- Source: Aksioma peluang
Aksioma peluang standar adalah fondasi dari teori peluang yang diperkenalkan oleh matematikawan Andrey Kolmogorov pada tahun 1933. Aksioma-aksioma ini tetap menjadi pokok dan memiliki kontribusi langsung pada matematika, ilmu fisika, dan kasus-kasus peluang dalam kehidupan nyata.
Terdapat beberapa pendekatan lainnya (yang ekuivalen) dalam memformalkan peluang. Para ahli Bayesian seringkali memotivasi aksioma Kolmogorov dengan menggunakan teorema Cox sebagai gantinya.
Aksioma Kolmogorov
Aksioma Kolmogorov dapat dirangkum sebagai berikut: Diberikan suatu ruang ukuran
(
X
,
F
,
P
)
{\displaystyle \left(X,\,{\mathcal {F}},\,P\right)}
, dengan
P
(
A
)
{\displaystyle P\!\left(A\right)}
menyatakan peluang terjadinya kejadian
A
{\displaystyle A}
dan
P
(
X
)
=
1
{\displaystyle P\!\left(X\right)=1}
, maka tripel
(
X
,
F
,
P
)
{\displaystyle \left(X,\,{\mathcal {F}},\,P\right)}
adalah ruang peluang, dengan
X
{\displaystyle X}
sebagai ruang sampel,
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
sebagai ruang kejadian, dan
P
{\displaystyle P}
sebagai ukuran peluang.
= Tak negatif
=Peluang dari suatu kejadian adalah suatu bilangan riil tak negatif.
P
(
A
)
≥
0
∀
A
∈
F
{\displaystyle P\!\left(A\right)\geq 0\qquad \forall A\in {\mathcal {F}}}
Teori yang mengunakan nilai peluang negatif melonggarkan aksioma pertama.
= Unitaritas
=Peluang terjadinya suatu kejadian sederhana pada ruang sampel ialah 1.
P
(
X
)
=
1
{\displaystyle P\!\left(X\right)=1}
Dengan menggabungkan aksioma pertama dan kedua, maka nilai peluang
P
(
A
)
{\displaystyle P\!\left(A\right)}
pasti berhingga, berbeda dengan teori ukur secara umum.
= Aditif-sigma
=Setiap barisan himpunan terhitung
⟨
A
n
⟩
{\displaystyle \langle A_{n}\rangle }
yang bersifat saling lepas (atau dengan kata lain, himpunan kejadian-kejadian yang saling lepas) akan memenuhi persamaan berikut.
P
(
A
1
∪
A
2
∪
A
3
∪
…
)
=
P
(
A
1
)
+
P
(
A
2
)
+
P
(
A
3
)
+
…
{\displaystyle P\!\left(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots \right)=P\!\left(A_{1}\right)+P\!\left(A_{2}\right)+P\!\left(A_{3}\right)+\ldots }
Dengan menggunakan notasi Sigma dan notasi gabungan besar, maka
P
(
⋃
n
=
1
∞
A
n
)
=
∑
n
=
1
∞
P
(
A
n
)
{\displaystyle P\!\left(\bigcup _{n\,=\,1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }P\!\left(A_{n}\right)}
Beberapa penulis hanya mensyaratkan ruang peluang aditif berhingga, yang dalam kasus tersebut, cukup diperlukan himpunan aljabar, daripada aljabar sigma.
Sifat-sifat peluang
Berdasarkan aksioma Kolmogorov di atas, maka dapat dibuktikan beberapa sifat peluang. Bukti dari sifat-sifat ini mengilustrasikan seberapa kuatnya aksioma ketiga, beserta interaksinya dengan dua aksioma pertama.
Diberikan suatu ruang peluang
(
X
,
F
,
P
)
{\displaystyle \left(X,\,{\mathcal {F}},\,P\right)}
dan diambil sembarang
A
,
B
∈
F
{\displaystyle A,\,B\in {\mathcal {F}}}
. Beberapa sifat peluang antara lain:
= Monoton
=Jika
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
, maka
P
(
A
)
≤
P
(
B
)
{\displaystyle P\!\left(A\right)\leq P\!\left(B\right)}
Bukti:
Perhatikan himpunan
A
{\displaystyle A}
dan himpunan
B
∖
A
{\displaystyle B\setminus A}
. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka
A
∩
(
B
∖
A
)
=
∅
A
∪
(
B
∖
A
)
=
B
P
(
A
)
+
P
(
B
∖
A
)
=
P
(
B
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}A&\cap &\left(B\setminus A\right)&=&\varnothing \\A&\cup &\left(B\setminus A\right)&=&B\\\hline P\!\left(A\right)&+&P\!\left(B\setminus A\right)&=&P\!\left(B\right)\end{array}}}
Pada baris kedua, gabungan dari himpunan
A
{\displaystyle A}
dan himpunan
B
∖
A
{\displaystyle B\setminus A}
adalah himpunan
B
{\displaystyle B}
, sebab diketahui bahwa
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
. Berdasarkan aksioma tak negatif, maka diperoleh
P
(
B
∖
A
)
≥
0
P
(
B
)
−
P
(
A
)
≥
0
P
(
B
)
≥
P
(
A
)
{\displaystyle {\begin{aligned}P\!\left(B\setminus A\right)&\geq 0\\P\!\left(B\right)-P\!\left(A\right)&\geq 0\\P\!\left(B\right)&\geq P\!\left(A\right)\end{aligned}}}
sehingga terbukti bahwa
P
(
A
)
≤
P
(
B
)
{\displaystyle P\!\left(A\right)\leq P\!\left(B\right)}
apabila
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
.
= Peluang dari himpunan kosong
=P
(
∅
)
=
0
{\displaystyle P\!\left(\varnothing \right)=0}
Dalam banyak kasus,
∅
{\displaystyle \varnothing }
bukanlah satu-satunya kejadian dengan nilai peluang 0.
Bukti:
Salah satu sifat dari himpunan kosong adalah
∅
⊆
A
{\displaystyle \varnothing \subseteq A}
Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka
A
∩
∅
=
∅
A
∪
∅
=
A
P
(
A
)
+
P
(
∅
)
=
P
(
A
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}A&\cap &\varnothing &=&\varnothing \\A&\cup &\varnothing &=&A\\\hline P\!\left(A\right)&+&P\!\left(\varnothing \right)&=&P\!\left(A\right)\end{array}}}
Dengan mengurangi kedua ruas pada persamaan di atas dengan
P
(
A
)
{\displaystyle P\!\left(A\right)}
, maka terbukti bahwa
P
(
∅
)
=
0
{\displaystyle P\!\left(\varnothing \right)=0}
= Peluang komplemen
=P
(
A
′
)
=
1
−
P
(
A
)
{\displaystyle P\!\left(A'\right)=1-P\!\left(A\right)}
dengan
A
′
{\displaystyle A'}
menyatakan komplemen dari himpunan
A
{\displaystyle A}
Bukti:
Perhatikan himpunan
A
{\displaystyle A}
dan
A
′
{\displaystyle A'}
. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka
A
∩
A
′
=
∅
A
∪
A
′
=
X
P
(
A
)
+
P
(
A
′
)
=
P
(
X
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}A&\cap &A'&=&\varnothing \\A&\cup &A'&=&X\\\hline P\!\left(A\right)&+&P\!\left(A'\right)&=&P\!\left(X\right)\end{array}}}
Berdasarkan aksioma Unitaritas, maka
P
(
X
)
=
1
{\displaystyle P\!\left(X\right)=1}
, sehingga persamaan di atas dapat dituliskan sebagai
P
(
A
)
+
P
(
A
′
)
=
1
P
(
A
′
)
=
1
−
P
(
A
)
{\displaystyle {\begin{aligned}P\!\left(A\right)+P\!\left(A'\right)&=1\\P\!\left(A'\right)&=1-P\!\left(A\right)\end{aligned}}}
= Nilai numerik
=0
≤
P
(
A
)
≤
1
{\displaystyle 0\leq P\!\left(A\right)\leq 1}
Bukti:
Telah diperoleh sebelumnya bahwa peluang bersifat monoton. Akibatnya,
∅
⊆
A
⊆
X
P
(
∅
)
≤
P
(
A
)
≤
P
(
X
)
0
≤
P
(
A
)
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\varnothing &\subseteq A\subseteq X\\P\!\left(\varnothing \right)&\leq P\!\left(A\right)\leq P\!\left(X\right)\\0&\leq P\!\left(A\right)\leq 1\end{aligned}}}
= Aturan penjumlahan
=P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
{\displaystyle P\!\left(A\cup B\right)=P\!\left(A\right)+P\!\left(B\right)-P\!\left(A\cap B\right)}
Bukti:
Perhatikan himpunan
A
∩
B
{\displaystyle A\cap B}
dan
B
∖
A
{\displaystyle B\setminus A}
. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka didapatkan
(
A
∩
B
)
∩
(
B
∖
A
)
=
∅
(
A
∩
B
)
∪
(
B
∖
A
)
=
B
P
(
A
∩
B
)
+
P
(
B
∖
A
)
=
P
(
B
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}\left(A\cap B\right)&\cap &\left(B\setminus A\right)&=&\varnothing \\\left(A\cap B\right)&\cup &\left(B\setminus A\right)&=&B\\\hline P\!\left(A\cap B\right)&+&P\!\left(B\setminus A\right)&=&P\!\left(B\right)\end{array}}}
Sekarang perhatikan himpunan
A
{\displaystyle A}
dan himpunan
B
∖
A
{\displaystyle B\setminus A}
. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka didapatkan
A
∩
(
B
∖
A
)
=
∅
A
∪
(
B
∖
A
)
=
A
∪
B
P
(
A
)
+
P
(
B
∖
A
)
=
P
(
A
∪
B
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}A&\cap &\left(B\setminus A\right)&=&\varnothing \\A&\cup &\left(B\setminus A\right)&=&A\cup B\\\hline P\!\left(A\right)&+&P\!\left(B\setminus A\right)&=&P\!\left(A\cup B\right)\end{array}}}
Berdasarkan kedua persamaan di atas, maka diperoleh
P
(
B
∖
A
)
+
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
B
)
P
(
B
∖
A
)
=
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
P
(
A
)
+
P
(
B
∖
A
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
{\displaystyle {\begin{aligned}P\!\left(B\setminus A\right)+P\!\left(A\cap B\right)&=P\!\left(B\right)\\P\!\left(B\setminus A\right)&=P\!\left(B\right)-P\!\left(A\cap B\right)\\P\!\left(A\right)+P\!\left(B\setminus A\right)&=P\!\left(A\right)+P\!\left(B\right)-P\!\left(A\cap B\right)\\P\!\left(A\cup B\right)&=P\!\left(A\right)+P\!\left(B\right)-P\!\left(A\cap B\right)\end{aligned}}}
Rumus ini dapat diperluas untuk lebih dari dua himpunan, yang dikenal dengan prinsip inklusi-eksklusi.
Lihat juga
Aljabar Borel
Peluang bersyarat
Statistika Intuitif
Teori himpunan
Aljabar sigma
Referensi
Bacaan lanjutan
(Inggris) DeGroot, Morris H. (1975). Probability and Statistics. Reading: Addison-Wesley. hlm. 12–16. ISBN 0-201-01503-X.
(Inggris) McCord, James R.; Moroney, Richard M. (1964). "Axiomatic Probability". Introduction to Probability Theory. New York: Macmillan. hlm. 13–28.
Kata Kunci Pencarian:
- Aksioma peluang
- Matematika
- Variabel acak
- Teori himpunan
- Ukuran (matematika)
- 1 (angka)
- Abstraksi (matematika)
- Himpunan (matematika)
- Diagram Venn
- Nilai harapan
