Dalam matematika, dua nilai dianggap berada dalam hubungan
Rasio emas (
φ
{\displaystyle \varphi }
) jika
Rasio antara jumlah kedua nilai itu terhadap nilai yang besar sama dengan
Rasio antara nilai besar terhadap nilai kecil. Nilai yang lebih besar dilambangkan dengan huruf a, sedangkan nilai yang lebih kecil dilambangkan dengan huruf b. Gambar di sebelah kanan menggambarkan hubungan geometrik yang jika dirumuskan secara aljabar adalah sebagai berikut:
a
+
b
a
=
a
b
≡
φ
{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \varphi }
dimana huruf Yunani phi (
φ
{\displaystyle \varphi }
) mewakili
Rasio emas. Nilainya adalah:
φ
=
1
+
5
2
=
1.61803
39887
…
.
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.61803\,39887\ldots .}
Setidaknya sejak Abad Renaisans, banyak seniman dan arsitek telah membuat proporsi karya sesuai dengan
Rasio emas—terutama dalam bentuk persegi
emas, yaitu perbandingan sisi panjang terhadap sisi pendek sesuai dengan nilai
Rasio emas—dipercaya proporsi ini secara estetika sangat ideal. Sebuah persegi panjang
emas dapat dipotong menjadi persegi dan persegi panjang kecil dengan
Rasio aspek yang sama persis. Para ahli matematika sejak zaman Euclid telah mempelajari
Rasio emas karena sifatnya yang unik dan menarik.
Rasio emas juga digunakan dalam analisis pasar keuangan, serta strategi seperti retraksi Fibonacci.
Rasio emas sering kali disebut bagian
emas (Latin: sectio aurea) atau rata-rata
emas. Nama lainnya antara lain
Rasio ekstrem dan rata-rata, bagian tengah, proporsi ilahiah, bagian ilahiah (Latin: sectio divina), proporsi
emas, potongan
emas, angka
emas, dan rata-rata Phidias.
Perhitungan
Dua nilai a dan b dinyatakan berada dalam hubungan
Rasio emas φ jika:
a
+
b
a
=
a
b
=
φ
.
{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .}
Salah satu cara untuk menemukan nilai φ adalah dengan memulai pembagian sisa. Dengan cara menyederhanakan pembilang dan penyebutnya dalam b/a = 1/φ,
a
+
b
a
=
1
+
b
a
=
1
+
1
φ
,
{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }},}
hal ini menunjukkan
1
+
1
φ
=
φ
.
{\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi .}
Dikalikan dengan φ menghasilkan
φ
+
1
=
φ
2
{\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}
yang dapat diatur menjadi
φ
2
−
φ
−
1
=
0.
{\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0.}
Dengan menggunakan formula kuadrat menghasilkan hasil positif yakni sebagai berikut.
φ
=
−
(
−
1
)
±
(
−
1
)
2
−
4
(
1
)
(
−
1
)
2
(
1
)
=
1
±
1
+
4
2
=
1
±
5
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &={\frac {-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4(1)(-1)}}}{2(1)}}\\&={\frac {1\pm {\sqrt {1+4}}}{2}}\\&={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}\end{aligned}}}
Dari perhitungan persamaan kuadrat, dapat diambil nilai positifnya, yakni sebagai berikut.
φ
=
1
+
5
2
≈
1.6180339887
…
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.6180339887\dots }
Sejarah
Rasio emas telah memikat kaum intelektual barat dari berbagai latar belakang disiplin ilmu selama sekurangnya 2.400 tahun. Menurut Mario Livio:
Sekian banyak cendekiawan matematika dari berbagai era, seperti Pythagoras dan Euclid dari Yunani kuno, sampai ahli matematika Italia abad pertengahan Leonardo da Pisa dan ahli astronomi Renaissance Johannes Kepler, hingga tokoh-tokoh ilmuwan seperti pakar fisika dari Oxford Roger Penrose, telah menghabiskan banyak waktu untuk memahami
Rasio sederhana ini dengan sifat-sifatnya. Akan tetapi ketakjuban akan
Rasio emas ini tidak hanya terbatas di kalangan ahli matematika saja. Ahli biologi, seniman, musisi, sejarawan, arsitek, psikolog, dan bahkan ahli mistik telah berdebat mengenai hakikat keserbaadaannya dan daya tariknya. Bahkan, mungkin patut dikatakan bahwa
Rasio emas telah mengilhami begitu banyak pemikir dari berbagai disiplin ilmu dibandingkan angka apapun dalam sejarah matematika.
Ahli matematika Yunani kuno pertama kali mempelajari hal yang kini dikenal sebagai
Rasio emas karena kerap muncul dalam geometri. Pembagian garis menjadi "
Rasio ekstrem dan rata-rata" (bagian
emas) sangat penting dalam geometri pentagram dan pentagon. Bangsa Yunani biasanya mengaitkan penemuan konsep ini dengan Pythagoras atau pengikutnya. Pentragram yang dibubuhi pentagon menjadi lambang kaum pendukung paham Pythagoras.
Elemen Euclid (Yunani: Στοιχεῖα) memberikan definisi tertulis pertama mengenai apa yang disebut sebagai
Rasio emas: "Sebuah garis dikatakan telah dipotong dalam
Rasio ekstrem dan rata-rata ketika panjang seluruh garis berbanding ruas panjang adalah sama dengan ruas panjang berbanding ruas pendek." Euclid menjelaskan cara memotong sebuah garis dalam "
Rasio ekstrem dan rata-rata", yaitu
Rasio emas. Di seluruh Element, beberapa pengajuan gagasan (teorema dalam istilah modern) serta pembuktiannya menggunakan
Rasio emas. Beberapa dari gagasan yang diajukan ini menunjukkan bahwa
Rasio emas adalah bilangan irasional.
Nama "
Rasio ekstrem dan rata-rata" adalah istilah utama yang digunakan pada abad ke-3 SM hingga sekitar abad ke-18 M.
Sejarah modern
Rasio emas dimulai dengan karya Luca Pacioli De divina proportione pada tahun 1509, yang memukau para seniman, arsitek, ilmuwan, dan mistik dengan rumusan matematika dan sifat-sifat istimewa
Rasio emas.
Perkiraan inversi
Rasio emas dalam bentuk pecahan desimal, disebutkan bernilai "sekitar 0,6180340," pertama kali ditulis pada 1597 oleh Michael Maestlin dari Universitas Tübingen, dalam suratnya untuk mantan muridnya Johannes Kepler.
Sejak abad ke-20,
Rasio emas diwakili dengan huruf Yunani Φ atau φ (phi, berdasarkan nama Phidias, (pematung yang disebut-sebut menggunakan
Rasio ini) atau secara tidak lazim juga dilambangkan dengan τ (tau, huruf pertama untuk kata dalam Yunani kuno τομή yang berarti memotong.
= Liniwaktu
=
Liniwaktu menurut Priya Hemenway.
Phidias (490–430 SM) membuat patung-patung Parthenon yang dinilai mengandung
Rasio emas.
Plato (427–347 SM), dalam karyanya Timaeus, menyebutkan lima bangun bentuk yang umum (Bangun Plato: tetrahedron, kubus, oktahedron, dodekahedron, dan ikosahedron), beberapa diantaranya terkait
Rasio emas.
Euclid (sekitar 325–265 SM), dalam karyanya Elemen, memberikan catatan pertama definisi
Rasio emas, yang disebutnya gave "
Rasio ekstrem dan rata-rata" (Greek: ἄκρος καὶ μέσος λόγος).
Fibonacci (1170–1250) menyebutkan deret bilangan yang kini dinamai sesuai namanya dalam karyanya Liber Abaci;
Rasio deret elemen bilangan Fibonacci mendekati
Rasio emas.
Luca Pacioli (1445–1517) mendefinisikan
Rasio emas sebagai "
Rasio ilahiah" dalam karyanya Divina Proportione.
Michael Maestlin (1550–1631) menerbitkan perkiraan pertama yang diketahui mengenai (inversi)
Rasio emas sebagai pecahan desimal.
Johannes Kepler (1571–1630) membuktikan bahwa
Rasio emas adalah limit
Rasio keberlanjutan Fibonacci numbers, dan menggambarkan
Rasio emas sebagai "permata berharga": "Geometri memiliki dua khazanah: yang pertama adalah Teorema Pythagoras, dan yang lainnya adalah pembagian garis menjadi
Rasio ekstrem dan rata-rata; yang pertama kita dapat mengandaikannya sebagai
emas, yang kedua dapat kita namakan sebagai permata berharga." Kedua khazanah ini berpadu dalam segitiga Kepler.
Charles Bonnet (1720–1793) menyoroti bahwa spiral tanaman phyllotaxis berputar searah jarum jam dan berlawanan jarum jam biasanya sesuai deret bilangan Fibonacci.
Martin Ohm (1792–1872) dipercaya sebagai orang yang pertama menggunakan istilah goldener Schnitt (bagian
emas) untuk menggambarkan
Rasio ini pada tahun 1835.
Édouard Lucas (1842–1891) memberikan urutan angka yang kini disebut deret bilangan Fibonacci.
Mark Barr (abad ke-20 M) mengusulkan huruf Yunani phi (φ), sebagai inisial pematung ternama Yunani, Phidias, sebagai lambang
Rasio emas.
Roger Penrose (lahir 1931) menemukan pola simetris yang menggunakan
Rasio emas dalam bidang tegel aperiodik, yang mengarah kepada temuan snxnsn baru mengenai quasikristal.
Penerapan dan pengamatan di alam
Salahsatu makhluk hidup sederhana yang memiliki kaidah ini adalah
Rasio emas pada kerang.
= Estetika
=
De Divina Proportione, sebuah buku tiga volume karya Luca Pacioli, diterbitkan pada 1509. Pacioli, seorang pendeta Fransiskan, dikenal sebagai ahli matematika, tetapi ia diketahui tertarik dan terlatih dalam bidang seni. De Divina Proportione mengeksplorasi matematika dari
Rasio emas. Sering disebutkan bahwa Pacioli adalah penganjur penerapan
Rasio emas untuk menghasilkan proporsi yang harmonis, indah, dan menyenangkan. Livio menunjukkan bahwa penafsiran ini salah akibat salah penerjemahan yang dirunut terjadi pada 1799, bahwa Pacioli sesungguhnya menganjurkan sistem Vitruvius untuk proporsi rasional. Pacioli juga melihat signifikansi iman Katolik dalam
Rasio ini, hal inilah yang mendorongnya memberi judul karyanya seperti demikian. Terdapat ilustrasi bangun karya Leonardo da Vinci, sahabat dan kolega Pacioli, De Divina Proportione menjadi pengaruh utama bagi seniman dan arsitek.
= Arsitektur
=
Fasad dan elemen Parthenon serta bagian lainnya disebut-sebut dipengaruhi persegi panjang
emas. Sementara para ilmuwan lainnya menolak anggapan bahwa Yunani menghubungkan keindahan dengan
Rasio emas.
Lihat juga
Referensi
Bacaan lebih lanjut
Pranala luar
"Golden Section" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
Golden Section in Photography: Golden Ratio, Golden Triangles, Golden Spiral
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Golden Ratio". MathWorld.
"Researcher explains mystery of golden ratio". PhysOrg. December 21, 2009. .
Knott, Ron. "The Golden section ratio: Phi". Information and activities by a mathematics professor.
The Pentagram & The Golden Ratio. Green, Thomas M. Updated June 2005. Archived November 2007. Geometry instruction with problems to solve.
Schneider, Robert P.. "A Golden Pair of Identities in the Theory of Numbers". arΧiv:1109.3216. Proves formulas that involve the golden mean and the Euler totient and Möbius functions.
