Dalam matematika,
Deret harmonik adalah
Deret takhingga divergen
∑
n
=
1
∞
1
n
=
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
⋯
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots .}
Namanya diturunkan dari konsep nada tambahan, atau
harmonik dalam musikː panjang gelombangnya dari nada tambahan dari sebuah dawai yang bergetar adalah
1
2
{\textstyle {\frac {1}{2}}}
,
1
3
{\textstyle {\frac {1}{3}}}
,
1
4
{\textstyle {\frac {1}{4}}}
, dst., dari panjang gelombang dasar dawai. Setiap suku dari deretnya setelah pertamanya adalah purata
harmonik dari suku-suku tetangga, frasa purata
harmonik juga diturunkan dari musik.
Sejarah
Divergensi dari
Deret harmonik pertama kali dibuktikan dalam abad ke-14 oleh Nicole Oresme, tetapi prestasi ini jatuh dalam ketidakjelasan. Bukti-bukti diberikan dalam abad ke-17 oleh Pietro Mengoli dan oleh Johann Bernoulli, bukti terakhir dipublikasikan dan dipopulerkan oleh saudara laki-lakinya Jacob Bernoulli.
Menurut sejarah, barisan
harmonik memiliki popularitas tertentu dengan arsitek-arsitek. Ini sangat khusus dalam periode Barok, ketika arsitek-arsitek menggunakan mereka untuk medirikan proporsi denah lantai, ketinggian, dan untuk membangun hubungan
harmonik antara detail arsitektur interior dan eksterior gereja dan istana.
Divergensi
Terdapat beberapa bukti-bukti terkenal dari kedivergenan dari
Deret harmonik. Beberapa dari mereka diberikan di bawah.
= Uji perbandingan
=
Salah satu cara untuk membuktikan kedivergenan adalah membandingkan
Deret harmonik dengan
Deret divrergen, dimana setiap penyebut digantikan dengan pangkat dari dua terbesar berikutnyaː
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+
1
9
+
⋯
≥
1
+
1
2
+
1
4
+
1
4
+
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
16
+
⋯
{\displaystyle {\begin{alignedat}{8}1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{3}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{5}}&&+{\frac {1}{6}}&&+{\frac {1}{7}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{9}}&&+\cdots \\[5pt]{}\geq 1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}&&+\cdots \end{alignedat}}}
Setiap suku darai
Deret harmonik lebih besar atau sama dengan suku yang sesuai dari
Deret kedua, dan oleh karena itu jumlah dari
Deret harmonik harus lebih besar dariada sama dengan jumlah dari
Deret kedua. Namun, jumlah dari
Deret kedua adalah takhinggaː
1
+
(
1
2
)
+
(
1
4
+
1
4
)
+
(
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
)
+
(
1
16
+
⋯
+
1
16
)
+
⋯
=
1
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
⋯
=
∞
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[5pt]{}={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =\infty .\end{aligned}}}
Itu diikuti (oleh uji perbandingan) bahwa jumlah dari
Deret harmonik harus takhingga juga. Lebih tepatnya, perbandingan di atas membuktikan bahwa
∑
n
=
1
2
k
1
n
≥
1
+
k
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}
untuk setiap bilangan bulat positif
k
{\displaystyle k}
.
Bukti ini, diusulkan oleh Nikol Oresme pada tahun 1350, dianggap oleh banyak orang di komunitas matematika menjadi titik tertinggi di matematika abad pertengahan. Ini masih menjadi bukti standar yang diajarkan di kelas matematika saat ini. Uji kondensansi Cauchy adalah sebuah generalisasi dari argumen ini.
= Uji integral
=
Ini memungkinkan untuk membuktikan bahwa deret harmonik divetgen dengan membandingkan jumlahnya dengan sebuah integral takwajar. Secara khusu, tinjau susunan persegi panjang-persegi panjang yang diberikan dalam gambar di sebelah kanan. Setiap persegi panjang adalah 1 satuan lebar dan
1
n
{\displaystyle {\frac {1}{n}}}
satuan panjang, jadi luas total dari jumlah takhingga persegi panjang adalah jumlah dari deret harmonik.
luas
persegi panjang
=
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
⋯
{\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{luas}}\\{\text{persegi panjang}}\end{array}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }
Sebagai tambahan, luas total di bawah kurva
y
=
1
x
{\displaystyle y={\frac {1}{x}}}
dari
1
{\displaystyle 1}
ke takhingga diberikan oleh sebuah integral takwajar divergen.ː
luas dibawah
kurva
=
∫
1
∞
1
x
d
x
=
∞
.
{\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{luas dibawah}}\\{\text{kurva}}\end{array}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty .}
Karena luas ini menyeluruh terkandung dalam persegi panjang, luas total dari persegi panjang harus takhingga juga. Lebih tepatnya, ini membuktikan bahwa
∑
n
=
1
k
1
n
>
∫
1
k
+
1
1
x
d
x
=
ln
(
k
+
1
)
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}>\int _{1}^{k+1}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln(k+1).}
Generalisasi argumen ini dikenal sebagai uji integral.
Rerata kedivergensi
Deret harmonik divergen secara perlahan. Sebagai contoh, jumlah dari suku
10
43
{\displaystyle 10^{43}}
pertama kurang dari
100
{\displaystyle 100}
. Ini dikarenakan jumlah parsial dari deretnya memiliki pertumbuhan logaritmik. Khususnya,
∑
n
=
1
k
1
n
=
ln
k
+
γ
+
ε
k
≤
(
ln
k
)
+
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}=\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}\leq (\ln k)+1}
dimana
γ
{\displaystyle \gamma }
adalah konstanta Euler–Mascheroni dan
ε
k
∼
1
2
k
{\displaystyle \varepsilon _{k}\sim {\frac {1}{2k}}}
yang mendekati karena
k
{\displaystyle k}
menuju takhingga Leonhard Euler membuktikan baik ini dan juga fakta yang lebih mencolok bahwa jumlah yang mencakup kebalikan bilangan prima juga divergen, yaitu
∑
p
bilangan prima
1
p
=
1
2
+
1
3
+
1
5
+
1
7
+
1
11
+
1
13
+
1
17
+
⋯
=
∞
.
{\displaystyle \sum _{p{\text{ bilangan prima }}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty .}
Jumlah parsial
Jumlah-jumlah parsial terhingga dari
Deret harmonik divergen,
H
n
=
∑
k
=
1
n
1
k
,
{\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}
disebut bilangan
harmonik
Selisih antara
H
n
{\displaystyle H_{n}}
dan
ln
n
{\displaystyle \ln n}
konvergen dengan konstanta Euler–Mascheroni. Selisih antara setiap dua bilangan
harmonik tidak pernah sebuah bilangan bulat. Tidak ada bilangan
harmonik adalah bilangan bulat, kecuali untuk
H
1
=
1
{\displaystyle H_{1}=1}
.:p. 24:Thm. 1
Deret yang berkaitan
=
Deret
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
=
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
−
⋯
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }
dikenal sebagai
Deret harmonik bolak-balik.
Deret ini konvergen oleh uji
Deret bolak-balik. Khususnya, jumlahnya sama dengan logaritma natural 2ː
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
−
⋯
=
ln
2.
{\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}
Deret harmonik bolak-balik, sementara konvergen bersyarat, tidak sepenuhnya konvergen: jika asuku-suku dalam
Deret diatur ulang secara sistematis, secara umum jumlahnya menjadi berbeda dan , bergantung pada penyusunan kembali, bahkan mungkin takhingga.
Rumus
Deret harmonik bolak-balik adalah sebuah kasus spesial dari
Deret Mercator,
Deret Taylor untuk logaritma natural.
Sebuah
Deret berkaitan bisa diturunkan dari
Deret Taylor untuk arctangenː
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
⋯
=
π
4
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}
Iini dikenal sebagai
Deret Leibniz.
=
Deret harmonik umum adalah dari bentuk
∑
n
=
0
∞
1
a
n
+
b
,
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},}
dimana
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
dan
b
{\displaystyle b}
adalah bilangna real, dan
b
a
{\displaystyle {\frac {b}{a}}}
bukan nol atau sebuah bilangan bulat negatif.
Dengan uji perbandingan limit dengan
Deret harmonik, semua
Deret harmonik umum juga divergen.
=
Sebuah generalisasi dari deret harmonik adalah deret-p (atau deret hiperharmonik), didefinisikan sebagai
∑
n
=
1
∞
1
n
p
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}
untuk setiap bilangan real
p
{\displaystyle p}
. Ketika
p
=
1
{\displaystyle p=1}
, deret-p adalah deret harmonik, yang divergen. Baik itu uji integral atau uji kondensasi Cauchy menunjukkan bahwa deret-p konvergen untuk semua
p
>
1
{\displaystyle p>1}
(dalam hal ini disebut deret lebih-harmonik) dan divergen untuk semua
p
≤
1
{\displaystyle p\leq 1}
. Jika
p
>
1
{\displaystyle p>1}
maka jumlah dari
Deret-p adalah
ζ
(
p
)
{\displaystyle \zeta (p)}
, yaitu fungsi zeta Riemann dievaluasi sebagai
p
{\displaystyle p}
Masalah mencari jumlah untuk
p
=
2
{\displaystyle p=2}
disebut masalah Basel; Leonhard Euler menunjukkan ini bernilai
π
2
6
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}
. Nilai dari jumlah untuk
p
=
3
{\displaystyle p=3}
disebut konstanta Apéry, karena Roger Apéry membuktikan bahwa itu adalah sebuah bilangan irasional.
=
Berkaitan dengan deret-p adalah deret-ln, didefinisikan sebagai
∑
n
=
2
∞
1
n
(
ln
n
)
p
{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln n)^{p}}}}
untuk setiap bilangan real positif
p
{\displaystyle p}
. Ini bisa ditunjukkan oleh uji integral untuk divergen untuk
p
≤
1
{\displaystyle p\leq 1}
tetapi onvergen untuk semua
p
>
1
{\displaystyle p>1}
.
=
Untuk setiap cembung, fungsi bernilai real
φ
{\displaystyle \varphi }
seperti
lim sup
u
→
0
+
φ
(
u
2
)
φ
(
u
)
<
1
2
,
{\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi \left({\frac {u}{2}}\right)}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}},}
Deret
∑
n
=
1
∞
φ
(
1
n
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)}
konvergen.
=
Deret harmonik acak
∑
n
=
1
∞
s
n
n
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}
dimana
s
n
{\displaystyle s_{n}}
adalah independen, variabel acak terdistribusi identik yang mengambil nilai
+
1
{\displaystyle +1}
dan
−
1
{\displaystyle -1}
dengan propabilitas sama dengan
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
, dikenal sebagai sebuah contoh dalam teori probabilitas dengan probabilitas 1. Fakta kekonvergenan ini adalah konsekuensi mudah dari teorema tiga
Deret Kolmogorov atau dari pertidaksamaan maksimal Kolmogorov yang terkait erat. Borin Schmuland dari Universitas Alberta lebih lanjut memeriksa sifat-sifat dari
Deret harmonik acak, dan menunjukkan bahwa
Deret konvergen adalah sebuah variabel acak dengan beberapa sifat-sifat yang menarik. Khususnya, fungsi kepekatan probabilitas dari variabel acak ini dievalusi pada
+
2
{\displaystyle +2}
atau pada
−
2
{\displaystyle -2}
mengambil nilai
0.124
999
999
999
999
999
999
999
999
999
999
999
999
999
764
…
{\displaystyle 0.124\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 764\dots }
, berbeda dari
1
8
{\displaystyle {\frac {1}{8}}}
kurang dari
10
−
42
{\displaystyle 10^{-42}}
. Makalah Schmuland menjelaskan mengapa probabilitas ini sangat dekat, tetapi tidak persis,
1
8
{\displaystyle {\frac {1}{8}}}
. Nilai pasti dari probabilias ini diberikan oleh integral produk kosinus takhingga
C
2
{\displaystyle C_{2}}
dibagi oleh
π
{\displaystyle \pi }
.
=
Deret harmonik habis dimana semua dari suku-suku yang digit 9 muncul dimana saja dalampenyebut dihapus dapat ditampilkan untuk konvergen ke nilai
22.92067
66192
64150
34816
…
{\displaystyle 22.92067\ 66192\ 64150\ 34816\dots }
.. Faktanya, ketika semua suku berisi setiap deretan bilangan tertentu (dalam setiap basis) dihilangkan, deretnya konvergen.
Penerapan
Deret harmonik bisa berlawanan dengan intuisi siswa yang pertama kali menjumpainya, itu adalah sebuah
Deret divergen meskipun limit dari suku ke-
n
{\displaystyle n}
saat
n
{\displaystyle n}
menuju ke takhingga adalah nol. Kedivergenan dari
Deret harmonik juga merupakan sumber dari beberapa paradoks yang jelas. Salah satu dari contoh-contoh ini adalah "cacing di gelang karet". Andaikan bahwa sebuah cacing merangkak di sekitar karet gelang satu meter dengan elastis takhingga pada saat yang sama saat karet gelang direngangkan terdistribusi secara merata. Jika cacing berjalan 1 cm per meint dan karetnya meregang 1 meter per menit, akankah cacing mencapai akhir dari gelang karet? Jawabannya. secara berlawanan, "ya", untuk setelah
n
{\displaystyle n}
menit, rasionya dari jarak berpergian oleh cacing dengan panjang totoal dari gelang karet adalah
1
100
∑
k
=
1
n
1
k
.
{\displaystyle {\frac {1}{100}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}
(Faktanya rasio sebenarnya sedikit kurang dari penjumlahan ini karena gelang memanjang terus-menerus.)
Karena deeretnya menjadi besar secara sebarang saat
n
{\displaystyle n}
menjadi besar, akhirnya rasio ini harus melebihi 1, yang menyiratkan bahwa cacing mencapai akhir dari gelang karet. Namun, nilai
n
{\displaystyle n}
di mana ini terjadi harus sangat besar; sekitar
e
100
{\displaystyle e^{100}}
, sebuah bilangan melebihi
10
43
{\displaystyle 10^{43}}
menit (
10
37
{\displaystyle 10^{37}}
tahun). Meskipun
Deret harmonik divergen, itu melakukannya dengan sangat lambat.
Masalah lainnya melibatkan
Deret harmonik adalah masalah jip, yang (dalam satu bentuk) menanyakan berapa total bahan bakar yang dibutuhkan untuk sebuah jip dengan daya dukung bahan bakar yang terbatas untuk menyeberangi gurun, kemungkinan menyebabkan penurunan bahan bakar di sepanjang rute. Jarak yang bisa dilintasi dengan jumlah bahan bakar berkaitan dengan jumlah parsial dari
Deret harmonik, yang tumbuh secara logaritmik. Dan juga bahan bakar dibutuhkan meningkat secara eksponensial dengan jarak yang diinginkan.
Contoh lain adalah masalah penumpukan balok, diberikan sebuah kumpulan domino yang identik, ini jelas mungkin untuk menumpukkan mereka pada tepi dari sebuah meja sehingga mereka menggantung di tepi dari meja tanpa jatuh. Hasil yang berlawanan dengan intuisi adalah bahwa salah satu bisa menumpukkan mereka sedemikian rupa untuk membuat bergantungan menjadi besar, asalkan ada domnio yang cukup.
Sebuah contoh yang lebih sederhana, di samping itu, adalah perenang yang tetap menambahkan lebih banyak kecepatan ketika menyentuh tembok dari kolam. Perenang mulai melintasi sebuah kolam 10 meter pada sebuah kecepatan 2 m.s, dan dengan setiap lintasan, 2 m/s lainnya ditambahkan ke kecepatan. Dalam teori, kecepatan perenang adalah tak terbatas, tetapi jumlah lintasan yang dibutuhkan untuk mencapai kecepatan itu menjadi sangat besar; contohnya, untuk mencapai kecepatan cahaya (abaikan relativitas khusus), perenang membutuhkan untuk melintasi kolam 150 juta kali. Berbeda dengan jumlah besar ini, waktu yang dibutuhkan untuk mencapai sebuah keceptan yang diberikan tergantung pada penjumlahan dari deretnya pada setiap diberikan jumlah lintasan kolam (berulang)ː
10
2
∑
k
=
1
n
1
k
.
{\displaystyle {\frac {10}{2}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}
Menghitung jumlah (secara berulang) menunjukkan bahwa untuk mencapai kecepatan cahaya, waktu yang dibutuhkan hanya 97 detik. Dengan melanjtukan melampaui titik ini (melebihi kecepatan cahaya, lagi abaikan relativitas khusus), waktu yang diambil untuk melintasi kolam pada kenyataannya akan mendekati nol saat jumlah berulang menjadi sangat besar, da meskipun waktu yang dibutuhkan untuk melintasi kolam muncul untuk cenderung ke nol (pada sebuah bilangan takhingga berulang), jumlah berulang (waktu yang diberikan untuk total lintasan kolam) akan tetap divergen pada sebuah divergen dengan kecepatan yang sangat lambat.
Lihat pula
Barisan
harmonik
Daftar jumlah timbal balik
Fungsi eta Dirichlet
Referensi
Pranala luar
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Harmonic series", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
"The Harmonic Series Diverges Again and Again" (PDF). The AMATYC Review. 27: 31–43. 2006. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2013-05-15. Diakses tanggal 2020-11-25.
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Harmonic Series". MathWorld.
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Book Stacking Problem". MathWorld.
Hudelson, Matt (1 October 2010). "Proof Without Words: The Alternating Harmonic Series Sums to ln 2" (PDF). Mathematics Magazine. 83 (4): 294. doi:10.4169/002557010X521831.
