Hasil Pencarian:
- Bilangan bulat
- Bilangan
- Bilangan prima
- Benci Bilang Cinta
- Teori bilangan
- Orang Bilang
- Sistem bilangan biner
- Bilangan kompleks
- Bilangan irasional
- Daftar bilangan besar
- Bilangan riil
- Bilangan oksidasi
- Lontara Bilang-bilang
- Kabupaten Mahakam Ulu
- Bilangan kuantum
- Bilangan asli
- Angka Romawi
- Bilangan cacah
- Pangkat dua
- Bilangan Reynolds
Artikel: Bilangan bulat
Bilangan bulat adalah Bilangan yang dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Sebagai contoh, 21, 4, 0, -3, -67 dan -2048 merupakan Bilangan bulat, sedangkan 9,75 , 5 12 , dan
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
bukan.
Himpunan Bilangan bulat terdiri dari angka 0, semua Bilangan bulat positif
{
1
,
2
,
3
,
…
}
{\displaystyle \{1,2,3,\dots \}}
(juga disebut dengan Bilangan asli), dan invers aditif-nya, semua Bilangan bulat negatif
{
−
1
,
−
2
,
−
3
,
…
}
{\displaystyle \{-1,-2,-3,\dots \}}
. Dalam matematika, himpunan ini sering dilambangkan dengan
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
, atau huruf tebal (
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
). Huruf kapital Z yang digunakan berasal dari kata Zahlen, yang berarti Bilangan dalam bahasa Jerman.
Subhimpunan
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
yang hanya terdiri dari angka 0 dan Bilangan-Bilangan bulat positif disebut dengan Bilangan cacah. Himpunan
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
sendiri merupakan subhimpunan dari himpunan Bilangan rasional, karena nilainya dapat ditulis sebagai pecahan dengan penyebut 1. Bilangan rasional selanjutnya merupakan subhimpunan dari himpunan Bilangan riil.
Konstruksi
Dalam pengajaran di sekolah, Bilangan bulat umumnya didefinisikan secara intuitif sebagai kumpulan Bilangan asli, angka nol, dan negatif dari kumpulan Bilangan asli (maksudnya
{
−
1
,
−
2
,
−
3
,
…
}
{\displaystyle \{-1,-2,-3,\dots \}}
). Namun, definisi ini memerlukan banyak kasus (setiap operasi perlu didefinisikan untuk setiap kombinasi jenis Bilangan) dan menyulitkan untuk membuktikan bahwa Bilangan bulat memenuhi berbagai rumus aritmetika. Karena itu, matematika yang modern menggunakan definisi yang lebih lebih abstrak, yang memungkinkan operasi-operasi aritmetika didefinisikan tanpa perlu membaginya dalam kasus-kasus. Bilangan bulat selanjutnya dikonstruksi (didefinisikan) secara formal sebagai kelas-kelas ekuivalensi dari pasangan terurut Bilangan asli
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
.
Pasangan
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
dapat dianggap sebagai hasil dari mengurangi
b
{\displaystyle b}
dari
a
{\displaystyle a}
. Untuk memastikan bahwa 1 − 2 dan 4 − 5 menghasilkan Bilangan yang sama, relasi ekuivalensi ~ didefinisikan pada pasangan-pasangan ini dengan aturan:
(
a
,
b
)
∼
(
c
,
d
)
{\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}
tepat ketika
a
+
d
=
b
+
c
{\displaystyle a+d=b+c}
.
Operasi penjumlahan dan perkalian Bilangan bulat selanjutnya dapat didefinisikan dalam operasi ekuivalensi pada Bilangan asli. Dengan menggunakan notasi
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]}
untuk menyatakan kelas ekuivalensi yang memiliki
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
sebagai anggota, dapat dituliskan:
[
(
a
,
b
)
]
+
[
(
c
,
d
)
]
:=
[
(
a
+
c
,
b
+
d
)
]
{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]}
.
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
c
,
d
)
]
:=
[
(
a
c
+
b
d
,
a
d
+
b
c
)
]
{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]}
.
Invers (lawan) penjumlahan dari suatu Bilangan bulat dapat dihasilkan dengan menukar urutan dari pasangan:
−
[
(
a
,
b
)
]
:=
[
(
b
,
a
)
]
{\displaystyle -[(a,b)]:=[(b,a)]}
.
Sehingga operasi pengurangan dapat didefinisikan sebagai penjumlahan dari invers penjumlahan:
[
(
a
,
b
)
]
−
[
(
c
,
d
)
]
:=
[
(
a
+
d
,
b
+
c
)
]
{\displaystyle [(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)]}
.
Pengurutan yang standar pada Bilangan-Bilangan bulat dapat dituliskan sebagai:
[
(
a
,
b
)
]
<
[
(
c
,
d
)
]
{\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]}
jika dan hanya jika
a
+
d
<
b
+
c
{\displaystyle a+dBilangan asli
n
{\displaystyle n}
, sedangkan kelas
[
(
0
,
n
)
]
{\displaystyle [(0,n)]}
diwakilkan oleh Bilangan
−
n
{\displaystyle -n}
. Angka
−
0
=
0
{\displaystyle -0=0}
mewakili kelas
[
(
0
,
0
)
]
{\displaystyle [(0,0)]}
. Secara umum, kelas
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]}
diwakili oleh Bilangan bulat
{
a
−
b
,
jika
a
≥
b
−
(
b
−
a
)
,
jika
a
<
b
{\displaystyle {\begin{cases}a-b,&{\mbox{jika }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{jika }}aBilangan bulat seperti di atas menghasilkan representasi Bilangan bulat sebagai
{
…
,
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle \{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}}
yang familiar. Berikut beberapa contoh Bilangan bulat dan kelas ekuivalen yang diwakilinya:
0
=
[
(
0
,
0
)
]
=
[
(
1
,
1
)
]
=
⋯
=
[
(
k
,
k
)
]
1
=
[
(
1
,
0
)
]
=
[
(
2
,
1
)
]
=
⋯
=
[
(
k
+
1
,
k
)
]
−
1
=
[
(
0
,
1
)
]
=
[
(
1
,
2
)
]
=
⋯
=
[
(
k
,
k
+
1
)
]
2
=
[
(
2
,
0
)
]
=
[
(
3
,
1
)
]
=
⋯
=
[
(
k
+
2
,
k
)
]
−
2
=
[
(
0
,
2
)
]
=
[
(
1
,
3
)
]
=
⋯
=
[
(
k
,
k
+
2
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)]\end{aligned}}}
