daftar identitas logaritma
Daftar identitas logaritma GudangMovies21 Rebahinxxi LK21
Identitas logaritma atau dikenal sebagai hukum logaritma, ialah kumpulan rumus-rumus yang melibatkan logaritma dan bertujuan untuk mempermudah kalkulasi pada bentuk-bentuk yang cukup rumit.
Fungsi logaritma dapat didefinisikan sebagai
b
x
=
c
⟺
b
log
c
=
x
{\displaystyle b^{x}=c\iff \,^{b}\!\log c=x}
.
dimana
b
{\displaystyle b}
adalah adalah basis atau bilangan pokok dari logaritma, dengan syarat
0
<
b
<
1
{\displaystyle 0
atau
b
>
1
{\displaystyle b>1}
,
x
{\displaystyle x}
adalah bilangan yang dilogaritmakan yang disebut dengan numerus, dan bilangan positif
c
{\displaystyle c}
adalah hasil dari logaritma yang disebut dengan antilogaritma.
Sebagai catatan, notasi logaritma yang dipakai dalam halaman ini tetap memiliki makna yang sama dengan
log
b
x
{\displaystyle \log _{b}x}
, kendatipun notasinya berbeda.
Berikut adalah daftar identitas logaritma beserta dengan pembuktian-pembuktiannya, antara lain:
Sifat dasar
= Sifat trivial
=Salah satu yang paling mendasar dalam identitas logaritma, ialah
b
log
b
=
1
{\displaystyle ^{b}\!\log b=1}
, karena
b
1
=
b
{\displaystyle b^{1}=b}
. Terdapat sifat dasar lain, yaitu
b
log
1
=
0
{\displaystyle ^{b}\!\log 1=0}
, karena
b
0
=
1
{\displaystyle b^{0}=1}
.
b
log
b
n
=
n
{\displaystyle ^{b}\!\log b^{n}=n}
.
Sebagai pengecualian, logaritma dengan
b
=
0
{\displaystyle b=0}
tidak memiliki nilai. Hasil limit dari
b
log
0
=
−
∞
{\displaystyle ^{b}\!\log 0=-\infty }
ketika
b
→
0
+
{\displaystyle b\to 0^{+}}
. Untuk memahami lebih lanjut mengenai konsep ini, lihat buktinya di sini.
= Perkalian dan pembagian
=b
log
x
y
=
b
log
x
+
b
log
y
{\displaystyle ^{b}\!\log xy=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log y}
Sifat ini dapat diperumum ke kasus dengan numerus merupakan hasil perkalian banyak suku,
b
log
(
∏
i
=
1
n
x
i
)
=
∑
i
=
1
n
b
log
x
i
{\displaystyle ^{b}\!\log \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\,^{b}\!\log x_{i}}
.
b
log
(
x
y
)
=
b
log
x
−
b
log
y
{\displaystyle ^{b}\!\log \left({\frac {x}{y}}\right)=\,^{b}\!\log x-\,^{b}\!\log y}
= Penambahan dan pengurangan
=b
log
(
x
+
y
)
=
b
log
(
x
)
+
b
log
(
1
+
y
x
)
{\displaystyle ^{b}\!\log(x+y)=\,^{b}\!\log(x)+\,^{b}\!\log \left(1+{\frac {y}{x}}\right)}
b
log
(
x
−
y
)
=
b
log
x
+
b
log
(
1
−
y
x
)
{\displaystyle ^{b}\!\log(x-y)=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log \left(1-{\frac {y}{x}}\right)}
Lebih umumnya lagi,
b
log
(
∑
i
=
0
n
x
i
)
=
b
log
x
0
+
b
log
(
1
+
∑
i
=
1
n
a
i
a
0
)
=
b
log
x
0
+
b
log
(
1
+
∑
i
=
1
n
b
(
b
log
x
i
−
b
log
x
0
)
)
{\displaystyle ^{b}\!\log \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\right)=\,^{b}\!\log x_{0}+\,^{b}\!\log \left(1+\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\,^{b}\!\log x_{0}+\,^{b}\!\log \left(1+\sum _{i=1}^{n}b^{\left(^{b}\!\log x_{i}-^{b}\!\log x_{0}\right)}\right)}
.
= Perubahan basis
=Perubahan basis dapat dirumuskan sebagai
b
log
x
=
p
log
x
p
log
b
{\displaystyle ^{b}\!\log x={\frac {^{p}\!\log x}{^{p}\!\log b}}}
dengan syarat
0
<
p
<
1
{\displaystyle 0
dan
p
>
1
{\displaystyle p>1}
dan
p
≠
1
{\displaystyle p\neq 1}
, dengan mengikuti definisi logaritma.
= Perkalian dan pembagian dalam basis logaritma
=b
c
log
x
=
1
1
b
log
x
+
1
c
log
x
{\displaystyle ^{bc}\!\log x={\frac {1}{{\frac {1}{^{b}\!\log x}}+{\frac {1}{^{c}\!\log x}}}}}
b
c
log
x
=
1
1
b
log
x
−
1
c
log
x
{\displaystyle ^{\frac {b}{c}}\!\log x={\frac {1}{{\frac {1}{^{b}\!\log x}}-{\frac {1}{^{c}\!\log x}}}}}
= Pertukaran basis
=Pertukaran basis pada logaritma dapat dirumuskan sebagai
b
log
x
=
1
x
log
b
{\displaystyle ^{b}\!\log x={\frac {1}{^{x}\!\log b}}}
.
= Logaritma dalam eksponen
=x
log
(
log
x
)
log
x
=
log
x
{\displaystyle x^{\frac {\log(\log x)}{\log x}}=\log x}
atau
x
log
a
log
x
=
a
{\displaystyle x^{\frac {\log a}{\log x}}=a}
Membatalkan eksponen
Sama halnya dengan penambahan dan pengurangan, maupun perkalian dan pembagian, logaritma dapat membatalkan eksponen karena kedua operasi tersebut saling invers. Secara matematis ini mengartikan,
b
b
log
x
=
x
{\displaystyle b^{^{b}\!\log x}=x}
karena
b
antilog
(
b
log
x
)
=
x
{\displaystyle ^{b}\!\operatorname {antilog} (\,^{b}\!\log x)=x}
; dan
b
log
(
b
x
)
=
x
{\displaystyle ^{b}\!\log(b^{x})=x}
karena
b
log
(
b
antilog
x
)
=
x
{\displaystyle ^{b}\!\log(\,^{b}\!\operatorname {antilog} x)=x}
.
Perhatikan bahwa sifat logaritma di atas dapat kita pakai untuk membuktikan bahwa
b
log
x
1
n
=
1
n
b
log
x
{\displaystyle ^{b}\!\log x^{\frac {1}{n}}={\frac {1}{n}}\,^{b}\!\log x}
.
Logaritma dengan basis lain
= Logaritma natural
=Logaritma dalam kalkulus
= Limit
=lim
x
→
0
+
b
log
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\,^{b}\!\log x=-\infty }
lim
x
→
∞
b
log
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\,^{b}\!\log x=\infty }
Untuk membuktikan limit tersebut, perhatikan grafik fungsi logaritma basis
b
{\displaystyle b}
sembarang (untuk
b
>
1
{\displaystyle b>1}
). Sebagai catatan, untuk
0
<
b
<
1
{\displaystyle 0
,
lim
x
→
0
+
b
log
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\,^{b}\!\log x=\infty }
lim
x
→
∞
b
log
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\,^{b}\!\log x=-\infty }
Pembuktian yang serupa terhadap limit dari fungsi logaritma alami.
lim
x
→
0
+
ln
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }
lim
x
→
∞
ln
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\ln x=\infty }
Sebagai tambahan, berikut adalah identitas logaritma dalam limit.
lim
x
→
0
+
x
c
⋅
b
log
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{c}\cdot \,^{b}\!\log x=0}
jika
c
>
0
{\displaystyle c>0}
lim
x
→
0
+
b
log
x
x
c
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {^{b}\!\log x}{x^{c}}}=0}
jika
c
>
0
{\displaystyle c>0}
= Turunan
=Turunan logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai
d
d
x
log
b
(
x
)
=
1
x
ln
(
b
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}}
, dengan
x
>
0
{\displaystyle x>0}
,
b
>
0
{\displaystyle b>0}
, dan
b
≠
1
{\displaystyle b\neq 1}
.
Turunan dalam basis lain, antara lain
d
d
x
ln
x
=
1
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln x={\frac {1}{x}}}
= Integral
=Integral logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai
∫
log
b
(
x
)
d
x
=
x
log
b
(
x
)
−
x
ln
(
b
)
+
C
=
x
(
log
b
(
x
)
−
1
ln
(
b
)
)
+
C
{\displaystyle \int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-{\frac {x}{\ln(b)}}+C=x\left(\log _{b}(x)-{\frac {1}{\ln(b)}}\right)+C}
Integral dalam basis lain, antara lain
∫
ln
(
x
)
d
x
=
x
ln
(
x
)
−
x
+
C
{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C\,}
Sebagai catatan, halaman ini hanya menjelaskan dasar-dasarnya saja. Lihat Daftar integral dari fungsi logaritmik sebagai identitas adisionalnya.
= Deret
=ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
≥
1
(
−
1
)
n
−
1
x
n
n
{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n}}}
Pendekatan logaritma
log
x
≈
x
x
−
1
x
{\displaystyle \log x\approx {\frac {x^{x}-1}{x}}}
log
(
1
+
x
)
≈
x
{\displaystyle \log(1+x)\approx x}
Bentuk pecahan berlanjut
= Logaritma alami
=ln
(
1
+
x
)
=
x
1
−
0
x
+
1
2
x
2
−
1
x
+
2
2
x
3
−
2
x
+
3
2
x
4
−
3
x
+
4
2
x
5
−
4
x
+
⋱
{\displaystyle \ln(1+x)={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}}
ln
(
1
+
x
y
)
=
x
y
+
1
x
2
+
1
x
3
y
+
2
x
2
+
2
x
5
y
+
3
x
2
+
⋱
=
2
x
2
y
+
x
−
(
1
x
)
2
3
(
2
y
+
x
)
−
(
2
x
)
2
5
(
2
y
+
x
)
−
(
3
x
)
2
7
(
2
y
+
x
)
−
⋱
{\displaystyle \ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}}
Lihat pula
Daftar identitas eksponensiasi