• Source: Persamaan Abel

Persamaan Abel, dinamai Niels Henrik Abel, adalah sejenis persamaan fungsional yang dapat ditulis dalam bentuk




f
(
h
(
x
)
)
=
h
(
x
+
1
)


{\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}


atau, setara,




α
(
f
(
x
)
)
=
α
(
x
)
+
1


{\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1}


dan mengontrol iterasi f.




Kesetaraan


Persamaan ini ekuivalen. Dengan asumsi bahwa α adalah fungsi invers, persamaan kedua dapat ditulis sebagai





α

−
1


(
α
(
f
(
x
)
)
)
=

α

−
1


(
α
(
x
)
+
1
)

.


{\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.}


Pengambilan x = α−1(y), persamaan dapat ditulis sebagai




f
(

α

−
1


(
y
)
)
=

α

−
1


(
y
+
1
)

.


{\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}


Untuk fungsi f ( x ) diasumsikan diketahui, tugasnya adalah menyelesaikan persamaan fungsional untuk fungsi tersebut α−1≡h, possibly satisfying additional requirements, such as α−1(0) = 1.
Perubahan variabel sα(x) = Ψ(x), untuk parameter nyata s, membawa persamaan Abel ke dalam persamaan Schröder terkenal, Ψ(f(x)) = s Ψ(x) .
The further change F(x) = exp(sα(x)) into Böttcher's equation, F(f(x)) = F(x)s.
Persamaan Abel adalah kasus khusus (dan mudah digeneralisasikan menjadi) persamaan translasi,




ω
(
ω
(
x
,
u
)
,
v
)
=
ω
(
x
,
u
+
v
)

,


{\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,}


e.g., for



ω
(
x
,
1
)
=
f
(
x
)


{\displaystyle \omega (x,1)=f(x)}

,




ω
(
x
,
u
)
=

α

−
1


(
α
(
x
)
+
u
)


{\displaystyle \omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)}

. (Observe ω(x,0) = x.)
Fungsi Abel α(x) selanjutnya menyediakan koordinat kanonik untuk aliran advektif Lie (satu parameter grup Lie).




Sejarah


Awalnya, persamaan dalam bentuk yang lebih umum

was reported. Even in the case of a single variable, the equation is non-trivial, and admits special analysis.

Dalam kasus fungsi transfer linier, solusinya dapat diekspresikan dengan kompak.




Kasus khusus


Persamaan tetrasi adalah kasus khusus dari persamaan Abel, dengan f = exp.
Dalam kasus argumen integer, persamaan mengkodekan prosedur berulang, misalnya,




α
(
f
(
f
(
x
)
)
)
=
α
(
x
)
+
2

,


{\displaystyle \alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,}


dan seterusnya,




α
(

f

n


(
x
)
)
=
α
(
x
)
+
n

.


{\displaystyle \alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.}





Solusi


solusi formal: unik (menjadi konstanta) (Not sure, because if



u


{\displaystyle u}

is solution, then



v
(
x
)
=
u
(
x
)
+
Ω
(
u
(
x
)
)


{\displaystyle v(x)=u(x)+\Omega (u(x))}

, where



Ω
(
x
+
1
)
=
Ω
(
x
)


{\displaystyle \Omega (x+1)=\Omega (x)}

, is also solution.)
solusi analitik (koordinat Fatou) = perkiraan oleh ekspansi asimtotik dari fungsi yang ditentukan oleh deret pangkat di sektor sekitar parabola
Keberadaan: Persamaan Abel memiliki setidaknya satu solusi di



E


{\displaystyle E}

jika dan hanya jika



∀
x
∈
E
,
∀
n
∈

N

,

f

(
n
)


(
x
)
≠
x


{\displaystyle \forall x\in E,\forall n\in \mathbb {N} ,f^{(n)}(x)\neq x}

, dimana




f

(
n
)


=
f
∘
f
∘
.
.
.
∘
f


{\displaystyle f^{(n)}=f\circ f\circ ...\circ f}

, n times.
Koordinat Fatou menggambarkan dinamika lokal dari sistem dinamik diskrit di dekat sebuah titik tetap parabola.




Lihat pula


Persamaan fungsional
Persamaan Schröder
Persamaan Böttcher
Komposisi tak hingga dari fungsi analitik
Fungsi berulang
Operator shift
Superfungsi




Referensi

Kata Kunci Pencarian:

• Persamaan Abel
• Fungsi kuintik
• Persamaan Schröder
• Niels Henrik Abel
• Teorema Abel–Ruffini
• Persamaan aljabar
• Persamaan kubik
• Penghargaan Abel
• Matematika
• John Forbes Nash, Jr.