• Source: Relasi transitif

Dalam matematika, relasi



R


{\displaystyle R}

pada himpunan



X


{\displaystyle X}

dikatakan transitif jika



R


{\displaystyle R}

menghubungkan



a


{\displaystyle a}

ke



b


{\displaystyle b}

dan menghubungkan



b


{\displaystyle b}

ke



c


{\displaystyle c}

, maka



R


{\displaystyle R}

menghubungkan



a


{\displaystyle a}

ke



c


{\displaystyle c}

.




Definisi


Relasi homogen



R


{\displaystyle R}

pada himpunan



X


{\displaystyle X}

dikatakan transitif jika



a
R
b


{\displaystyle aRb}

dan



b
R
c


{\displaystyle bRc}

, maka



a
R
c


{\displaystyle aRc}

, untuk semua



a
,
b
,
c
,
∈
X


{\displaystyle a,b,c,\in X}

. Secara matematis, dapat ditulis dalam notasi logika orde pertama.




∀
a
,
b
,
c
∈
X
:
(
a
R
b
∧
b
R
c
)
⇒
a
R
c
.


{\displaystyle \forall a,b,c\in X:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc.}


Pada notasi di atas,



a
R
b


{\displaystyle aRb}

merupakan notasi infiks untuk



(
a
,
b
)
∈
R


{\displaystyle (a,b)\in R}

.




Contoh


Contoh relasi transitif dalam matematika memuat "lebih besar dari" dan "sama dengan"; dalam himpunan bilangan real atau bilangan asli.

jika



x
>
y


{\displaystyle x>y}

, dan



y
>
z


{\displaystyle y>z}

, maka



x
>
z


{\displaystyle x>z}


jika



x
=
y


{\displaystyle x=y}

, dan



y
=
z


{\displaystyle y=z}

, maka



x
=
z


{\displaystyle x=z}

.
Relasi transitif dapat dinyatakan juga melalui contoh-contoh non-matematis, seperti relasi "leluhur dari"; sebagai contoh, jika Ani adalah leluhur dari Budi, dan Budi adalah leluhur dari Candra, maka Ani adalah leluhur dari Candra.




Catatan






Referensi


Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St.Andre, Richard (2006), A Transition to Advanced Mathematics (edisi ke-6), Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-39900-9

Kata Kunci Pencarian:

• Relasi transitif
• Relasi ekuivalensi
• Relasi biner
• Kurva indiferensi
• Himpunan terurut parsial
• Relasi kekongruenan
• Kekisi lengkap
• Pembagi
• Penyeragaman (teori himpunan)
• Kesamaan