Persamaan Abel, dinamai Niels Henrik
Abel, adalah sejenis
Persamaan fungsional yang dapat ditulis dalam bentuk
f
(
h
(
x
)
)
=
h
(
x
+
1
)
{\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}
atau, setara,
α
(
f
(
x
)
)
=
α
(
x
)
+
1
{\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1}
dan mengontrol iterasi f.
Kesetaraan
Persamaan ini ekuivalen. Dengan asumsi bahwa α adalah fungsi invers,
Persamaan kedua dapat ditulis sebagai
α
−
1
(
α
(
f
(
x
)
)
)
=
α
−
1
(
α
(
x
)
+
1
)
.
{\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.}
Pengambilan x = α−1(y),
Persamaan dapat ditulis sebagai
f
(
α
−
1
(
y
)
)
=
α
−
1
(
y
+
1
)
.
{\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}
Untuk fungsi f ( x ) diasumsikan diketahui, tugasnya adalah menyelesaikan
Persamaan fungsional untuk fungsi tersebut α−1≡h, possibly satisfying additional requirements, such as α−1(0) = 1.
Perubahan variabel sα(x) = Ψ(x), untuk parameter nyata s, membawa
Persamaan Abel ke dalam
Persamaan Schröder terkenal, Ψ(f(x)) = s Ψ(x) .
The further change F(x) = exp(sα(x)) into Böttcher's equation, F(f(x)) = F(x)s.
Persamaan Abel adalah kasus khusus (dan mudah digeneralisasikan menjadi)
Persamaan translasi,
ω
(
ω
(
x
,
u
)
,
v
)
=
ω
(
x
,
u
+
v
)
,
{\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,}
e.g., for
ω
(
x
,
1
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \omega (x,1)=f(x)}
,
ω
(
x
,
u
)
=
α
−
1
(
α
(
x
)
+
u
)
{\displaystyle \omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)}
. (Observe ω(x,0) = x.)
Fungsi
Abel α(x) selanjutnya menyediakan koordinat kanonik untuk aliran advektif Lie (satu parameter grup Lie).
Sejarah
Awalnya,
Persamaan dalam bentuk yang lebih umum
was reported. Even in the case of a single variable, the equation is non-trivial, and admits special analysis.
Dalam kasus fungsi transfer linier, solusinya dapat diekspresikan dengan kompak.
Kasus khusus
Persamaan tetrasi adalah kasus khusus dari
Persamaan Abel, dengan f = exp.
Dalam kasus argumen integer,
Persamaan mengkodekan prosedur berulang, misalnya,
α
(
f
(
f
(
x
)
)
)
=
α
(
x
)
+
2
,
{\displaystyle \alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,}
dan seterusnya,
α
(
f
n
(
x
)
)
=
α
(
x
)
+
n
.
{\displaystyle \alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.}
Solusi
solusi formal: unik (menjadi konstanta) (Not sure, because if
u
{\displaystyle u}
is solution, then
v
(
x
)
=
u
(
x
)
+
Ω
(
u
(
x
)
)
{\displaystyle v(x)=u(x)+\Omega (u(x))}
, where
Ω
(
x
+
1
)
=
Ω
(
x
)
{\displaystyle \Omega (x+1)=\Omega (x)}
, is also solution.)
solusi analitik (koordinat Fatou) = perkiraan oleh ekspansi asimtotik dari fungsi yang ditentukan oleh deret pangkat di sektor sekitar parabola
Keberadaan:
Persamaan Abel memiliki setidaknya satu solusi di
E
{\displaystyle E}
jika dan hanya jika
∀
x
∈
E
,
∀
n
∈
N
,
f
(
n
)
(
x
)
≠
x
{\displaystyle \forall x\in E,\forall n\in \mathbb {N} ,f^{(n)}(x)\neq x}
, dimana
f
(
n
)
=
f
∘
f
∘
.
.
.
∘
f
{\displaystyle f^{(n)}=f\circ f\circ ...\circ f}
, n times.
Koordinat Fatou menggambarkan dinamika lokal dari sistem dinamik diskrit di dekat sebuah titik tetap parabola.
Lihat pula
Persamaan fungsional
Persamaan Schröder
Persamaan Böttcher
Komposisi tak hingga dari fungsi analitik
Fungsi berulang
Operator shift
Superfungsi
Referensi
