Dalam matematika,
Himpunan (bahasa Inggris: set) dapat dibayangkan sebagai kumpulan benda berbeda yang terdefinisi dengan jelas dan dipandang sebagai satu kesatuan utuh. Dengan terdefinisi yang jelas itu maka dapat ditentukan dengan tegas apakah suatu objek termasuk anggota suatu
Himpunan atau bukan.
Konsep
Himpunan seperti saat sekarang ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Jerman, Georg Cantor, pada akhir abad ke-19. Cantor mendefinisikan
Himpunan sebagai "Hasil usaha pengumpulan beberapa benda yang memiliki suatu ciri pembeda tertentu dan dapat-diperbedakan dalam intuisi atau pikiran kita (benda-benda itu disebut 'anggota'), menjadi suatu kesatuan".
Himpunan merupakan satu di antara konsep dasar matematika, karena hampir semua aspek matematika dapat dibangun dengan konsep
Himpunan ini. Kajian lebih lanjut mengenai
Himpunan dipelajari dalam teori
Himpunan.
Himpunan secara sederhana dapat diartikan sebagai kumpulan objek-objek. Pengertian "mengumpulkan" atau "menghimpun" sendiri sudah jelas sebab telah sering dilakukan dalam keseharian. Beberapa organisasi menggunakan kata
Himpunan pada namanya menunjukkan hal tersebut . Pengertian
Himpunan dapat digambarkan sebagai suatu "karung" atau "kotak" yang berisikan unsur-unsurnya. Penggambaran ini dinisbatkan pada Richard Dedekind , dan terlukiskan dengan baik dengan diagram Euler-Venn.
Objek dalam suatu
Himpunan disebut anggota (disebut juga elemen atau unsur). Anggota suatu
Himpunan dapat berupa apa saja, baik itu bilangan, titik, fungsi, dan lain sebagainya.
Himpunan juga boleh jadi berisi objek-objek nyata, seperti sekawanan itik di sawah, semua buku di perpustakaan, sekalian hari dalam sepekan, seluruh huruf dalam alfabet, dan kelimapuluhdua kartu dalam satu set remi..
Keanggotaan suatu objek dapat dinyatakan dengan notasi
∈
{\displaystyle \in }
. Pernyataan dengan notasi
a
∈
S
{\displaystyle a\in S}
dapat dibaca sebagai "
a
{\displaystyle a}
anggota
S
{\displaystyle S}
"; "
a
{\displaystyle a}
di dalam
S
{\displaystyle S}
" ; "
a
{\displaystyle a}
termasuk dalam
S
{\displaystyle S}
" ; atau "
a
{\displaystyle a}
milik
Himpunan
S
{\displaystyle S}
" .
Ingkaran pernyataan tersebut (
a
{\displaystyle a}
bukan anggota
S
{\displaystyle S}
) dapat ditulis sebagai
a
∉
S
{\displaystyle a\not \in S}
.
Nama
Himpunan lazim ditulis menggunakan huruf besar, misalnya
S
{\textstyle S}
,
A
{\textstyle A}
atau
C
{\textstyle C}
, sementara anggota
Himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (
a
{\textstyle a}
,
c
{\textstyle c}
,
z
{\textstyle z}
).
= Menyatakan dan menuliskan Himpunan
=
Himpunan dapat dinyatakan dan dituliskan secara baku dengan dua cara.
Pertama, cara pendaftaran, yaitu dengan menulis semua anggota
Himpunan dalam kurung kurawal, serta antara anggotanya dipisahkan dengan koma. Cara ini baik digunakan untuk
Himpunan dengan banyak anggota berhingga, terutama juka banyaknya lumayan sedikit. Contohnya
Himpunan buah
B
=
{
apel
,
jeruk
,
mangga
,
pisang
}
{\displaystyle B=\{{\text{apel}},\,{\text{jeruk}},\,{\text{mangga}},\,{\text{pisang}}\}}
. Tanda koma dapat diganti dengan tanda titik koma apabila perlu untuk menghindari kekeliruan dengan tanda koma bilangan desimal, seperti
K
=
{
0
,
2
;
0
,
4
;
0
,
6
}
{\displaystyle K=\{0,2;0,4;0,6\}}
.
Jika terlampau banyak untuk dinyatakan satu-persatu bahkan mungkin tak berhingga, tetapi mengikuti pola tertentu, maka dapat digunakan notasi elipsis (...). Contohnya
Himpunan huruf dalam alfabet
A
=
{
a
,
b
,
c
,
.
.
.
,
y
,
z
}
{\displaystyle A=\{a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}}
atau
Himpunan bilangan asli
N
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
.
.
.
}
{\displaystyle \mathbb {N} =\{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}}
.
Kedua, cara merumuskan, yaitu dengan mendefinisikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota
Himpunan tersebut. Untuk cara ini syarat tersebut dapat langsung diperkatakan atau ditulis menggunakan notasi pembentuk
Himpunan.
O
=
{
u
|
u
adalah bilangan ganjil
}
{\displaystyle O=\{u\,|\,u{\mbox{ adalah bilangan ganjil}}\}}
E
=
{
x
|
x
∈
Z
∧
(
x
mod
2
=
0
)
}
{\displaystyle E=\{x\,|\,x\in \mathbb {Z} \land (x{\mbox{ mod }}2=0)\}}
P
=
{
p
|
p
adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI
}
{\displaystyle P=\{p\,|\,p{\mbox{ adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI}}\}}
Himpunan didefinisikan berdasar objek-objek yang termasuk di dalamnya. Dua
Himpunan bisa saja sama walau disajikan dengan cara yang berbeda, seperti urutan anggotanya tidak sama atau dua
Himpunan itu dinyatakan dengan penggambaran yang berbeda.
Himpunan
A
{\displaystyle A}
dan
B
{\displaystyle B}
disebut sama, jika keduanya memiliki anggota yang sama, dengan kata lain: setiap anggota
A
{\displaystyle A}
adalah anggota
B
{\displaystyle B}
dan sebaliknya, setiap anggota
B
{\displaystyle B}
adalah anggota
A
{\displaystyle A}
.
A
=
B
≡
∀
x
x
∈
A
↔
x
∈
B
{\displaystyle A=B\equiv \forall _{x}\;x\in {\displaystyle A}\leftrightarrow x\in B}
.
Prinsip kesamaan dua
Himpunan seperti ini, yakni dengan "membuka seluas-luasnya" kedua
Himpunan itu sehingga tampak semua anggotanya baru kemudian diperbandingkan, sering dirumuskan sebagai aksioma perluasan. Dengan prinsip ini kesamaan
{
a
,
b
,
c
}
=
{
b
,
c
,
a
}
{\displaystyle \{a,b,c\}=\{b,c,a\}}
dan
{
a
,
b
,
c
}
=
{
a
,
b
,
b
,
c
,
c
,
c
}
{\displaystyle \{a,b,c\}=\{a,b,b,c,c,c\}}
dapat diketahui. Perhatikan bahwa urutan tidak berpengaruh dalam
Himpunan, dan perulangan anggota yang sama hanya dihitung satu kali. Contoh lainnya, kita dapat mengatakan bahwa
Himpunan tiga bilangan prima pertama sama dengan
Himpunan akar-akar persamaan
x
3
−
10
x
2
+
31
x
−
30
=
0
{\displaystyle x^{3}-10x^{2}+31x-30=0}
. Apabila seluruh anggota kedua
Himpunan itu didaftarkan, keduanya sama-sama
{
2
,
3
,
5
}
{\displaystyle \{2,3,5\}}
.
=
Jika setiap anggota
B
{\displaystyle B}
termasuk dalam
A
{\displaystyle A}
, maka
Himpunan
B
{\displaystyle B}
dikatakan
Himpunan bagian dari
Himpunan
A
{\displaystyle A}
, ditulis sebagai
B
⊆
A
{\displaystyle B\subseteq A}
. Secara formal, definisi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
B
⊆
A
≡
∀
x
x
∈
B
→
x
∈
A
{\displaystyle B\subseteq {\displaystyle A}\equiv \forall _{x}\,x\in B\rightarrow x\in {\displaystyle A}}
.Dengan menggunakan definisi
Himpunan bagian, kesamaan dua
Himpunan juga dapat dinyatakan sebagai berikut:
A
=
B
≡
A
⊆
B
∧
B
⊆
A
{\displaystyle A=B\equiv {\displaystyle A}\subseteq B\wedge B\subseteq A}
.
Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua
Himpunan
A
{\displaystyle A}
dan
B
{\displaystyle B}
adalah sama. Pertama, buktikan dahulu
A
{\displaystyle A}
adalah
Himpunan bagian
B
{\displaystyle B}
, kemudian buktikan bahwa
B
{\displaystyle B}
adalah
Himpunan bagian
A
{\displaystyle A}
.
Kardinalitas suatu
Himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang ada dalam
Himpunan tersebut.
Secara formal, dua
Himpunan
A
{\displaystyle A}
dan
B
{\displaystyle B}
memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat korespondensi satu-satu yang memetakan
A
{\displaystyle A}
pada
B
{\displaystyle B}
.
Jika suatu
Himpunan ekivalen dengan
Himpunan
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
, yaitu
Himpunan semua bilangan asli, maka
Himpunan tersebut disebut
Himpunan terbilang. Kardinalitas dari
Himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
. Jika suatu
Himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
, maka
Himpunan tersebut adalah
Himpunan berhingga.
Suatu
Himpunan disebut terhitung jika
Himpunan tersebut adalah berhingga atau terbilang.
Himpunan yang tidak terhitung disebut
Himpunan tak terhitung. Contoh dari
Himpunan ini adalah
Himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari
Himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas
c
{\displaystyle {\mathfrak {c}}}
. Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.
Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas
c
{\displaystyle {\mathfrak {c}}}
, karena terdapat korespondensi satu-satu dari
Himpunan tersebut dengan
Himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah
y
=
tan
(
π
x
−
1
2
π
)
{\textstyle y=\tan(\pi x-{\frac {1}{2}}\pi )}
.
Syarat keanggotaan Himpunan
Himpunan dapat didefinisikan dengan merumuskan syarat yang harus dipenuhi seluruh anggotanya. Terkadang syarat ini mengikutkan pula dari
Himpunan semesta mana anggota
Himpunan baru itu akan diambil. Dengan notasi pembentuk
Himpunan, secara umum ditulis sebagai
A
=
{
x
∈
S
∣
P
(
x
)
}
{\displaystyle A=\{x\in S\mid P(x)\}}
yang dapat dibaca "
A
{\textstyle A}
adalah
Himpunan semua anggota
Himpunan
S
{\displaystyle S}
sedemikian rupa sehingga pernyataan
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
benar berlaku".
= Gabungan
=
Gabungan
Himpunan
A
{\displaystyle A}
dan
B
{\displaystyle B}
. adalah
Himpunan yang anggotanya adalah anggota A atau B. Dinotasikan
A
∪
B
{\displaystyle A\cup B}
.
Contoh:
{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.
Beberapa sifat dasar gabungan:
A ⊆ (A ∪ B).
A ⊆ B jika dan hanya jika A ∪ B = B.
= Irisan
=
Irisan
Himpunan
A
{\displaystyle A}
dan
B
{\displaystyle B}
. adalah
Himpunan yang anggotanya adalah anggota A dan B. Dinotasikan
A
∩
B
{\displaystyle A\cap B}
.
Jika
A
∩
B
=
∅
{\displaystyle A\cap B=\varnothing }
, maka A dan B dapat dikatakan saling pisah.
Contoh:
{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
{Budi, Cici} ∩ {Dani, Cici} = {Cici}.
{Budi} ∩ {Dani} = ∅.
Beberapa sifat dasar irisan:
A ∩ B ⊆ A.
A ⊂ B jika dan hanya jika A ∩ B = A.
= Komplemen
=
Pelengkap (komplemen)
Himpunan
A
{\displaystyle A}
adalah
Himpunan yang anggotanya bukan anggota
A
{\displaystyle A}
. Dinotasikan
A
c
{\displaystyle A^{c}}
atau
A
′
{\displaystyle A'}
.
Contoh:
{1, 2} \ {1, 2} = ∅.
{1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
Beberapa sifat dasar komplemen:
A \ B ≠ B \ A untuk A ≠ B.
(A′)′ = A.
A \ A = ∅.
A \ B = A ∩ B′.
Konsep komplemen dapat diperluas menjadi beda setangkup (pengurangan
Himpunan), jika diterapkan untuk
Himpunan A dan B atau A - B menghasilkan
A
Δ
B
=
(
A
∖
B
)
∪
(
B
∖
A
)
.
{\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).}
Contohnya, diferensi simetris antara:
{7, 8, 9, 10} dan {9, 10, 11, 12} adalah {7, 8, 11, 12}.
{Ana, Budi, Dedi, Felix} dan {Budi, Cici, Dedi, Ela} adalah {Ana, Cici, Ela, Felix}.
= Hasil Kali Kartesian
=
atau perkalian
Himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu
Himpunan dengan
Himpunan lainnya. Perkalian
Himpunan antara A dan B didefinisikan dengan A × B. Anggota
Himpunan | A × B | adalah pasangan terurut (a,b) dimana a adalah anggota
Himpunan {\displaystyle A} dan b adalah anggota
Himpunan B.
Contoh:
{1, 2} × {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.
{1, 2} × {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }.
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Beberapa sifat dasar
Himpunan perkalian:
A × ∅ = ∅.
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.
Sejumlah
Himpunan yang begitu penting dan sering terpakai dalam matematika, sehingga mendapat nama dan lambang tersendiri, seperti:
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
,
Himpunan bilangan asli {1, 2, 3, 4, ...};
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
,
Himpunan bilangan bulat {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...};
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
,
Himpunan bilangan rasional;
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
,
Himpunan bilangan riil;
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
,
Himpunan bilangan kompleks;
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
,
Himpunan bilangan kuarternion.
Himpunan di atas memiliki tak hingga anggota, dan masing-masing merupakah
Himpunan bagian dari
Himpunan yang tersenarai di bawahnya.
Himpunan n-rangkap bilangan riil biasa dilambangkan dengan
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
untuk
n
{\displaystyle n}
sebarang bilangan asli. Sebagai contoh,
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
adalah
Himpunan pasangan terurut
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
dengan
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
.
Lihat juga
Kelas (teori
Himpunan),
Himpunan dari
Himpunan-
Himpunan.
Aljabar
Himpunan, sifat-sifat operasi
Himpunan.
Fungsi karakteristik, fungsi yang menunjukkan apakah sesuatu itu anggota
Himpunan atau bukan.
Referensi
Bacaan lanjutan
Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
Velleman, Daniel, How To Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4
Pranala luar
C2 Wiki Contoh operasi
Himpunan menggunakan operator Inggris.
Himpunan Matematika: Anggota, Irisan & Gabungan, Education Portal Academy
