dari teorema berikut:

Dalam setiap ruang diskret, setiap himpunan sama dengan interiornya, sebab setiap himpunan bersifat terbuka.
Dalam setiap ruang takdiskret

X

{\displaystyle X}

, oleh karena himpunan yang bersifat terbuka hanyalah

∅

{\displaystyle \varnothing }

dan

X

{\displaystyle X}

itu sendiri, maka

int
⁡
X
=
X

{\displaystyle \operatorname {int} X=X}

dan untuk sembarang

H
⊂
X

{\displaystyle H\subset X}

, maka

int
⁡
H
=
∅

{\displaystyle \operatorname {int} H=\varnothing }

.

= Sifat-sifat

=
Diberikan suatu ruang topologis

(

X
,

T

)

{\displaystyle \left(X,\,T\right)}

. Diambil sembarang

A
⊆
X

{\displaystyle A\subseteq X}

dan

B
⊆
X

{\displaystyle B\subseteq X}

.

int
⁡
A

{\displaystyle \operatorname {int} A}

merupakan himpunan terbuka pada

X

{\displaystyle X}

.
Jika

A

{\displaystyle A}

terbuka pada

X

{\displaystyle X}

, maka

A
⊆
B

{\displaystyle A\subseteq B}

jika dan hanya jika

A
⊆
int
⁡
B

{\displaystyle A\subseteq \operatorname {int} B}

.

int
⁡
A

{\displaystyle \operatorname {int} A}

merupakan himpunan bagian terbuka dari

A

{\displaystyle A}

ketika

A

{\displaystyle A}

diberikan topologi subruang.

A

{\displaystyle A}

merupakan himpunan bagian terbuka dari

X

{\displaystyle X}

jika dan hanya jika

A
=
int
⁡
A

{\displaystyle A=\operatorname {int} A}

.
Intensif:

int
⁡
H
⊆
H

{\displaystyle \operatorname {int} H\subseteq H}

.
Idempoten:

int
⁡

(

int
⁡
A

)

=
int
⁡
A

{\displaystyle \operatorname {int} \left(\operatorname {int} A\right)=\operatorname {int} A}

.
Mengawetkan / mendistribusikan operasi irisan:

int
⁡
(
A
∩
B
)
=
(
int
⁡
A
)
∩
(
int
⁡
B
)

{\displaystyle \operatorname {int} (A\cap B)=(\operatorname {int} A)\cap (\operatorname {int} B)}

. Operator interior secara umum tidak mendistribusikan operasi gabungan, sebab hanya terjamin relasi

int
⁡
(
A
∪
B
)
⊇
(
int
⁡
A
)
∪
(
int
⁡
B
)

{\displaystyle \operatorname {int} (A\cup B)\supseteq (\operatorname {int} A)\cup (\operatorname {int} B)}

dan kesamaan mungkin saja tidak berlaku. Sebagai contoh, jika

X
=

R

{\displaystyle X=\mathbb {R} }

,

A
=

[

0
,

1

]

{\displaystyle A=\left[0,\,1\right]}

, dan

B
=

(

1
,

2

)

{\displaystyle B=\left(1,\,2\right)}

, maka

(
int
⁡
A
)
∪
(
int
⁡
B
)
=

(

0
,

1

)

∪

(

1
,

2

)

⊂

(

0
,

2

)

=
int
⁡
(
A
∪
B
)

{\displaystyle (\operatorname {int} A)\cup (\operatorname {int} B)=\left(0,\,1\right)\cup \left(1,\,2\right)\subset \left(0,\,2\right)=\operatorname {int} (A\cup B)}

Monoton tak turun terhadap

⊆

{\displaystyle \subseteq }

: Jika

A
⊆
B

{\displaystyle A\subseteq B}

, maka

int
⁡
A
⊆
int
⁡
B

{\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {int} B}

.
Sifat lainnya antara lain:

Jika

A

{\displaystyle A}

tertutup dan

int
⁡
B
=
∅

{\displaystyle \operatorname {int} B=\varnothing }

, maka

int
⁡
(
A
∪
B
)
=
int
⁡
A

{\displaystyle \operatorname {int} (A\cup B)=\operatorname {int} A}

.

= Hubungan dengan penutup

=
Pernyataan-pernyataan di atas akan tetap bernilai benar jika semua simbol/kata

"interior", "int", "terbuka", "himpunan bagian", dan "terbesar"
berturut-turut diganti dengan

"penutup", "cl", "tertutup", "superhimpunan", dan "terkecil"
dan simbol-simbol berikut ditukar:

⊆

{\displaystyle \subseteq }

ditukar dengan

⊇

{\displaystyle \supseteq }

∪

{\displaystyle \cup }

ditukar dengan

∩

{\displaystyle \cap }

Untuk lebih lengkapnya, lihat bagian operator interior di bawah atau artikel aksioma penutup Kuratowski.

Operator interior

Operator interior

int

X

{\displaystyle \operatorname {int} _{X}}

merupakan dual dari operator penutup, yang ditulis sebagai

cl

X

{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}

atau dengan garis atas —, dalam artian bahwa

int

X

⁡
H
=

(

H

c

¯

)

c

{\displaystyle \operatorname {int} _{X}H=\left({\overline {H^{\mathsf {c}}}}\right)^{\mathsf {c}}}

dan juga

H
¯

=

(

int

X

⁡
(

H

c

)

)

c

{\displaystyle {\overline {H}}=\left(\operatorname {int} _{X}(H^{\mathsf {c}})\right)^{\mathsf {c}}}

dengan

X

{\displaystyle X}

menyatakan ruang topologis yang memuat

H

{\displaystyle H}

, dan simbol

l

c

{\displaystyle {\phantom {l}}^{\mathsf {c}}}

menyatakan operasi komplemen himpunan. Akibatnya, teori abstrak mengenai operator penutup dan aksioma penutup Kuratowski siap untuk diterjemahkan ke dalam bahasa operator interior, dengan mengganti himpunan menjadi komplemennya pada

X

{\displaystyle X}

.
Secara umum, operator interior tidak bersifat komutatif dengan operasi gabungan. Akan tetapi, hasil berikut berlaku pada ruang metrik lengkap:

Hasil di atas mengakibatkan bahwa setiap ruang metrik lengkap merupakan ruang Baire.

Eksterior dari suatu himpunan

Eksterior dari himpunan bagian

H

{\displaystyle H}

pada ruang topologis

X

{\displaystyle X}

, ditulis sebagai

ext

X

⁡
H

{\displaystyle \operatorname {ext} _{X}H}

atau

ext
⁡
H

{\displaystyle \operatorname {ext} H}

, adalah himpunan terbuka terbesar yang saling lepas dengan

H

{\displaystyle H}

, yaitu gabungan semua himpunan terbuka pada

X

{\displaystyle X}

yang saling asing dengan

H

{\displaystyle H}

. Eksterior merupakan interior dari komplemen, yang sama dengan komplemen dari penutup. Secara simbolis, maka

ext
⁡
H
=
int
⁡

H

c

=

(

H
¯

)

c

{\displaystyle \operatorname {ext} H=\operatorname {int} H^{\mathsf {c}}=\left({\overline {H}}\right)^{\mathsf {c}}}

Serupa seperti sebelumnya, interior merupakan eksterior dari komplemen. Secara simbolis maka,

int
⁡
H
=
ext
⁡

H

c

{\displaystyle \operatorname {int} H=\operatorname {ext} H^{\mathsf {c}}}

Interior, batas, dan eksterior dari himpunan

H

{\displaystyle H}

bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya merupakan himpunan kosong). Secara simbolis, maka

X
=
int
⁡
H

∪

∂
H

∪

ext
⁡
H

{\displaystyle X=\operatorname {int} H\;\cup \;\partial H\;\cup \;\operatorname {ext} H}

dengan

∂
H

{\displaystyle \partial H}

menyatakan batas dari

H

{\displaystyle H}

. Interior dan eksterior selalu bersifat terbuka, sedangkan batas bersifat tertutup.
Beberapa sifat dari operator eksterior berbeda dengan operator interior, diantaranya:

Operator eksterior membalik urutan himpunan bagian: Jika

A
⊆
B

{\displaystyle A\subseteq B}

, maka

ext
⁡
B
⊆
ext
⁡
A

{\displaystyle \operatorname {ext} B\subseteq \operatorname {ext} A}

.
Operator eksterior tidak bersifat idempoten. Operator eksterior memiliki sifat bahwa

int
⁡
A
⊆
ext
⁡

(

ext
⁡
A

)

{\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} A\right)}

.