- Source: Bukti bahwa e irasional
Templat:Konstanta matematika
Bilangan e diperkenalkan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1683. Setengah abad kemudian, Euler (yang merupakan siswa adik Jacob, Johann) berhasil membuktikan bahwa e adalah bilangan irasional, atau dalam kata lain tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat.
Bukti Euler
Euler menulis bukti pertama irasionalitas e pada tahun 1737 (tetapi tulisannya baru diterbitkan tujuh tahun kemudian). Ia menghitung e sebagai pecahan berlanjut, yaitu:
e
=
[
2
;
1
,
2
,
1
,
1
,
4
,
1
,
1
,
6
,
1
,
1
,
8
,
1
,
1
,
…
,
2
n
,
1
,
1
,
…
]
.
{\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\ldots ,2n,1,1,\ldots ].}
Bukti Fourier
Bukti yang paling dikenal adalah reductio ad absurdum Joseph Fourier, yang didasarkan pada pernyataan berikut:
e
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
⋅
{\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\cdot }
Pada awalnya e diasumsikan sebagai bilangan rasional dengan bentuk a⁄b. Perlu dicatat bahwa b tidak mungkin sama dengan satu karena e bukan bilangan bulat. Dari pernyataan di atas dapat ditunjukkan bahwa e hanya berada di antara 2 dan 3.
2
=
1
+
1
1
!
<
e
=
1
+
1
1
!
+
1
2
!
+
1
3
!
+
⋯
<
1
+
(
1
+
1
2
+
1
2
2
+
1
2
3
+
⋯
)
=
3
{\displaystyle 2=1+{\tfrac {1}{1!}}\ \ <\ \ e=1+{\tfrac {1}{1!}}+{\tfrac {1}{2!}}+{\tfrac {1}{3!}}+\cdots \ \ <\ \ 1+(1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{3}}}+\cdots )\ \ =\ \ 3}
Bukti lain
Bukti lain dapat diperoleh dengan mencatat bahwa
(
b
+
1
)
x
=
1
+
1
b
+
2
+
1
(
b
+
2
)
(
b
+
3
)
+
⋯
<
1
+
1
b
+
1
+
1
(
b
+
1
)
(
b
+
2
)
+
⋯
=
1
+
x
,
{\displaystyle (b+1)x=1+{\frac {1}{b+2}}+{\frac {1}{(b+2)(b+3)}}+\cdots <1+{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+\cdots =1+x,}
Pernyataan berikut juga dapat dijadikan sebagai bukti:
1
e
=
e
−
1
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
!
⋅
{\displaystyle {\frac {1}{e}}=e^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\cdot }
Lihat pula
Teorema Lindemann–Weierstrass
Catatan kaki
Kata Kunci Pencarian:
- Bukti bahwa e irasional
- Bilangan irasional
- E (konstanta matematika)
- Akar kuadrat
- Logaritma alami
- Daftar topik eksponensial
- Bilangan riil
- Bilangan transenden
- Pi
- Akar kuadrat dari 2
