Di dalam matematika,
Akar kuadrat atau
Akar persegi dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian sehingga r2 = x, atau, di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila dikuadratkan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama dengan x. Setiap bilangan real tak-negatif, katakanlah x memiliki
Akar kuadrat tak-negatif yang tunggal, disebut
Akar kuadrat utama, yang dilambangkan oleh
Akar ke-n sebagai
x
{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {x}}}
.
Akar kuadrat dapat juga dituliskan dengan notasi eksponen, sebagai x1/2. Misalnya,
Akar kuadrat utama dari 9 adalah 3, dituliskan dengan
9
=
3
{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {9}}=3}
, karena 32 = 3 × 3 = 9 dan 3 tak-negatif. Bagaimanapun,
Akar kuadrat utama dari sebuah bilangan positif hanya satu dari dua
Akar kuadratnya.
Setiap bilangan positif x memiliki dua
Akar kuadrat. Salah satunya adalah
x
{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {x}}}
, yakni yang bernilai positif, sementara yang lainnya adalah
−
x
{\displaystyle \scriptstyle -{\sqrt {x}}}
, yakni yang bernilai negatif. Kedua-dua
Akar kuadrat itu dilambangkan dengan
±
x
{\displaystyle \scriptstyle \pm {\sqrt {x}}}
.
Akar kuadrat dari bilangan negatif dibahas di dalam kerangka kajian bilangan kompleks. Lebih umum lagi,
Akar kuadrat dapat dipandang dari beraneka konteks di mana notasi "penguadratan" beberapa objek matematika didefinisi (termasuk aljabar matriks, gelanggang endomorfisma, dll).
Akar kuadrat dari bilangan bulat yang bukan merupakan
kuadrat sempurna adalah selalu bilangan irasional (disebut juga bilangan takrasional: bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat. Misalnya,
2
{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}
tidak dapat dituliskan secara tepat oleh m/n, di mana n dan m adalah bilangan bulat. Meskipun demikian, ia adalah nilai yang pasti dari panjang diagonal sebuah persegi yang panjang sisinya sama dengan 1. Kejadian ini telah dikenal sejak zaman kuno, dengan ditemukannya bahwa
2
{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}
adalah irasional oleh Hippasus, murid dari Pythagoras. (Lihat
Akar kuadrat dari 2 untuk membuktikan ketakrasionalan bilangan ini dan irasional
kuadrat untuk membuktikan semua bilangan asli yang bukan
kuadrat)
Radikan adalah bilangan atau penyajian matematika di bawah tanda
Akar. Di dalam penyajian
a
b
+
2
n
{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{n}]{ab+2}}}
, ab + 2 adalah radikan.
Sifat
Fungsi
Akar kuadrat utama
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle \scriptstyle f(x)={\sqrt {x}}}
(biasanya hanya disebut sebagai "fungsi
Akar kuadrat") adalah fungsi yang memetakan himpunan bilangan real taknegatif R+ ∪ {0} kepada himpunan itu sendiri, dan, seperti semua fungsi, selalu memiliki nilai balikan yang tunggal. Fungsi
Akar kuadrat juga memetakan bilangan rasional ke dalam bilangan aljabar (adihimpunan bilangan rasional);
x
{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {x}}}
adalah rasional jika dan hanya jika x adalah bilangan rasional yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua
kuadrat sempurna. Di dalam istilah geometri, fungsi
Akar kuadrat memetakan luas dari persegi kepada panjang sisinya.
Untuk setiap bilangan real x
x
2
=
|
x
|
=
{
x
,
if
x
≥
0
−
x
,
if
x
<
0.
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}}
(lihat nilai absolut)
Untuk setiap bilangan real taknegatif x dan y,
x
y
=
x
y
{\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}
dan
x
=
x
1
/
2
.
{\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{1/2}.}
Fungsi
Akar kuadrat adalah kontinu untuk setiap bilangan taknegatif x dan terdiferensialkan untuk setiap bilangan positif x. Turunannya diberikan oleh
f
′
(
x
)
=
1
2
x
.
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}
Deret Taylor dari √1 + x di dekat x = 0 konvergen ke | x | < 1 dan diberikan oleh
1
+
x
=
1
+
1
2
x
−
1
8
x
2
+
1
16
x
3
−
5
128
x
4
+
…
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots \!}
Akar kuadrat dari bilangan bulat positif
Bilangan positif memiliki dua
Akar kuadrat, satu positif, dan satu negatif, yang berlawanan satu sama lain. Ketika berbicara tentang
Akar kuadrat dari bilangan bulat positif, biasanya yang dimaksud adalah
Akar kuadrat positif.
Akar kuadrat dari bilangan bulat adalah bilangan bulat aljabar, lebih spesifiknya bilangan bulat
kuadrat.
Akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah hasil kali dari
Akar faktor prima, karena
Akar kuadrat dari suatu perkalian adalah hasil kali dari
Akar kuadrat faktor. Maka
p
2
k
=
p
k
,
{\displaystyle {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}
hanya
Akar dari bilangan prima yang memiliki pangkat ganjil dalam faktorisasi yang diperlukan. Lebih tepatnya,
Akar kuadrat dari faktorisasi prima adalah
p
1
2
e
1
+
1
⋯
p
k
2
e
k
+
1
p
k
+
1
2
e
k
+
1
…
p
n
2
e
n
=
p
1
e
1
…
p
n
e
n
p
1
…
p
k
.
{\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.}
= Sebagai ekspansi desimal
=
Akar kuadrat dari
kuadrat sempurna s (misalnya, 0, 1, 4, 9, 16) adalah bilangan bulat. Dalam semua kasus lainnya,
Akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah bilangan irasional s, dan karenanya memiliki non-desimal berulang dalam representasi desimal. Perkiraan desimal dari
Akar kuadrat dari beberapa bilangan asli pertama diberikan dalam tabel berikut.
= Sebagai perluasan dalam sistem angka lainnya
=
Seperti sebelumnya,
Akar kuadrat dari
kuadrat sempurna (misalnya, 1, 4, 9, 16) adalah bilangan bulat. Dalam semua kasus lainnya,
Akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah bilangan irasional s, dan oleh karena itu memiliki digit yang tidak berulang dalam sistem notasi posisi standar.
Akar kuadrat dari bilangan bulat kecil digunakan di kedua desain fungsi hash SHA-1 dan SHA-2 untuk memberikan tidak ada bilangan lengan.
= Sebagai pecahan lanjutan periodik
=
Salah satu hasil paling menarik dari studi bilangan irasional s karena pecahan kontinu diperoleh dengan Joseph Louis Lagrange ca 1780. Lagrange menemukan bahwa representasi dari
Akar kuadrat dari bilangan bulat positif bukan
kuadrat sebagai pecahan lanjutan adalah berkala. Artinya, pola penyebut parsial tertentu berulang tanpa batas waktu dalam pecahan lanjutan. Dalam arti tertentu,
Akar kuadrat ini adalah bilangan irasional yang paling sederhana, karena mereka dapat direpresentasikan dengan pola berulang sederhana dari bilangan bulat.
Notasi kurung siku yang digunakan di atas adalah singkatan dari pecahan lanjutan. Ditulis dalam bentuk aljabar yang lebih sugestif, pecahan lanjutan sederhana untuk
Akar kuadrat dari 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], terlihat seperti ini:
11
=
3
+
1
3
+
1
6
+
1
3
+
1
6
+
1
3
+
⋱
{\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}}
di mana pola dua digit {3, 6} berulang lagi dan lagi pada penyebut parsial. Karena 11 = 32 + 2, di atas juga identik dengan pecahan lanjutan umum:
11
=
3
+
2
6
+
2
6
+
2
6
+
2
6
+
2
6
+
⋱
=
3
+
6
20
−
1
−
1
20
−
1
20
−
1
20
−
1
20
−
⋱
.
{\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.}
Akar kuadrat dari bilangan negatif dan kompleks
kuadrat dari bilangan positif atau negatif adalah positif, dan
kuadrat 0 adalah 0. Oleh karena itu, tidak ada bilangan negatif yang dapat memiliki
Akar kuadrat nyata. Namun, dimungkinkan untuk bekerja dengan himpunan bilangan yang lebih inklusif, yang disebut bilangan kompleks s, yang memang berisi solusi untuk
Akar kuadrat dari bilangan negatif. Ini dilakukan dengan memasukkan angka baru, dilambangkan dengan i (terkadang j , terutama dalam konteks listrik di mana " i " secara tradisional mewakili arus listrik) dan disebut unit imajiner, yang didefinisikan sedemikian rupa i2 = −1. Dengan menggunakan notasi ini, kita dapat menganggap i sebagai
Akar kuadrat dari −1, tetapi kita juga punya (−i)2 = i2 = −1 dan jadi - i juga merupakan
Akar kuadrat dari −1. Berdasarkan konvensi,
Akar kuadrat utama dari −1 adalah i , atau lebih umum lagi, jika x adalah bilangan nonnegatif apa pun,
Akar kuadrat utama dari x adalah
−
x
=
i
x
.
{\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.}
Ruas kanan (dan juga negatifnya) memang merupakan
Akar kuadrat dari x , maka
(
i
x
)
2
=
i
2
(
x
)
2
=
(
−
1
)
x
=
−
x
.
{\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}
Untuk setiap bilangan kompleks bukan nol z terdapat tepat dua bilangan w sedemikian rupa w2 = z:
Akar kuadrat utama dari z (didefinisikan di bawah), dan negatifnya.
= Akar kuadrat utama dari sebuah bilangan kompleks
=
Templat:Visualisation complex number roots
Untuk menemukan definisi
Akar kuadrat yang memungkinkan kita memilih satu nilai secara konsisten, yang disebut nilai pokok, kita mulai dengan mengamati bahwa bilangan kompleks apa pun x + iy dapat dilihat sebagai titik di bidang, (x, y), diekspresikan menggunakan koordinat kartesius. Titik yang sama dapat diinterpretasikan ulang menggunakan koordinat polar sebagai pasangan
(
r
,
φ
{\displaystyle (r,\varphi }
), di mana r ≥ 0 adalah jarak titik dari titik asal, dan
φ
{\displaystyle \varphi }
adalah sudut yang dibuat oleh garis dari titik asal ke titik dengan sumbu positif nyata ( x ). Dalam analisis kompleks, lokasi titik ini ditulis secara konvensional
r
e
i
φ
.
{\displaystyle re^{i\varphi }.}
Jika
z
=
r
e
i
φ
dengan
−
π
<
φ
≤
π
,
{\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ dengan }}-\pi <\varphi \leq \pi ,}
kemudian kita tentukan
Akar kuadrat utama dari z sebagai berikut:
z
=
r
e
i
φ
/
2
.
{\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.}
Fungsi
Akar kuadrat utama didefinisikan dengan menggunakan sumbu riil nonpositif sebagai potongan cabang. Fungsi
Akar kuadrat utama adalah holomorfik di mana-mana kecuali pada himpunan bilangan real non-positif (pada real negatif ketat itu bahkan kontinu). Deret Taylor di atas untuk
1
+
x
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}}
tetap berlaku untuk bilangan kompleks x dengan |x| < 1.
Di atas juga dapat dinyatakan dalam fungsi trigonometri:
r
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
=
r
(
cos
φ
2
+
i
sin
φ
2
)
.
{\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).}
= Rumus aljabar
=
Ketika bilangan tersebut diekspresikan menggunakan koordinat Kartesius, rumus berikut dapat digunakan untuk
Akar kuadrat utama:
x
+
i
y
=
x
2
+
y
2
+
x
2
±
i
x
2
+
y
2
−
x
2
,
{\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{2}}},}
di mana tanda dari bagian imajiner dari
Akar dianggap sama dengan tanda bagian imajiner dari bilangan asli, atau positif jika nol. Bagian riil dari nilai pokok selalu tidak negatif.
Misalnya,
Akar kuadrat utama dari ± i diberikan oleh:
i
=
1
2
+
i
1
2
=
2
2
(
1
+
i
)
,
−
i
=
1
2
−
i
1
2
=
2
2
(
1
−
i
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i),\\{\sqrt {-i}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}-i{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i).\end{aligned}}}
= Catatan
=
Berikut ini, kompleks z dan w dapat diekspresikan sebagai:
z
=
|
z
|
e
i
θ
z
{\displaystyle z=|z|e^{i\theta _{z}}}
w
=
|
w
|
e
i
θ
w
{\displaystyle w=|w|e^{i\theta _{w}}}
di mana
−
π
<
θ
z
≤
π
{\displaystyle -\pi <\theta _{z}\leq \pi }
dan
−
π
<
θ
w
≤
π
{\displaystyle -\pi <\theta _{w}\leq \pi }
.
Karena sifat terputus-putus dari fungsi
Akar kuadrat dalam bidang kompleks, hukum berikut ini adalah tidak benar secara umum.
z
w
=
z
w
{\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}}
(contoh berlawanan untuk
Akar kuadrat utama: z = −1 dan w = −1) Kesetaraan ini hanya berlaku jika
−
π
<
θ
z
+
θ
w
≤
π
{\displaystyle -\pi <\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi }
w
z
=
w
z
{\displaystyle {\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}}
(counterexample untuk
Akar kuadrat utama: w = 1 dan z = −1) Persamaan ini hanya berlaku jika
−
π
<
θ
w
−
θ
z
≤
π
{\displaystyle -\pi <\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi }
z
∗
=
(
z
)
∗
{\displaystyle {\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}}
(contoh berlawanan untuk
Akar kuadrat utama: z = −1) Persamaan ini hanya valid jika
θ
z
≠
π
{\displaystyle \theta _{z}\neq \pi }
Masalah serupa muncul dengan fungsi kompleks lainnya dengan pemotongan cabang, misalnya, logaritma kompleks dan relasi logz + logw = log(zw) or log(z*) = log(z)* yang tidak benar secara umum.
Salah mengasumsikan salah satu dari undang-undang ini mendasari beberapa "bukti" yang salah, misalnya yang berikut menunjukkan itu −1 = 1:
−
1
=
i
⋅
i
=
−
1
⋅
−
1
=
(
−
1
)
⋅
(
−
1
)
=
1
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}-1&=i\cdot i\\&={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1\end{aligned}}}
Persamaan ketiga tidak dapat dibenarkan (lihat bukti tidak sah). Ini dapat dibuat untuk menahan dengan mengubah arti dari √ sehingga ini tidak lagi mewakili
Akar kuadrat utama (lihat di atas) tetapi memilih cabang untuk
Akar kuadrat yang mengandung
1
⋅
−
1
.
{\displaystyle {\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {-1}}.}
Sisi kiri menjadi salah satunya
−
1
⋅
−
1
=
i
⋅
i
=
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1}
jika cabang menyertakan + i atau
−
1
⋅
−
1
=
(
−
i
)
⋅
(
−
i
)
=
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=(-i)\cdot (-i)=-1}
jika cabang termasuk - i , sedangkan sisi kanan menjadi
(
−
1
)
⋅
(
−
1
)
=
1
=
−
1
,
{\displaystyle {\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=-1,}
di mana persamaan terakhir,
1
=
−
1
,
{\displaystyle {\sqrt {1}}=-1,}
adalah konsekuensi dari pemilihan cabang dalam definisi ulang √.
Akar ke-n dan Akar polinomial
Definisi
Akar kuadrat dari
x
{\displaystyle x}
sebagai angka
y
{\displaystyle y}
sedemikian rupa sehingga
y
2
=
x
{\displaystyle y^{2}=x}
telah digeneralisasikan dengan cara berikut.
Akar pangkat tiga dari
x
{\displaystyle x}
adalah angka
y
{\displaystyle y}
sedemikian rupa sehingga
y
3
=
x
{\displaystyle y^{3}=x}
; dilambangkan
x
3
.
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}.}
Jika n adalah bilangan bulat yang lebih besar dari dua, n
Akar ke dari
x
{\displaystyle x}
adalah angka
y
{\displaystyle y}
seperti
y
n
=
x
{\displaystyle y^{n}=x}
; dilambangkan
x
n
.
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}.}
Mengingat polinomial p , sebuah
Akar dari p adalah bilangan y seperti yang p(y) = 0. Misalnya,
Akar ke n dari x adalah
Akar dari polinomial (pada y)
y
n
−
x
.
{\displaystyle y^{n}-x.}
Teorema Abel–Ruffini menyatakan bahwa, secara umum,
Akar suatu polinomial berderajat lima atau lebih tinggi tidak dapat diekspresikan dalam istilah
Akar ke n.
Komputasi
Sebagian besar mesin hitung memiliki tombol
Akar kuadrat. Lembar kerja komputer dan perangkat lunak lainnya juga sering kali digunakan untuk menghitung
Akar kuadrat. Program perangkat lunak komputer biasanya menerapkan rutin (perulangan) yang baik untuk menghitung fungsi eksponensial dan logaritma natural atau logaritma, dan kemudian menghitung
Akar kuadrat dari x menggunakan identitas
x
=
e
1
2
ln
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln x}}
atau
x
=
10
1
2
log
x
.
{\displaystyle {\sqrt {x}}=10^{{\frac {1}{2}}\log x}.}
Identitas yang sama dieksploitasi ketika menghitung
Akar kuadrat dengan tabel logaritma atau slide rule.
Metode iteratif penghitungan
Akar kuadrat yang paling biasa dilakukan oleh tangan dikenal sebagai "Metode Babilonia" atau "Metode Heron" dinamai demikian untuk menghargai filsuf Yunani Kuno Heron dari Iskandariyah yang pertama memaparkan metode ini. Metode ini melibatkan algoritme sederhana, yang menghasilkan suatu bilangan yang semakin mendekati nilai
Akar kuadrat sebenarnya tiap kali perulangan dilakukan. Untuk menentukan r,
Akar kuadrat dari bilangan real x:
Mulakan dengan nilai pemulai positif sembarang r (semakin dekat ke
Akar kuadrat x, semakin baik).
Ganti r dengan rata-rata antara r dan x/r, yaitu:
(
r
+
x
/
r
)
/
2
{\displaystyle \scriptstyle (r+x/r)/2\,}
(Adalah cukup untuk mengambil nilai hampiran dari rata-rata itu untuk memastikan konvergensi.)
Ulangi langkah ke-2 hingga r dan x/r cukup dekat dengan nilai yang diharapkan.
Kompleksitas waktu untuk menghitung
Akar kuadrat dengan n angka ketelitian setara dengan perkalian dua bilangan yang memiliki n-angka.
Catatan
Referensi
Imhausen, Annette (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton: Princeton University Press. hlm. 187-384. ISBN 0691114854.
Joseph, George (2000). The Crest of the Peacock. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0691006598.
Smith, David (1958). History of Mathematics. 2. New York: Dover Publications. ISBN 9780486204307.
Pranala luar
Teknik soroban Jepang - Metode Profesor Fukutaro Kato
Teknik soroban Jepang - Metode Takashi Kojima
Algoritme, penerapan, dan lebih banyak lagi - Halaman web
Akar kuadrat milik Paul Hsieh
Cara menentukan
Akar kuadrat secara manual Diarsipkan 2009-10-16 di Wayback Machine.
