grup kuaternion
Grup kuaternion GudangMovies21 Rebahinxxi LK21
Dalam teori grup, grup angka empat Q8 (terkadang hanya dilambangkan dengan Q) adalah grup non-abelian dari urutan delapan, isomorfik ke himpunan bagian delapan elemen
{
1
,
i
,
j
,
k
,
−
1
,
−
i
,
−
j
,
−
k
}
{\displaystyle \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}}
dari angka empat di bawah perkalian. Ini diberikan oleh presentasi grup
Q
8
=
⟨
e
¯
,
i
,
j
,
k
∣
e
¯
2
=
e
,
i
2
=
j
2
=
k
2
=
i
j
k
=
e
¯
⟩
,
{\displaystyle \mathrm {Q} _{8}=\langle {\bar {e}},i,j,k\mid {\bar {e}}^{2}=e,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk={\bar {e}}\rangle ,}
di mana e adalah elemen identitas dan e komutatif dengan elemen lain dalam grup.
Presentasi Q 8 lainnya adalah:
Q
8
=
⟨
a
,
b
∣
a
4
=
1
,
a
2
=
b
2
,
b
a
=
a
−
1
b
⟩
.
{\displaystyle \mathrm {Q} _{8}=\langle a,b\mid a^{4}=\mathbf {1} ,a^{2}=b^{2},ba=a^{-1}b\rangle .}
Dibandingkan dengan grup dihedral
Grup quaternion Q 8 memiliki urutan yang sama dengan grup dihedral D4, tetapi strukturnya berbeda, seperti yang ditunjukkan oleh grafik Cayley dan siklusnya:
Dalam diagram untuk D 4 , elemen grup ditandai dengan aksinya pada huruf F dalam representasi yang menentukan R2. Hal yang sama tidak dapat dilakukan untuk Q 8 , karena tidak memiliki representasi yang tepat di R2 atau R3. D4 dapat direalisasikan sebagai bagian dari pemmbagi angka empat dengan cara yang sama seperti Q 8 dapat dilihat sebagai himpunan bagian dari angka empat.
Tabel Cayley
Tabel Cayley (tabel perkalian) untuk Q 8 diberikan oleh:
Sifat
Perhatikan bahwa i , j , dan k semuanya memiliki urutan empat di Q 8 dan dua di antaranya menghasilkan seluruh grup. Presentasi lainnya dari Q8 berdasarkan hanya dua elemen untuk melewati redundansi ini adalah:
⟨
x
,
y
∣
x
4
=
1
,
x
2
=
y
2
,
y
−
1
x
y
=
x
−
1
⟩
.
{\displaystyle \langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}
Seseorang mungkin mengambil, misalnya,
i
=
x
,
j
=
y
{\displaystyle i=x,j=y}
, dan
k
=
x
y
{\displaystyle k=xy}
.
Grup quaternion memiliki properti yang tidak biasa sebagai Hamiltonian: Q8 non-abelian, tetapi setiap subgrup adalah normal. Every Hamiltonian group contains a copy of Q8.
Grup angka empat Q 8 dan grup dihedral D 4 adalah dua contoh terkecil dari grup non-abelian nilpoten.
Pusat dan subgrup komutator dari Q 8 adalah subgrup
{
e
,
e
¯
}
{\displaystyle \{e,{\bar {e}}\}}
. Grup automorfisme dalam dari Q 8 diberikan oleh grup modulo pusatnya, yaitu grup faktor Q8/{e,e}, untukmu isomorfik ke grup empat Klein V. Grup automorfisme dari Q 8 adalah isomorfik sampai S 4 , grup simetris pada empat huruf (lihat Representasi matriks di bawah), dan grup automorfisme luar dari Q 8 adalah S4/V, yang isomorfik ke S3.
Grup angka empat Q 8 memiliki lima kelas konjugasi, {e }, { e }, { i, i }, { j, j }, { k, k }, dan lima representasi tak tersederhanakan di atas bilangan kompleks, dengan dimensi 1,1,1,1,2:
Representasi trivial
Tanda tangani representasi dengan i, j, k-kernel: Q8 memiliki tiga subgrup normal maksimal: subgrup siklik yang dihasilkan oleh i, j, dan k. Untuk setiap subkelompok normal maksimal N , kita mendapatkan representasi satu dimensi yang memfaktorkan melalui 2-elemen grup hasil bagi G/N. Representasi mengirimkan elemen N ke 1, dan elemen di luar N ke -1.
Representasi 2 dimensi: Dijelaskan di bawah dalam Representasi matriks .
Tabel karakter dari Q 8 ternyata sama dengan D4:
Karena karakter yang tidak dapat direduksi
χ
ρ
{\displaystyle \chi _{\rho }}
pada baris di atas memiliki nilai riil, ini memberikan dekomposisi dari aljabar grup nyata dari
G
=
Q
8
{\displaystyle G=Q_{8}}
menjadi minimal dua sisi ideal:
R
[
Q
8
]
=
⨁
ρ
(
e
ρ
)
{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} [Q_{8}]\ =\ \bigoplus _{\rho }(e_{\rho })}
, di mana idempotensi
e
ρ
∈
R
[
Q
8
]
{\displaystyle e_{\rho }\in \mathbb {R} [Q_{8}]}
sesuai dengan irreducibles:
e
ρ
=
dim
(
ρ
)
|
G
|
∑
g
∈
G
χ
ρ
(
g
−
1
)
g
{\displaystyle \textstyle e_{\rho }={\frac {\dim(\rho )}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{\rho }(g^{-1})g}
, seperti
e
triv
=
1
8
(
e
+
e
¯
+
i
+
i
¯
+
j
+
j
¯
+
k
+
k
¯
)
{\displaystyle e_{\text{triv}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}+j+{\bar {j}}+k+{\bar {k}})}
e
i
-ker
=
1
8
(
e
+
e
¯
+
i
+
i
¯
−
j
−
j
¯
−
k
−
k
¯
)
{\displaystyle e_{i{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}-j-{\bar {j}}-k-{\bar {k}})}
e
j
-ker
=
1
8
(
e
+
e
¯
−
i
−
i
¯
+
j
+
j
¯
−
k
−
k
¯
)
{\displaystyle e_{j{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}+j+{\bar {j}}-k-{\bar {k}})}
e
k
-ker
=
1
8
(
e
+
e
¯
−
i
−
i
¯
−
j
−
j
¯
+
k
+
k
¯
)
{\displaystyle e_{k{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}-j-{\bar {j}}+k+{\bar {k}})}
e
2
=
2
8
(
2
e
−
2
e
¯
)
=
1
2
(
e
−
e
¯
)
{\displaystyle e_{2}={\tfrac {2}{8}}(2e-2{\bar {e}})={\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})}
.Masing-masing dari cita-cita tak tersederhanakan ini isomorfik ke aljabar sederhana pusat nyata, empat pertama ke bidang nyata
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
. Ideal terakhir
(
e
2
)
{\displaystyle (e_{2})}
isomorfik terhadap bidang miring dari angka empat
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
dengan korespondensi:
1
2
(
e
−
e
¯
)
⟷
1
,
1
2
(
i
−
i
¯
)
⟷
i
,
1
2
(
j
−
j
¯
)
⟷
j
,
1
2
(
k
−
k
¯
)
⟷
k
.
{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(e-{\bar {e}})\longleftrightarrow 1,\ \ {\frac {1}{2}}(i-{\bar {i}})\longleftrightarrow i,\ \ {\frac {1}{2}}(j-{\bar {j}})\longleftrightarrow j,\ \ {\frac {1}{2}}(k-{\bar {k}})\longleftrightarrow k.}
Selanjutnya, proyeksi homomorfisme
R
[
Q
8
]
→
(
e
2
)
≅
H
{\displaystyle \mathbb {R} [Q_{8}]\to (e_{2})\cong \mathbb {H} }
diberikan oleh
r
↦
r
e
2
{\displaystyle r\mapsto re_{2}}
memiliki ideal kernel yang dihasilkan oleh idempoten:
e
2
⊥
=
e
1
+
e
i
-ker
+
e
j
-ker
+
e
k
-ker
=
1
2
(
e
+
e
¯
)
,
{\displaystyle e_{2}^{\perp }\ =\ \textstyle e_{1}+e_{i{\text{-ker}}}+e_{j{\text{-ker}}}+e_{k{\text{-ker}}}\ =\ {\frac {1}{2}}(e+{\bar {e}}),}
sehingga angka empat juga bisa diperoleh sebagai gelanggang hasil bagi
R
[
Q
8
]
/
(
e
+
e
¯
)
≅
H
{\displaystyle \mathbb {R} [Q_{8}]/(e+{\bar {e}})\cong \mathbb {H} }
.
Aljabar grup kompleks dengan demikian
C
[
Q
8
]
≅
C
⊕
4
⊕
M
2
(
C
)
{\displaystyle \mathbb {C} [Q_{8}]\cong \mathbb {C} ^{\oplus 4}\oplus M_{2}(\mathbb {C} )}
, dimana
M
2
(
C
)
≅
H
⊗
R
C
≅
H
⊕
H
{\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\!\mathbb {C} \cong \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }
adalah aljabar dari bikuaternion.
Representasi matriks
Kompleks tak tersederhanakan dua dimensi representasi yang dijelaskan di atas memberikan grup kuatnion Q8 sebagai subgrup dari grup linier umum
GL
2
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}
. Grup kuaternion adalah subgrup perkalian dari aljabar quaternion
H
=
R
1
+
R
i
+
R
j
+
R
k
=
C
1
+
C
j
{\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {R} 1+\mathbb {R} i+\mathbb {R} j+\mathbb {R} k=\mathbb {C} 1+\mathbb {C} j}
, yang memiliki representasi reguler
ρ
:
H
→
M
2
(
C
)
{\displaystyle \rho :\mathbb {H} \to \mathrm {M} _{2}(\mathbb {C} )}
perkalian kiri dengan sendirinya dianggap sebagai ruang vektor kompleks dengan basis
{
1
,
j
}
{\displaystyle \{1,j\}}
, sehingga
z
∈
H
{\displaystyle z\in \mathbb {H} }
sesuai dengan C-pemetaan linier
ρ
z
:
a
+
j
b
↦
z
⋅
(
a
+
j
b
)
{\displaystyle \rho _{z}:a{+}jb\mapsto z\cdot (a{+}jb)}
. Representasi yang dihasilkan
ρ
:
Q
8
→
G
L
2
(
C
)
,
g
↦
ρ
g
,
{\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {C} ),\ g\mapsto \rho _{g},}
diberikan oleh:
e
↦
(
1
0
0
1
)
i
↦
(
i
0
0
−
i
)
j
↦
(
0
−
1
1
0
)
k
↦
(
0
−
i
−
i
0
)
e
¯
↦
(
−
1
0
0
−
1
)
i
¯
↦
(
−
i
0
0
i
)
j
¯
↦
(
0
1
−
1
0
)
k
¯
↦
(
0
i
i
0
)
.
{\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}
Karena semua matriks di atas memiliki determinan unit, ini adalah representasi dari Q 8 dalam grup linear khusus SL2(C).
Varian memberikan representasi oleh matriks kesatuan (tabel di kanan). Maka
g
∈
Q
8
{\displaystyle g\in Q_{8}}
sesuai dengan pemetaan linier
ρ
g
:
a
+
b
j
↦
(
a
+
b
j
)
⋅
j
g
−
1
j
−
1
{\displaystyle \rho _{g}:a{+}bj\mapsto (a{+}bj)\cdot jg^{-1}j^{-1}}
, sehingga
ρ
:
Q
8
→
S
U
2
{\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {SU} _{2}}
diberikan oleh:
e
↦
(
1
0
0
1
)
i
↦
(
i
0
0
−
i
)
j
↦
(
0
1
−
1
0
)
k
↦
(
0
i
i
0
)
e
¯
↦
(
−
1
0
0
−
1
)
i
¯
↦
(
−
i
0
0
i
)
j
¯
↦
(
0
−
1
1
0
)
k
¯
↦
(
0
−
i
−
i
0
)
.
{\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}
Ada juga tindakan penting Q 8 pada ruang vektor 2 dimensi di atas bidang berhingga F3 = {0,1,−1} (tabel di kanan). Representasi modular
ρ
:
Q
8
→
S
L
(
2
,
3
)
{\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {SL} (2,3)}
diberikan oleh
e
↦
(
1
0
0
1
)
i
↦
(
1
1
1
−
1
)
j
↦
(
−
1
1
1
1
)
k
↦
(
0
−
1
1
0
)
e
¯
↦
(
−
1
0
0
−
1
)
i
¯
↦
(
−
1
−
1
−
1
1
)
j
¯
↦
(
1
−
1
−
1
−
1
)
k
¯
↦
(
0
1
−
1
0
)
.
{\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&1\\1&1\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&1\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}
Representasi ini dapat diperoleh dari bidang ekstensi F9 = F3[k] = F31 + F3k, dimana k2 = −1 dan grup perkalian (F9)× memiliki generator ±(k+1), ±(k-1) urutan 8. Dua dimensi F3-ruang vektor F9 mengakui pemetaan linier
μ
z
(
a
+
b
k
)
=
z
⋅
(
a
+
b
k
)
{\displaystyle \mu _{z}(a+bk)=z\cdot (a+bk)}
untuk z pada F9, serta Automorfisme Frobenius
ϕ
(
a
+
b
k
)
=
(
a
+
b
k
)
3
{\displaystyle \phi (a+bk)=(a+bk)^{3}}
satisfying
ϕ
2
=
μ
1
{\displaystyle \phi ^{2}=\mu _{1}}
dan
ϕ
μ
z
=
μ
ϕ
(
z
)
ϕ
{\displaystyle \phi \mu _{z}=\mu _{\phi (z)}\phi }
. Maka matriks representasi di atas adalah
ρ
(
e
¯
)
=
μ
−
1
{\displaystyle \rho ({\bar {e}})=\mu _{-1}}
,
ρ
(
i
)
=
μ
k
+
1
ϕ
{\displaystyle \rho (i)=\mu _{k+1}\phi }
,
ρ
(
j
)
=
μ
k
−
1
ϕ
{\displaystyle \rho (j)=\mu _{k-1}\phi }
, dan
ρ
(
k
)
=
μ
k
{\displaystyle \rho (k)=\mu _{k}}
.
Grup Galois
Seperti yang ditunjukkan Richard Dean pada tahun 1981, grup kuaternion dapat ditampilkan sebagai grup Galois Gal(T/Q) dimana Q adalah bidang bilangan rasional dan T adalah bidang pemisah di atas Q dari polinomial
x
8
−
72
x
6
+
180
x
4
−
144
x
2
+
36
{\displaystyle x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36}
.
Pengembangan menggunakan teorema fundamental teori Galois dalam menentukan empat bidang perantara antara Q dan T dan grup Galois mereka, serta dua teorema tentang ekstensi siklik derajat empat di atas bidang.
Grup angka empat digeneralisasi
Grup kuatnion umum Q4n urutan 4n ditentukan oleh presentasi
⟨
x
,
y
∣
x
2
n
=
y
4
=
1
,
x
n
=
y
2
,
y
−
1
x
y
=
x
−
1
⟩
{\displaystyle \langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle }
untuk bilangan bulat n ≥ 2, dengan kelompok angka empat yang biasa diberikan oleh n = 2. Coxeter menggunakan Q4n grup siklik
⟨
2
,
2
,
n
⟩
{\displaystyle \langle 2,2,n\rangle }
, kasus khusus dari grup polihedral biner
⟨
ℓ
,
m
,
n
⟩
{\displaystyle \langle \ell ,m,n\rangle }
dan terkait dengan grup polihedral
(
p
,
q
,
r
)
{\displaystyle (p,q,r)}
dan grup dihedral
(
2
,
2
,
n
)
{\displaystyle (2,2,n)}
. Grup quaternion umum dapat direalisasikan sebagai subgrup
GL
2
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}
dihasilkan oleh
(
ω
n
0
0
ω
¯
n
)
and
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&{\overline {\omega }}_{n}\end{array}}\right){\mbox{ and }}\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}
dimana
ω
n
=
e
i
π
/
n
{\displaystyle \omega _{n}=e^{i\pi /n}}
. Ini juga dapat direalisasikan sebagai subgrup unit quaternions yang dihasilkan oleh
x
=
e
i
π
/
n
{\displaystyle x=e^{i\pi /n}}
dan
y
=
j
{\displaystyle y=j}
.
Grup quaternion umum memiliki properti bahwa setiap subgrup abelian bersiklus. Dapat diperlihatkan bahwa p-group dengan properti ini (setiap subgrup abelian adalah siklik) bisa berupa siklik atau grup quaternion umum seperti yang didefinisikan di atas. Karakterisasi lain adalah bahwa sebuah grup p terbatas yang di dalamnya terdapat subgrup unik dari ordo p adalah siklik atau 2-grup isomorfik ke grup quaternion umum. Secara khusus, untuk bidang hingga F dengan karakteristik ganjil, subgrup 2-Sylow dari SL2(F) non-abelian dan hanya memiliki satu subgrup orde 2, jadi subgrup 2-Sylow ini harus menjadi grup quaternion umum, (Gorenstein 1980, hlm. 42). Maka pr menjadi ukuran F , di mana p adalah bilangan prima, ukuran subgrup 2-Sylow dari SL2(F) adalah 2n, dimana n = ord2(p2 − 1) + ord2(r).
Teorema Brauer–Suzuki menunjukkan bahwa grup yang subgrup Sylow 2-nya digeneralisasikan quaternion tidak bisa sederhana.
Terminologi lain mencadangkan nama "grup kuatnion umum" untuk kelompok siklik urutan pangkat 2, yang mengakui presentasi
⟨
x
,
y
∣
x
2
m
=
y
4
=
1
,
x
2
m
−
1
=
y
2
,
y
−
1
x
y
=
x
−
1
⟩
.
{\displaystyle \langle x,y\mid x^{2^{m}}=y^{4}=1,x^{2^{m-1}}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}
Lihat pula
sel-16
Grup tetrahedral biner
Aljabar Clifford
Grup dikiklik
Angka empat integral Hurwitz
Daftar grup kecil
Catatan
Referensi
Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-004763-2
Brown, Kenneth S. (1982), Cohomology of groups (edisi ke-3rd), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90688-1
Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999), Homological Algebra, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04991-5
Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
Dean, Richard A. (1981) "A rational polynomial whose group is the quaternions", American Mathematical Monthly 88:42–5.
Gorenstein, D. (1980), Finite Groups, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209
Johnson, David L. (1980), Topics in the theory of group presentations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-23108-4, MR 0695161
Rotman, Joseph J. (1995), An introduction to the theory of groups (edisi ke-4th), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8
P.R. Girard (1984) "The quaternion group and modern physics", European Journal of Physics 5:25–32.
Hall, Marshall (1999), The theory of groups (edisi ke-2nd), AMS Bookstore, ISBN 0-8218-1967-4
Kurosh, Alexander G. (1979), Theory of Groups, AMS Bookstore, ISBN 0-8284-0107-1
Pranala luar
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Quaternion group". MathWorld.
Quaternion groups on GroupNames Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine.
Quaternion group on GroupProps Diarsipkan 2023-05-14 di Wayback Machine.
Conrad, Keith. "Generalized Quaternions" Diarsipkan 2023-06-02 di Wayback Machine.