• Source: Relasi biner

Relasi biner dalam matematika, singkatnya relasi, adalah hubungan antara dua elemen himpunan . Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkret maupun secara matematis.




Definisi


Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah subhimpunan dari A×B.





R

A
B


⊆
A
×
B


{\displaystyle R_{AB}\subseteq A\times B}





Relasi dan fungsi proposisi


Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.
Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga, pisang } dengan himpunan W = { hijau, kuning, orange}. Suatu relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi proposisi w(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}, yang tidak lain adalah relasi R.




Relasi A×A


Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

Refleksif
Irefleksif
Simetrik
Anti-simetrik
Transitif
Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.




= Relasi refleksif

=
Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya.





∀

a
∈
A



(
a
,
a
)
∈
R


{\displaystyle \forall _{a\in A}\quad (a,a)\in R}


atau





∀

a
∈
A



a
R
a


{\displaystyle \forall _{a\in A}\quad aRa}


Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.




= Relasi irefleksif

=
Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.





∀

a
∈
A



(
a
,
a
)
∉
R


{\displaystyle \forall _{a\in A}\quad (a,a)\notin R}


atau





∀

a
∈
A



¬
(
a
R
a
)


{\displaystyle \forall _{a\in A}\quad \lnot (aRa)}


Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.
Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.




= Relasi simetrik

=
Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.





∀

a
,
b
∈
A



(
a
,
b
)
∈
R
→
(
b
,
a
)
∈
R


{\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad (a,b)\in R\rightarrow (b,a)\in R}


atau





∀

a
,
b
∈
A



a
R
b
→
b
R
a


{\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad aRb\rightarrow bRa}


Sebuah relasi “



x
+
y


{\displaystyle x+y}

genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.




= Relasi anti-simetrik

=
Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.





∀

a
,
b
∈
A



a
≠
b
→
(
(
a
,
b
)
∈
R
→
(
b
,
a
)
∉
R
)


{\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad a\neq b\rightarrow ((a,b)\in R\rightarrow (b,a)\notin R)}


atau





∀

a
,
b
∈
A



a
≠
b
→
(
a
R
b
→
¬
(
b
R
a
)
)


{\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad a\neq b\rightarrow (aRb\rightarrow \lnot (bRa))}


Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.





∀

a
,
b
∈
A



(
a
,
b
)
∈
R
∧
(
b
,
a
)
∈
R
→
a
=
b


{\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad (a,b)\in R\wedge (b,a)\in R\rightarrow a=b}


atau





∀

a
,
b
∈
A



a
R
b
∧
b
R
a
→
a
=
b


{\displaystyle \forall _{a,b\in A}\quad aRb\wedge bRa\rightarrow a=b}


Relasi



≤


{\displaystyle \leq }

bersifat anti-simetrik, karena



5
≤
6


{\displaystyle 5\leq 6}

mengakibatkan



¬
(
6
≤
5
)


{\displaystyle \lnot (6\leq 5)}

. Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku



p
≤
q


{\displaystyle p\leq q}

dan



q
≤
p


{\displaystyle q\leq p}

berarti



p
=
q


{\displaystyle p=q}

.




= Relasi transitif

=
Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.




(
a
,
b
)
∈
R
∧
(
b
,
c
)
∈
R
→
(
a
,
c
)
∈
R


{\displaystyle (a,b)\in R\wedge (b,c)\in R\rightarrow (a,c)\in R}


atau





∀

a
,
b
,
c
∈
A



a
R
b
∧
b
R
c
→
a
R
c



{\displaystyle \forall _{a,b,c\in A}{aRb\wedge bRc\rightarrow aRc}}


Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.




Relasi khusus






= Relasi ekuivalen

=
Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekuivalen jika relasi tersebut bersifat:

Refleksif
Simetrik, dan
Transitif
Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas kesetaraan atau kelas kesetaraan.




= Orde parsial

=
Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

Refleksif
Anti-simetrik, dan
Transitif




Lihat pula


Teori himpunan
Himpunan
Fungsi
Kelas kesetaraan

Kata Kunci Pencarian:

• Relasi biner
• Relasi ekuivalensi
• Relasi finiter
• Relasi
• Relasi simetris
• Relasi refleksif
• Sifat komutatif
• Relasi kekongruenan
• Relasi transitif
• Sambungan dan pertemuan (matematika)
• Hanafi school
• Star of the Republic of Indonesia
• Islam in Indonesia
• Kopassus