Dalam matematika,
Variabel acak atau peubah stokastik (bahasa Inggris: random variable) adalah istilah untuk menyebut besaran atau objek yang bergantung pada kejadian
acak.
Secara informal, keacakan umumnya menyatakan suatu aspek kebolehjadian (peluang), seperti ketika melantunkan sebuah dadu, atau menyatakan aspek ketidakpastian, seperti kesalahan pengukuran. Akan tetapi, interpretasi dari peluang rumit secara filsafat, dan bahkan untuk kasus yang spesifik masih dapat berbelit-belit. Analisis mengenai
Variabel acak secara matematika tidak bergantung pada interpretasi filsafat (sehingga tidak memiliki kesulitan-kesulitan yang dihadapi ilmu filsafat), dan dapat didasarkan pada kerangka aksioma yang tegas (rigor).
Dalam bahasa matematika formal tentang teori ukuran,
Variabel acak didefinisikan sebagai fungsi terukur dari sebuah ruang ukuran peluang (disebut dengan ruang sampel) ke suatu ruang terukur. Definisi ini memungkinkan analisis tentang ukuran pushforward, yang disebut distribusi dari
Variabel acak; akibatnya distribusi dapat diartikan sebagai ukuran peluang pada himpunan semua nilai yang mungkin dari
Variabel acak. Dua
Variabel acak dapat memiliki distribusi yang identik namun juga berbeda secara signifikan; contohnya ketika keduanya saling bebas.
Pembahasan mengenai
Variabel acak umumnya berisi tentang analisis untuk
Variabel acak diskret dan
Variabel acak kontinu secara absolut. Kedua analisis tersebut masing-masing bersesuaian paada kasus ketika
Variabel acak terletak pada himpunan yang diskret (seperti sebuah himpunan hingga) atau terletak pada interval bilangan real. Ada jenis-jenis
Variabel acak lain yang penting, khususnya dalam teori proses stokastik, yang didalamnya mempelajari barisan-barisan
acak dan fungsi-fungsi
acak. Terkadang istilah
Variabel acak digunakan untuk merujuk pada besaran
acak yang berupa bilangan real, sedangkan besaran-besaran yang lebih umum disebut dengan elemen
acak.
Definisi
Sebuah
Variabel acak
X
{\displaystyle X}
adalah sebuah fungsi terukur
X
:
Ω
→
E
{\displaystyle X\colon \Omega \to E}
dari sebuah himpunan hasil yang mungkin
Ω
{\displaystyle \Omega }
ke sebuah ruang terukur
E
{\displaystyle E}
. Definisi aksiomatik yang teknis mengharuskan
Ω
{\displaystyle \Omega }
sebagai sebuah ruang sampel dari tripel peluang
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}
.
Variabel acak umum dinyatakan dengan huruf Latin kapital, seperti
X
{\displaystyle X}
,
Y
{\displaystyle Y}
,
Z
{\displaystyle Z}
,
T
{\displaystyle T}
.
Peluang
X
{\displaystyle X}
menghasilkan suatu nilai pada suatu himpunan terukur
B
⊆
E
{\displaystyle B\subseteq E}
ditulis sebagai
P
X
(
B
)
=
P
(
X
−
1
(
B
)
)
=
P
(
{
ω
∈
Ω
∣
X
(
ω
)
∈
B
}
)
{\displaystyle \operatorname {P} _{X}(B)=\operatorname {P} {\Big (}X^{-1}(B){\Big )}=\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in B\})}
= Kasus yang umum
=
Pada banyak kasus,
Variabel acak
X
{\displaystyle X}
bernilai real; sebagai contoh,
E
=
R
{\displaystyle E=\mathbb {R} }
. Dalam beberapa konteks, istilah elemen
acak digunakan untuk menyebut
Variabel acak yang bukan bernilai real.
Ketika citra (atau range) dari
X
{\displaystyle X}
dapat dihitung,
Variabel acak itu disebut sebagai
Variabel acak diskret.:399 Distribusi dari
Variabel acak jenis ini adalah sebuah distribusi peluang diskret, yang dapat didefinisikan dengan sebuah fungsi massa peluang yang memetakan suatu peluang ke setiap nilai pada citra dari
X
{\displaystyle X}
. Tapi jika citra
X
{\displaystyle X}
tidak dapat dihitung (umumnya berupa selang) maka
X
{\displaystyle X}
disebut sebagai
Variabel acak kontinu. Pada kasus khusus citra bersifat kontinu secara absolut, distribusinya dapat dideskripsikan dengan sebuah fungsi kepadatan peluang, yang memetakan peluang ke selang; secara khusus, setiap titik pada
Variabel acak kontinu secara absolut harus memiliki peluang 0. Tidak semua
Variabel acak kontinu bersifat kontinu secara absolut, distribusi gabungan adalah salah satu buktinya:
Variabel acaknya tidak dapat dideskripsikan lewat fungsi massa peluang maupun fungsi kepadatan peluang.
Setiap
Variabel acak dapat dideskripsikan lewat fungsi distribusi kumulatif-nya, yang menyatakan peluang
Variabel acaka akan bernilai kurang dari atau sama dengan suatu nilai tertentu.
= Perluasan
=
Istilah "
Variabel acak" dalam statistika secara tradisional dibatasi untuk kasus bernilai real (
E
=
R
{\displaystyle E=\mathbb {R} }
). Dalam kasus ini, struktur dari bilangan real memungkinkan untuk mendefinisikan besaran-besaran seperti nilai ekspektasi dan varians dari sebuah
Variabel acak, fungsi distribusi kumulatif, dan momen dari distribusinya. Namun definisi
Variabel acak juga dapat digunakan untuk elemen-elemen
acak pada himpunan
E
{\displaystyle E}
yang lain; seperti himpunan vektor, matriks, barisan
acak, graf, lipatan, dan fungsi, yang
acak.
Konsep elemen
acak yang lebih umum ini lebih berguna untuk bidang ilmu seperti teori graf, pemelajaran mesin, pengolahan bahasa alami, dan bidang-bidang di matematika diskret dan ilmu komputer. Bidang-bidang tersebut lebih tertarik untuk memodelkan variasi
acak dari struktur data non-numerik. Tapi pada beberapa kasus, representasi setiap elemen di of
E
{\displaystyle E}
sebagai [beberapa] bilangan real lebih disukai. Untuk kasus-kasus ini, elemen
acak dapat direpresentasikan sebagai sebuah vektor
Variabel acak bernilai real (yang didefinisikan pada ruang peluang
Ω
{\displaystyle \Omega }
yang sama). Sebagai contoh:
Sebuah kata
acak dapat direpresentasikan sebagai sebuah bilangan
acak yang menyatakan indeks kata tersebut pada suatu kamus berisi semua kata yang mungkin ada. Alternatif lain, kata
acak dapat direpresentasikan sebagai sebuah vektor indikator
acak
(
1
0
0
0
⋯
)
{\displaystyle (1\ 0\ 0\ 0\ \cdots )}
,
(
0
1
0
0
⋯
)
{\displaystyle (0\ 1\ 0\ 0\ \cdots )}
,
(
0
0
1
0
⋯
)
{\displaystyle (0\ 0\ 1\ 0\ \cdots )}
, yang panjangnya sama dengan panjang kamus dan posisi angka 1 menyatakan kata.
Sebuah graf
acak pada suatu
N
{\displaystyle N}
verteks dapat direpresentasikan sebagai sebuah matriks
Variabel acak berukuran
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
, yang elemen-elemennya menyatakan matriks ketetanggaan dari graf
acak.
Referensi
= Pustaka
=
Pranala luar
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Random variable", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Zukerman, Moshe (2014), Introduction to Queueing Theory and Stochastic Teletraffic Models (PDF), arXiv:1307.2968
Zukerman, Moshe (2014), Basic Probability Topics (PDF)
