Dalam topologi dan cabang-cabang matematika yang terkait,
Ruang terhubung (bahasa Inggris: connected space) adalah
Ruang topologi yang tidak dapat dinyatakan sebagai gabungan dari dua subhimpunan tak kosong yang terlepas atau lebih. Keterhubungan adalah salah satu sifat topologi utama yang digunakan untuk membedakan
Ruang topologi.
Subhimpunan dari
Ruang topologi
X
{\displaystyle X}
adalah himpunan
terhubung jika ia adalah
Ruang yang
terhubung ketika dipandang sebagai subruang dari
X
{\displaystyle X}
.
Ada beberapa syarat yang terkait tetapi lebih kuat, seperti keterhubungan lintasan (path connectedness),
Ruang terhubung sederhana (simply connected), dan
Ruang terhubung-
n
{\displaystyle n}
(
n
{\displaystyle n}
-connected). Gagasan terkait lainnya adalah
Ruang terhubung lokal (locally connected), yang tidak menyiratkan dari sifat keterhubungan.
Definisi formal
Sebuah
Ruang topologi
X
{\displaystyle X}
dikatakan tak
terhubung jika
X
{\displaystyle X}
adalah gabungan dari dua himpunan terbuka takkosong saling lepas. Hal ini berlaku untuk sebaliknya,
X
{\displaystyle X}
dikatakan
terhubung jika
X
{\displaystyle X}
bukan merupakan gabungan dari dua himpunan tersebut. Selain itu, sebuah subhimpunan dari
Ruang topologi disebut
terhubung jika ia
terhubung terhadap topologi subruangnya.
Berikut adalah syarat-syarat yang mirip dengan definisi dari
Ruang topologi
X
{\displaystyle X}
:
X
{\displaystyle X}
disebut
terhubung, dalam artian bahwa
X
{\displaystyle X}
tidak dapat dibagi menjadi dua himpunan terbuka takkosong yang saling lepas.
Subhimpunan dari
X
{\displaystyle X}
yang merupakan himpunan terbuka dan tertutup hanyalah
X
{\displaystyle X}
dan himpunan kosong.
Subhimpunan dari
X
{\displaystyle X}
dengan batas kosong hanyalah
X
{\displaystyle X}
dan himpunan kosong.
X
{\displaystyle X}
tidak dapat ditulis sebagai gabungan dari dua himpunan terpisah takkosong.
Semua fungsi yang kontinu dari
X
{\displaystyle X}
ke
{
0
,
1
}
{\displaystyle \{0,1\}}
bernilai konstan, dengan
{
0
,
1
}
{\displaystyle \{0,1\}}
melambangkan
Ruang dua titik yang mempunyai topologi diskret.
Menurut sejarah, formulasi modern dari gagasan keterhubungan tersebut, yang mengatakan bahwa
X
{\displaystyle X}
tidak dapat dibagi menjadi dua himpunan terpisah, merupakan formulasi yang pertama kali ditemukan secara pisah oleh N.J. Lennes, Frigyes Riesz, dan Felix Hausdorff pada awal abad ke-20.
Contoh
Interval tertutup
[
0
,
2
]
{\displaystyle [0,2]}
dalam topologi
Ruang bagian standar merupakan himpunan
terhubung; walaupun hal tersebut dapat, sebagai contoh, ditulis sebagai gabungan dari
[
0
,
1
)
{\displaystyle [0,1)}
dan
[
1
,
2
]
{\displaystyle [1,2]}
serta himpunan kedua tidak terbuka dalam topologi yang dipilih dari
[
0
,
2
]
{\displaystyle [0,2]}
.
Gabungan dari
[
0
,
1
)
{\displaystyle [0,1)}
dan
(
1
,
2
]
{\displaystyle (1,2]}
adalah himpunan tak
terhubung, dan kedua interval tersebut terbuka di
Ruang topologi standar
[
0
,
1
)
∪
(
1
,
2
]
{\displaystyle [0,1)\cup (1,2]}
.
(
0
,
1
)
∪
{
3
}
{\displaystyle (0,1)\cup \{3\}}
merupakan himpunan tak
terhubung.
Sebuah subhimpunan konveks dari
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
disebut
terhubung, atau lebih tepatnya
terhubung sederhana.
Sebuah bidang Euklides yang tidak memuat titik asal,
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
, disebut
terhubung, tetapi sisanya tidak
terhubung.
Ruang Euklides dimensi tiga tanpa ada titik asal disebut
terhubung, dan bahkan disebut
terhubung sederhana. Sebaliknya,
Ruang Euklides dimensi satu tanpa ada titik asal disebut tidak
terhubung.
Referensi
Bacaan lebih lanjut
Munkres, James R. (2000). Topology, Second Edition. Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Connected Set". MathWorld.
V. I. Malykhin (2001) [1994], "
Ruang terhubung", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Muscat, J; Buhagiar, D (2006). "Connective Spaces" (PDF). Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc. 39: 1–13. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-03-04. Diakses tanggal 2010-05-17. .
