Identitas Euler GudangMovies21 Rebahinxxi LK21
Identitas Euler (bahasa Inggris: Euler's identity), juga dikenal sebagai persamaan Euler (bahasa Inggris: Euler's equation), dalam analisis matematika, adalah suatu persamaan yang dirumuskan sebagai:
e
i
π
+
1
=
0
,
{\displaystyle e^{i\pi }+1=0,\,\!}
di mana
e
{\displaystyle e\,\!}
adalah bilangan Euler,
i
{\displaystyle i\,\!}
adalah unit imajiner dan
π
{\displaystyle \pi \,\!}
adalah pi (atau konstanta Archimedes).
Analisis
Persamaan tersebut menunjukkan hubungan yang erat antar kelima bilangan paling penting dalam matematika, yaitu:
0
{\displaystyle 0\,\!}
adalah identitas penambahan,
1
{\displaystyle 1\,\!}
adalah identitas perkalian,
e
{\displaystyle e\,\!}
adalah bilangan Euler, basis logaritma natural, yang nilainya ≈ 2.718281828459045,
i
{\displaystyle i\,\!}
adalah unit imajiner, salah satu dari dua bilangan kompleks yang kuadratnya negatif satu (bilangan yang satu lagi adalah
−
i
{\displaystyle -i\,\!}
), dan
π
{\displaystyle \pi \,\!}
adalah pi, rasio perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang nilainya ≈ 3.141592653589793.
Perhatikan juga bahwa dalam persamaan tersebut terdapat operasi dasar aritmetika yaitu penambahan, perkalian, dan perpangkatan, dan masing-masing muncul tepat satu kali.
Identitas Euler dinamakan untuk mengenang ahli matematika Leonhard Euler.
Secara geometris persamaan ini dapat dibayangkan sebagai rotasi titik
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
pada bidang kompleks sebesar 180° (
π
{\displaystyle \pi }
radian), dilanjutkan dengan translasi sebesar
1
{\displaystyle 1}
searah sumbu
x
{\displaystyle x}
. Deretan transformasi tersebut tiba pada titik asal
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
.
Bukti
Identitas Euler dapat dibuktikan menggunakan rumus Euler, yaitu:
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!}
dengan mensubtitusikan
x
{\displaystyle x}
dengan
π
{\displaystyle \pi }
didapat:
e
i
π
=
cos
π
+
i
sin
π
=
−
1
+
i
⋅
0
=
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\pi }&=\cos \pi +i\sin \pi \\&=-1+i\cdot 0\\&=-1\end{aligned}}}
sehingga dengan menambahkan kedua ruas dengan 1 diperoleh persamaan:
e
i
π
+
1
=
0
{\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!}
. Q.E.D.
Lihat pula
Bilangan kompleks
Catatan
Referensi
Kata Kunci Pencarian:
identitas eulerrumus identitas eulerpembuktian identitas euler
Identitas Euler - Wikiwand
Euler's Identity - Openclipart
Best Eulers Number Royalty-Free Images, Stock Photos & Pictures ...
Euler's Identity by zalkore on deviantART
Trendy Euler Identity 40263847 Vector Art at Vecteezy
Euler’s Identity – The Culture SG
Euler's Identity Euler's Formula Euler's Formula Premium Matte Vertical ...
Stream Euler's identity by Johnnymusickman | Listen online for free on ...
What is Euler's Identity? - Complexity Dynamics
Euler's identity Mousepad by maththreads
Euler's identity formula in mathematics Stock Vector | Adobe Stock
Euler's identity | Villains Wiki | Fandom
